環状部（数学）

環状部

マミコンの視覚計算法の図解。弦の長さが同じ2つの環状体の面積は、内半径と外半径に関係なく同じであることを示しています。^{[ 1 ]}

数学において、環状領域（複数形：annuliまたはannuluses）とは、二つの同心円の間の領域を指します。俗に言うと、リング状、あるいは金具のワッシャーのような形をしています。「annulus」という語は、ラテン語の「小さな輪」を意味するanulusまたはannulusから借用されています。形容詞形はannularで、例えばannular eclipseのように用いられます。

開いた環状部は、開いた円筒S ¹ × (0,1)と穴の開いた平面の両方と位相的に等価です。

エリア

環状領域の面積は、半径Rの大きい円と半径rの小さい円の面積の差です。

${\displaystyle A=\pi R^{2}-\pi r^{2}=\pi \left(R^{2}-r^{2}\right)=\pi (R+r)(Rr).}$

弦の公式の系として、すべての単位凸正多角形の外接円と内接円で囲まれた面積はπ /4である。

環状空間の面積は、環状空間内の最長線分の長さ、つまり内円に接する弦の長さ（図では2 d）によって決まります。この線分は小さい方の円に接し、その点においてその円の半径に垂直であるため、ピタゴラスの定理を用いてこれを表せます。したがって、 dとrは斜辺Rを持つ直角三角形の辺であり、環状空間の面積は次のように与えられます。

${\displaystyle A=\pi \left(R^{2}-r^{2}\right)=\pi d^{2}.}$

面積は、環状部を無限小の幅dρと面積2π ρ dρの無限個の環状部に分割し、ρ = rからρ = Rまで積分することによって計算で求めることもできます。

${\displaystyle A=\int _{r}^{R}\!\!2\pi \rho \,d\rho =\pi \left(R^{2}-r^{2}\right).}$

角度θの環状扇形（半径が重なり合う2つの円扇形の間の領域）の面積は、θをラジアンで測ると、次のように表される。

${\displaystyle A={\frac {\theta }{2}}\left(R^{2}-r^{2}\right).}$

複雑な構造

複素解析において、複素平面上の環状領域 ann ( a ; r , R )は次のように定義される 開領域である。

${\displaystyle r<|za|<R.}$

の場合、領域は点a の周りの半径Rの穴あき円板（中心に点穴がある円板）として知られています。 ${\displaystyle r=0}$

複素平面の部分集合として、環状空間はリーマン面とみなすことができます。環状空間の複素構造は、比 ⁠ のみに依存します。r/R⁠ . 各環状空間ann( a ; r , R )は、次の写像によって、原点を中心とし外半径 1 の標準環状空間に 正則写像できる。

${\displaystyle z\mapsto {\frac {za}{R}}.}$

内半径は⁠r/R⁠ < 1 .

アダマールの三円定理は、環状空間内で正則関数が取り得る最大値に関する定理です。

ジュコフスキー変換は、焦点の間にスリットが入った楕円に環状部分を等角的に写像します。

参照

• 環状カッター - コアドリルの形状
• 環状定理/予想 – 数学において、2つの球面の間の領域に関する
• フォカロイド – 2つの同心円状の相似楕円または楕円体で囲まれた幾何学的シェルリダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• 幾何学的形状のリスト – リストのリストリダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• 球殻 – 3次元の幾何学的形状
• トーラス – ドーナツ型の回転面

参考文献

1. ハウンスパーガー、ディアナ、ケネディ、スティーブン (2006). 『宇宙の果て：Math Horizo​​ns 10周年記念』ISBN 9780883855553. 2017年5月9日閲覧。

外部リンク

• 環状部の定義と特性インタラクティブアニメーション付き
• 環状領域の面積、公式インタラクティブアニメーション付き