微分可能関数

微分可能関数

数学において、1つの実変数を持つ微分可能関数とは、その定義域内の各点で導関数が存在する関数です。言い換えれば、微分可能関数のグラフは、その定義域内の各内点で垂直でない接線を持ちます。微分可能関数は滑らかであり（関数は各内点で線形関数として局所的によく近似されます）、折れ線、角、尖点を含みません

x _{0 が}関数fの定義域の内点である場合、導関数が存在するならば、 f はx ₀で微分可能 であると言われる。言い換えれば、fのグラフは、点( x ₀ , f ( x ₀ ))において垂直でない接線を持つ。fがUのどの点においても微分可能であるならば、 f はU上で微分可能であると言われる。fの導関数が関数 の定義域でも連続関数であるならば、 f は連続的に微分可能であると言われる。一般的に、 fの1次導関数が存在し、関数 の定義域で連続であるならば、 fはクラスであると言われる。 ${\displaystyle f'(x_{0})}$ ${\textstyle f}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\textstyle f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\ldots ,f^{(k)}(x)}$ ${\textstyle f}$

ここで示されているように、多変数関数の場合、その微分可能性は偏導関数の存在よりも複雑です。

一変数実関数の微分可能性

開集合 上で定義された関数 は、導関数が で 微分可能であると言われる。${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ ${\textstyle U\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a\in U}$

${\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{xa}}}$

が存在する。これは関数が で連続であることを意味する。

この関数fがU上の任意の点で微分可能であるとき、それはU上で微分可能であるという。この場合、fの微分はUから${\displaystyle \mathbb{R} .}$

連続関数は必ずしも微分可能ではありませんが、微分可能関数は（微分可能なすべての点において）必ず連続です。これは以下（微分可能性と連続性の節）で示されます。関数は、その導関数も連続関数である場合、連続微分可能と呼ばれます。微分可能であっても連続微分可能ではない関数も存在します（例は微分可能性の類の節で示されています）。

半微分可能性

上記の定義は、境界点における微分を定義するように拡張できます。実数の閉部分集合上で定義された関数の、境界点における微分は、次の片側極限として定義できます。 ここで、引数は常に の範囲内に近づきます${\textstyle f:A\to \mathbb{R} }$ ${\textstyle A\subsetneq \mathbb {R} }$ ${\textstyle c}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle c}$ ${\textstyle A}$

${\displaystyle f'(c)=\lim _{\scriptstyle x\to c \atop \scriptstyle x\in A}{\frac {f(x)-f(c)}{xc}}}$

実数の部分集合である の範囲 内に留まるためには、この極限は次のように定義される。${\textstyle x}$ ${\textstyle A}$

${\displaystyle f'(c)=\lim _{x\to c^{+}}{\frac {f(x)-f(c)}{xc}}\quad {\text{または}}\quad f'(c)=\lim _{x\to c^{-}}{\frac {f(x)-f(c)}{xc}}.}$

微分可能性と連続性

絶対値関数は連続です（つまり、隙間がありません）。x = 0の点を除くすべての点で微分可能です。x = 0の点では、 y軸と交差するときに急激に曲がります

連続関数のグラフ上の尖点。ゼロの点では関数は連続だが微分不可能である。

f が点x ₀で微分可能であるならば、f はx ₀で連続でなければならない。特に、微分可能な関数は、その定義域内のあらゆる点で連続でなければならない。逆は成り立たない。つまり、連続関数は必ずしも微分可能である必要はない。例えば、折れ線、尖点、あるいは垂直接線を持つ関数は連続であるかもしれないが、その異常な位置では微分不可能である。

現実に現れる関数のほとんどは、すべての点、あるいはほぼすべての点で微分を持ちます。しかし、シュテファン・バナッハの結果によれば、ある点で微分を持つ関数の集合は、すべての連続関数の空間における希薄集合です。 ^[1]非公式に言えば、これは微分可能な関数が連続関数の中で非常に異例であることを意味します。どこでも連続であるが、どこでも微分不可能な関数の最初の例は、ワイエルシュトラス関数です。

微分可能性クラス

微分可能関数は線形関数によって局所的に近似できます

との関数は微分可能です。しかし、この関数は連続的に微分可能ではありません。${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)}$ ${\displaystyle x\neq 0}$ ${\displaystyle f(0)=0}$

関数は${\textstyle f}$ 連続的に微分可能であるとは、導関数が存在し、それ自体が連続関数である場合のことです。微分可能関数の導関数にはジャンプ不連続性 はが、導関数が本質的な不連続性 が存在する関数は 0 で微分可能です 微分規則 はを意味し 、 のような極限はありません。したがって、この例は、微分可能だが連続的に微分可能ではない関数（つまり、導関数は連続関数ではない）の存在を示しています。それでも、ダルブーの定理は、中間値定理の結論を満たすことを意味します。 ${\textstyle f^{\prime}(x)}$ $${\displaystyle f(x)\;=\;{\begin{cases}x^{2}\sin(1/x)&{\text{ if }}x\neq 0\\0&{\text{ if }}x=0\end{cases}}}$$ $${\displaystyle f'(0)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left({\frac {\varepsilon ^{2}\sin(1/\varepsilon )-0}{\varepsilon }}\right)=0}$$ ${\displaystyle x\neq 0,}$ $${\displaystyle f'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)\;,}$$ ${\displaystyle x\to 0.}$

連続関数がクラス${\displaystyle C^{0},}$ であると言われるのと同様に、連続微分可能関数はクラス${\displaystyle C^{1}}$ であると言われることもあります。関数がクラス${\displaystyle C^{2}}$ であるとは、関数の1次導関数と2次導関数の両方が存在し、かつ連続である場合です。より一般的には、関数がクラス${\displaystyle C^{k}}$ であるとは、1次導関数がすべて存在し、かつ連続である場合です。すべての正の整数に対して導関数が存在する場合、関数は滑らかであるか、または同値であり、クラスであると言えます。${\displaystyle k}$ ${\textstyle f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\ldots ,f^{(k)}(x)}$ ${\displaystyle f^{(n)}}$ ${\textstyle n,}$ ${\displaystyle C^{\infty}.}$

高次元における微分可能性

複数の実変数の関数 f : R m ^→ R n^が点x ₀で微分可能であるとは、線型写像J : R m ^→ R n^が存在し、

${\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }{\frac {\|\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} +\mathbf {h} )-\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} )-\mathbf {J} \mathbf {(h)} \|_{\mathbf {R} ^{n}}}{\|\mathbf {h} \|_{\mathbf {R} ^{m}}}}=0.}$

関数がx ₀で微分可能である場合、すべての偏導関数はx ₀で存在し、線型写像Jはヤコビ行列（この場合はn × m行列）によって与えられる。高次元微分に関する同様の定式化は、一変数微積分学における 基本増分補題によって提供される。

関数のすべての偏導関数が点x ₀の近傍に存在し、点x ₀で連続している場合、関数はその点x ₀で微分可能です。

しかし、偏微分（あるいはすべての方向微分）の存在は、関数が点において微分可能であることを保証するものではない。例えば、関数f : R2 → Rは次のように定義される ^。

$${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}x&{\text{if }}y\neq x^{2}\\0&{\text{if }}y=x^{2}\end{cases}}}$$

は(0, 0)で微分可能ではないが、この点ではすべての偏微分と方向微分が存在する。連続的な例として、関数

${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}y^{3}/(x^{2}+y^{2})&{\text{if }}(x,y)\neq (0,0)\\0&{\text{if }}(x,y)=(0,0)\end{cases}}}$

は(0, 0)で微分可能ではありませんが、ここでも偏微分と方向微分はすべて存在します。

複素解析における微分可能性

複素解析において、複素微分可能性は一変数実関数と同じ定義を用いて定義されます。これは複素数を割り切れる可能性によって可能になります。したがって、関数が微分可能であると言われるのは、 ${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ ${\textstyle x=a}$

${\displaystyle f'(a)=\lim_{\underset{h\in\mathbb{C}}{h\to0}}{\frac{f(a+h)-f(a)}{h}}}$

この定義は一変数実関数の微分可能性に似ているように見えますが、より限定的な条件です。ある点において複素微分可能な関数は、関数として見れば、その点において自動的に微分可能です。これは、複素微分可能性が次を意味するためです。 ${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ ${\textstyle x=a}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle \lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {|f(a+h)-f(a)-f'(a)h|}{|h|}}=0.}$

しかし、関数は多変数関数としては微分可能であっても、複素微分可能ではない場合があります。例えば、2変数実関数として見ると、 はすべての点で微分可能ですが、極限は0への近似値によって異なる値を与えるため、どの点でも複素微分可能ではありません。 ${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f(z)={\frac {z+{\overline {z}}}{2}}}$ ${\displaystyle f(x,y)=x}$ ${\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {h+{\bar {h}}}{2h}}}$

ある点の近傍において複素微分可能な関数は、その点において正則関数と呼ばれます。そのような関数は必然的に無限微分可能であり、事実上解析的でもあります。

多様体上の微分可能関数

Mが微分可能多様体である場合、 M上の実数値または複素数値関数f が点pで微分可能であるとは、それがp の周りに定義された何らかの（または任意の）座標チャートに関して微分可能であることを意味します。MとN が微分可能多様体である場合、関数f :  M  →  N が点pで微分可能であるとは、それがpとf ( p )の周りに定義された何らかの（または任意の）座標チャートに関して微分可能であることを意味します。

参照

• 微分の一般化
• 半微分可能性
• 微分可能計画法

参考文献

1. Banach, S. (1931). 「Über die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen」. Studia Math. 3 (1): 174– 179. doi : 10.4064/sm- 3-1-174-179. Hewitt, E; Stromberg, K (1963).実解析と抽象解析. Springer-Verlag. 定理17.8.に引用.