カルノーの定理（垂直）

カルノーの定理：三角形の3辺の垂線が共通点Fで交差する場合、
青い面積 = 赤い面積

カルノーの定理 （ラザール・カルノーにちなんで名付けられた）は、三角形の（延長された）辺に垂直な3本の直線が共通の交点を持つための必要十分条件を規定する。この定理は、ピタゴラスの定理の一般化とも考えられる。

定理

三角形の辺について、三角形の辺に垂直で共通点 で交わる3本の直線を考えます。3 本の垂線の辺 上のペダル点を とすると、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle P_{a},P_{b},P_{c}}$ ${\displaystyle a,b,c}$

${\displaystyle |AP_{c}|^{2}+|BP_{a}|^{2}+|CP_{b}|^{2}=|BP_{c}|^{2}+|CP_{a}|^{2}+|AP_{b}|^{2}}$

上記の命題の逆もまた真です。つまり、この式が三角形の3辺上の3本の垂線のペダル点に成立する場合、それらは共通点で交差します。したがって、この式は必要条件かつ十分条件となります。

特殊なケース

三角形 が において直角を持つ場合、 において交差する辺に3本の垂線を描くことができます。辺、 に垂直でを通る直線、 に垂直でを通る直線 です。すると、となり、 したがって、、、となります。カルノーの定理の式からピタゴラスの定理 が導かれます。 ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle F=A}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P_{a}=C}$ ${\displaystyle P_{b}=A}$ ${\displaystyle P_{c}=A}$ ${\displaystyle |AP_{b}|=0}$ ${\displaystyle |AP_{c}|=0}$ ${\displaystyle |CP_{a}|=0}$ ${\displaystyle |CP_{b}|=b}$ ${\displaystyle |BP_{a}|=a}$ ${\displaystyle |BP_{c}|=c}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

もう一つの系は、三角形の垂直二等分線が共通点で交わるという性質です。垂直二等分線の場合、 、となり、したがって上記の式が成り立ちます。つまり、3つの垂直二等分線はすべて同じ点で交わります。 ${\displaystyle |AP_{c}|=|BP_{c}|}$ ${\displaystyle |BP_{a}|=|CP_{a}|}$ ${\displaystyle |CP_{b}|=|AP_{b}|}$

参考文献

• ウォルゲマス、マーティン編。 （2010年）。Mathematisch für fortgeschrittene Anfänger : Weitere beliebte Beiträge von Matroids Matheplanet (ドイツ語)。ハイデルベルク: Spektrum Akademischer Verlag。ページ 273–276。ISBN​​ 9783827426079. OCLC  699828882.
• アルフレッド・S・ポサマンティエ、チャールズ・T・サルキンド (1996). 『幾何学における挑戦的問題』 ニューヨーク: ドーバー. pp.  85– 86. ISBN 9780486134864. OCLC  829151719。

外部リンク

• Florian Modler: Vergessene Sätze am Dreieck - Der Satz von Carnot at matheplanet.com (ドイツ語)
• cut-the-knot.org のカルノーの定理
• Interactive Geometry におけるカルノーの定理