 初版 | |
| 著者 | イヴァ・スタヴロフ |
|---|---|
| 言語 | 英語 |
| 科目 | 微分幾何学 |
| ジャンル | 教科書 |
| 出版社 | アメリカ数学会 |
発行日 | 2020年 |
| 発行地 | アメリカ合衆国 |
『空間と時間の曲率と幾何学解析入門』は、微分幾何学を数学と物理学の学生向けに、一般相対性理論への応用に焦点を当てた。本書は、イヴァ・スタヴロフが2013年にパークシティ数学研究所で、その後ルイス＆クラーク大学で教えた講義に基づいて執筆したもので、 [1] [2] 、2020年にアメリカ数学会の学生数学図書館シリーズの一部として出版されました。 [1]
トピック
『空間と時間の曲率』は全5章、計14節から成り、各節は講義1回分の内容となっている。[1]本書のテーマは、ベルンハルト・リーマンらの原典を参照しながら、数学的・歴史的両面から網羅されている。 [3]しかし、抽象多様体や接ベクトルなど、微分幾何学の講義で伝統的に扱われてきた微分位相幾何学のいくつかのテーマは意図的に避けている。[2]その代わりに、本書では座標ベースの幾何学を通してこの問題に取り組み、座標変換に対して不変な量に重点を置いた。本書の目標は、学生がアインシュタインの数学を理解するまでの短縮された道筋を提供することと、曲率を形状と幾何学を記述する中心的な方法として推進することである。[4]
第1章では、リーマン多様体を抽象空間ではなくユークリッド空間の埋め込み部分集合として定義する。クリストッフェル記号を用いて、測地線を解とする微分方程式を定式化し[1] 、コシュルの公式とエネルギー汎関数[3]について説明する。例としては、ユークリッド計量、球面幾何学、射影幾何学、双曲面のポアンカレ半平面モデル[1 ]などが挙げられる。 [ 2]第2章では、ベクトル場、勾配、発散[2]、方向微分、テンソル計算、[1] 、リー括弧、[3] 、グリーン恒等式、最大値原理、レヴィ・チヴィタ接続について述べる。[2]ここから曲率とリーマン曲率テンソルの議論が始まり、第3章[1] [3]「本書の核心」[4]に続きます。第3章ではヤコビ体、リッチ曲率、スカラー曲率、[2]マイヤーズの定理、ビショップ・グロモフの不等式、平行移動などが取り上げられます。[4]
これらの数学的な予備的説明の後、最後の2章はより物理的な内容となっており、第4章では特殊相対性理論、一般相対性理論、シュワルツシルト計量[1]、クラスカル・シェケレス座標[3]について論じている。最終章のトピックには、幾何学的解析、電荷分布のポテンシャル場に対するポアソン方程式、一般相対性理論における質量などが含まれている。[1]
読者と受容
教科書としてはよくあることですが、『空間と時間の曲率』には演習問題が掲載されており、その内容は学部課程の教科書として適しています。微分幾何学に関する学部レベルの教科書は複数ありますが、それらは一般的にこの主題を抽象的な数学的視点から捉えており、『空間と時間の曲率』の出版当時、この教材に基づく授業はやや時代遅れになっていました。本書は、物理学に最も関連性の高い主題の部分により直接的なアプローチを取っている点で珍しいものです。しかし、本書は独立した方法でこの内容をカバーしようとしていますが、評論家のマーク・フナセックは、典型的な数学の学生には難しすぎる可能性があり、優等生や「数学的に洗練された物理学専攻の学生」に留めておく方が良いかもしれないと警告しています。彼はまた、他の分野の研究者にとって、この本をこの分野の入門書として推奨しています。[1]
評論家のハンス＝ベルト・ラーデマッハーは、本書を「優れた動機と洞察力」を備えた「注目すべき書」と評しているが、本書をこの教材の主たる教材としてではなく、標準的な教科書やコースの補足として用いることを推奨している。[2]また、評論家のジャスティン・コルヴィーノは、いくつかの細部に難点を指摘しつつも、教員の指導があれば、本書は自習用としても上級コース用としても適しており、アインシュタインの理論の背後にある数学を学びたい熱心な学生にとっては「必読書」となるだろうと述べている。[4]
参考文献
- ^ abcdefghij Hunacek, Mark (2021年10月)、「空間と時間の曲率のレビュー」、MAAレビュー、アメリカ数学会
- ^ abcdefg Rademacher, Hans-Bert、「 空間と時間の曲率のレビュー」、zbMATH、Zbl 1472.83001
- ^ abcde Suceavă, Bogdan D. (2021年7月)、「 空間と時間の曲率のレビュー」、The Mathematical Intelligencer、doi :10.1007/s00283-021-10108-3、S2CID 253818213
- ^ abcd コルヴィーノ、ジャスティン（2021年9月）、「空間と時間の曲率のレビュー」、アメリカ数学月刊誌、128（8）：764–768、doi：10.1080/00029890.2021.1945378、S2CID 237609917
