ディスク（数学）
ディスク付き
  円周C
  直径D
  半径R
  中心または原点O

幾何学において、円板（discとも綴られる ）[ 1 ]は、平面上で円で囲まれた領域である。円板は、その境界を構成する円を含む場合「閉円板」、含まない場合「開円板」と呼ばれる。 [ 2 ]

半径 の場合、開円板は通常 と表記され、閉円板は と表記されます。しかし、位相幾何学の分野では、閉円板は通常 と表記され、開円板はと表記されます。 r{\displaystyle r}Dr{\displaystyle D_{r}}Dr¯{\displaystyle {\overline {D_{r}}}}D2{\displaystyle D^{2}}整数⁡D2{\displaystyle \operatorname {int} D^{2}}

数式

直交座標では、中心と半径Rの開いた円板は式[ 1 ]で与えられ 、同じ中心と半径の 閉じた円板は次のように与えられる。（1つの、b）{\displaystyle (a,b)}D＝{（×、y）∈R2:（×−1つの）2+（y−b）2<R2}、{\displaystyle D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:(xa)^{2}+(yb)^{2}R^{2}\},}D¯＝{（×、y）∈R2:（×−1つの）2+（y−b）2≤R2}。{\displaystyle {\overline {D}}=\{(x,y)\in \mathbb {R}^{2}:(xa)^{2}+(yb)^{2}\leq R^{2}\}.}

半径Rの閉じた円板または開いた円板の面積はπR2である（円板の面積を参照）。[ 3 ]

プロパティ

ディスクは円対称性を持つ。[ 4 ]

開円板と閉円板は位相的に同値ではない（つまり同相ではない）。これは、両者が互いに異なる位相特性を持つためである。例えば、すべての閉円板はコンパクトであるのに対し、すべての開円板はコンパクトではない。[ 5 ]しかし、代数的位相幾何学の観点からは、両者は多くの特性を共有している。すなわち、両者は収縮可能であり[ 6 ]、したがって単一の点とホモトピー同値である。これは、それらの基本群が自明であり、ホモロジー群はすべて、 Zと同型である0番目を除いて自明であることを意味する。点のオイラー特性（したがって、閉円板または開円板のオイラー特性も）は1である。[ 7 ]

閉円板からそれ自身への連続写像は、少なくとも1つの不動点を持つ（写像が全単射や全射である必要はない）。これは、ブラウワー不動点定理のn =2の場合である。[ 8 ]この命題は、開円板に対しては偽である。[ 9 ]

例えば、 開単位円板上のすべての点を、その右隣の開単位円板上の別の点に写す関数を考えてみましょう。しかし、閉単位円板の場合は、半円上のすべての点を固定します。f（×、y）＝（×+1−y22、y）{\displaystyle f(x,y)=\left({\frac {x+{\sqrt {1-y^{2}}}}{2}},y\right)}×2+y2＝1、×>0。{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1,x>0.}

統計分布として

円盤上の点からある場所までの平均距離

単位円板上の一様分布は、統計学において時折目にする。最も一般的に見られるのは、都市計画数学におけるオペレーションズ・リサーチであり、都市内の人口モデル化に用いられる。また、与えられた線形不等式が満たされる確率を容易に計算できるという性質を利用する用途もある。（平面上のガウス分布は数値積分を必要とする。）

「初等関数による巧妙な議論」は、円板上の2点間の平均ユークリッド距離が⁠128/45π⁠ ≈ 0.90541、 [ 10 ]極座標での直接積分では平均二乗距離は1となる。

円板の中心から距離qにある任意の位置が与えられた場合、分布上の点からその位置までの平均距離b ( q )と、それらの距離の平均二乗を求めることも重要です。後者の値はq 2 + ⁠として直接計算できます。1/2⁠。

任意の内部点までの平均距離

円盤から内部の点までの平均距離

b ( q )を求めるには、位置が内部または外部、つまりq ≶ 1の場合を別々に調べる必要がありますが、どちらの場合も結果は完全な楕円積分でのみ表現できることがわかります。

内部位置を考慮する場合、私たちの目標は（図を見て）密度が ⁠ である分布の下でのrの期待値を計算することです。1/π⁠ 0 ≤ r ≤ s (θ)の場合、セルの面積がr d r dθとなる固定位置を中心とした極座標で積分すると 、 b（q）＝1π∫02πdθ∫0s（θ）r2dr＝13π∫02πs（θ）3dθ。{\displaystyle b(q)={\frac {1}{\pi}}\int _{0}^{2\pi}{\textrm {d}}\theta \int _{0}^{s(\theta)}r^{2}{\textrm {d}}r={\frac {1}{3\pi}}\int _{0}^{2\pi}s(\theta)^{3}{\textrm {d}}\theta .}

ここでs (θ)は余弦定理を用いてqとθを用いて求めることができる。積分を評価するために必要な手順といくつかの参考文献は、Lewらの論文[ 10 ]に記載されている。結果は次の通りである 。 ここでKとEは第一種および第二種の完全楕円積分である。[ 11 ] b (0) = ⁠b（q）＝49π{4（q2−1）K（q2）+（q2+7）E（q2）}{\displaystyle b(q)={\frac {4}{9\pi }}{\biggl \{}4(q^{2}-1)K(q^{2})+(q^{2}+7)E(q^{2}){\biggr \}}}2/3⁠ ; b (1) = ⁠32/9π⁠ ≈ 1.13177。

任意の外部点までの平均距離

円盤から外部点までの平均距離

外部の場所に目を向けると、同じように積分を設定することができ、今度は

b（q）＝23π∫0罪−11q{s+（θ）3−s−（θ）3}dθ{\displaystyle b(q)={\frac {2}{3\pi}}\int _{0}^{{\textrm {sin}}^{-1}{\tfrac {1}{q}}}{\biggl \{}s_{+}(\theta )^{3}-s_{-}(\theta )^{3}{\biggr \}}{\textrm {d}}\theta } ここで余弦定理によれば、s + (θ)とs – (θ)は方程式の sの根である。 したがって、 u = q sinθを代入して標準積分を使って次のように得る ことができる 。[ 12 ]s2−2qsコスθ+q2−1＝0。{\displaystyle s^{2}-2qs\,{\textrm {cos}}\theta +q^{2}\!-\!1=0.}b（q）＝43π∫0罪−11q{3q2コス2θ1−q2罪2θ+（1−q2罪2θ）32}dθ。{\displaystyle b(q)={\frac {4}{3\pi}}\int _{0}^{{\textrm {sin}}^{-1}{\tfrac {1}{q}}}{\biggl \{}3q^{2}{\textrm {cos}}^{2}\theta {\sqrt {1-q^{2}{\textrm {sin}}^{2}\theta }}+{\Bigl (}1-q^{2}{\textrm {sin}}^{2}\theta {\Bigr )}^{\tfrac {3}{2}}{\biggl \}}{\textrm {d}}\theta .}b（q）＝43π∫01{3q2−あなた21−あなた2+（1−あなた2）32q2−あなた2}dあなた＝43π∫01{4q2−あなた21−あなた2−q2−1q1−あなた2q2−あなた2}dあなた＝43π{4q3（（q2+1）E（1q2）−（q2−1）K（1q2））−（q2−1）（qE（1q2）−q2−1qK（1q2））}＝49π{q（q2+7）E（1q2）−q2−1q（q2+3）K（1q2）}{\displaystyle {\begin{aligned}b(q)&={\frac {4}{3\pi }}\int _{0}^{1}{\biggl \{}3{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}{\sqrt {1-u^{2}}}+{\frac {(1-u^{2})^{\tfrac {3}{2}}}{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}}{\biggr \}}{\textrm {d}}u\\[0.6ex]&={\frac {4}{3\pi }}\int _{0}^{1}{\biggl \{}4{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}{\sqrt {1-u^{2}}}-{\frac {q^{2}-1}{q}}{\frac {\sqrt {1-u^{2}}}{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}}{\biggr \}}{\textrm {d}}u\\[0.6ex]&={\frac {4}{3\pi }}{\biggl \{}{\frac {4q}{3}}{\biggl (}(q^{2}+1)E({\tfrac {1}{q^{2}}})-(q^{2}-1)K({\tfrac {1}{q^{2}}}){\biggr )}-(q^{2}-1){\biggl (}qE({\tfrac {1}{q^{2}}})-{\frac {q^{2}-1}{q}}K({\tfrac {1}{q^{2}}}){\biggr )}{\biggr \}}\\[0.6ex]&={\frac {4}{9\pi }}{\biggl \{}q(q^{2}+7)E({\tfrac {1}{q^{2}}})-{\frac {q^{2}-1}{q}}(q^{2}+3)K({\tfrac {1}{q^{2}}}){\biggr \}}\end{aligned}}}

したがって、再びb (1) = ⁠32/9π⁠、また[ 13 ]リムq→∞b（q）＝q+18q。{\displaystyle \lim _{q\to \infty }b(q)=q+{\tfrac {1}{8q}}.}

参照

参考文献

  1. ^ a bクリストファー・クラパム、ジェームズ・ニコルソン (2014). 『コンサイス・オックスフォード数学辞典』 オックスフォード大学出版局. p. 138. ISBN 9780199679591。
  2. ^ Arnold, BH (2013).初等位相幾何学における直観的概念. ドーバー数学書籍. クーリエ・ドーバー出版. p. 58. ISBN 9780486275765。
  3. ^ロットマン、ジョセフ・J. (2013). 『数学への旅：証明入門』 ドーバー数学書籍集. クーリエ・ドーバー出版. p. 44. ISBN 9780486151687。。
  4. ^アルトマン、サイモン・L.（1992年）『アイコンと対称性』オックスフォード大学出版局、ISBN 9780198555995.ディスクは円対称です。
  5. ^モードリン、ティム（2014）、物理的幾何学の新しい基礎：線状構造の理論、オックスフォード大学出版局、p. 339、ISBN 9780191004551。
  6. ^コーエン、ダニエル・E.（1989）、組合せ群論：位相的アプローチ、ロンドン数学会学生テキスト、第14巻、ケンブリッジ大学出版局、p.79、ISBN 9780521349369。
  7. ^高次元では、閉球のオイラー特性は+1のままであるが、開球のオイラー特性は偶数次元の球では+1、奇数次元の球では-1となる。Klain , Daniel A.; Rota, Gian-Carlo (1997), Introduction to Geometric Probability , Lezioni Lincee, Cambridge University Press, pp.  46– 50を参照。。
  8. ^アーノルド（2013）、132ページ。
  9. ^アーノルド（2013）、例1、135ページ。
  10. ^ a b J. S. Lew 他「円形ディスク内の平均距離について」（1977年）。
  11. ^アブラモウィッツとステグン、17.3。
  12. ^ GradshteynとRyzhik 3.155.7と3.169.9。AbramowitzとStegunの表記法の違いを適切に考慮している。（A&S 17.3.11とG&R 8.113を比較。）この記事はA&Sの表記法に従っている。
  13. ^ AbramowitzとStegun、17.3.11以降。
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