レモン（幾何学）

レモン

幾何学において、レモンは、レンズ（または円弧）の両端を通る軸を中心に回転した、半円未満の角度を持つ円弧の回転面として構成される幾何学的形状です。同じ軸を通る、同じ円の補円弧の回転面は、リンゴと呼ばれます。

魚の膀胱の比率を持つ紡錘形トーラスから派生したリンゴとレモン

リンゴとレモンは一緒に紡錘形トーラス（または自己交差トーラス、自己交差トーラス）を形成する。レモンは凸集合の境界を形成し、それを囲むリンゴは非凸集合である。^{[ 1 ] [ 2 ]}

北米のフットボール

北米のフットボールのボールは、幾何学的なレモンに似た形をしている。しかし、幾何学では関連する意味で使われるものの、「フットボール」という用語は、円弧よりも複雑な曲線で形成される、ガウス曲率が正で一定の回転面を指すのが一般的である。 ^{[ 3 ]}あるいは、フットボールはより抽象的なオービフォールド、つまり2点を除いて球面上に局所的にモデル化された面を指すこともある。^{[ 4 ]}

面積と体積

レモンは、半径が で半角がより小さい円弧を弦の周りで回転させることによって生成されます。 は地球物理学で使用される緯度を表します。表面積は^{[ 5 ]で与えられます。}${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \phi _{m}}$ ${\displaystyle \pi /2}$ ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle A=2\pi R^{2}\int _{-\phi _{m}}^{\phi _{m}}(\cos \phi -\cos \phi _{m})\,d\phi .}$$

体積は次のように表される。 $${\displaystyle V=\pi R^{3}\int _{-\phi _{m}}^{\phi _{m}}(\cos \phi -\cos \phi _{m})^{2}\cos \phi \,d\phi .}$$

これらの積分は解析的に評価することができ、 $${\displaystyle A=4\pi R^{2}(\sin \phi _{m}-\phi _{m}\cos \phi _{m}),}$$ $${\displaystyle V={\tfrac {4}{3}}\pi R^{3}\left[\sin ^{3}\phi _{m}-{\tfrac {3}{4}}\cos \phi _{m}(2\phi _{m}-\sin 2\phi _{m})\right]。}$$

リンゴは、弦の半角よりも大きい円弧を回転させることによって生成されます。上記の式はレモンとリンゴの両方に当てはまります。 ${\displaystyle \phi _{m}}$ ${\displaystyle \pi /2}$

参照

• 図形のリスト
• シアーズ・ハック体
• ヴェシカ・ピシス

参考文献

1. Kripac, Jiri (1997年2月)、「履歴ベースのパラメトリックソリッドモデルにおけるトポロジカルエンティティの永続的な命名メカニズム」、Computer-Aided Design、29 (2): 113– 122、doi : 10.1016/s0010-4485(96)00040-1
2. Krivoshapko, SN; Ivanov, VN (2015)、「回転面」、Encyclopedia of Analytical Surfaces、Springer International Publishing、pp.  99– 158、doi : 10.1007/978-3-319-11773-7_2
3. クームズ、ケビン・R.; リップスマン、ロナルド・L.; ローゼンバーグ、ジョナサン・M. (1998)、Multivariable Calculus and Mathematica、Springer New York、p. 128、doi : 10.1007/978-1-4612-1698-8、ISBN 978-0-387-98360-8
4. ボルゼリーノ、ジョセフ・E.（1994）、「ティアドロップと革命のフットボールのピンチング定理」、オーストラリア数学会報、49（3）：353-364、doi：10.1017/S0004972700016464、MR 1274515 
5. Verrall, Steven C.; Atkins, Micah; Kaminsky, Andrew; Friederick, Emily; Otto, Andrew; Verrall, Kelly S.; Lynch, Peter (2023-01-23)、「基底状態量子渦陽子モデル」、Foundations of Physics、53 (1): 28、doi : 10.1007/s10701-023-00669-y、ISSN 1572-9516、S2CID 256115776  

外部リンク

• ワイスタイン、エリック W.、「レモン面」、MathWorld
• フローニンゲン大学の模型コレクションにある、正の定曲率を持つフットボール型（スピンドル型）の表面