ドミノ（数学）

数学において、ドミノは2次のポリオミノ、つまり平面上で2つの等しい大きさの正方形が端から端までつながった多角形です。 ^[¹^]回転と反射を別個の形状とみなさない場合、自由なドミノは1つだけです。

鏡映対称性を持つため、鏡映対称性を持つ唯一の片面ドミノでもあります（鏡映対称性は別個とみなされます）。回転対称性も別個とみなされる場合、固定されたドミノは2つあります。2つ目のドミノは、上のドミノを90°回転させることによって作成できます。^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

より広い意味では、ドミノという用語は、あらゆる形状のタイルを意味すると理解されることがあります。 ^{[ 4 ]}

梱包とタイル張り

ドミノは、平面を可算無限通りに並べることができます。2× nの長方形をドミノで並べる場合の数は個で、これはn番目のフィボナッチ数です。^[⁵^] $F_{n}$

ドミノのタイル張りは、いくつかの有名な問題に登場します。その中には、大きなダイヤモンド形の領域に2の累乗に等しい数のタイルが敷き詰められるアステカダイヤモンド問題^[⁶^]や、中央の円形領域内ではほとんどのタイルがランダムに現れ、この「北極圏」の外側ではより規則的な構造を持つ、チェス盤から2つの対角を削除するとドミノを敷くことができなくなる切断されたチェス盤問題などがあります。 ^[⁷^]

^ゴロム、ソロモン・W. (1994).ポリオミノ（第2版）. プリンストン、ニュージャージー州: プリンストン大学出版局. ISBN 0-691-02444-8。
^ Weisstein, Eric W. 「Domino」 . MathWorld – Wolfram Web Resourceより. 2009年12月5日閲覧。
^ Redelmeier, D. Hugh (1981). 「ポリオミノの数え方：もう一つの攻撃」 .離散数学. 36 (2): 191– 203. doi : 10.1016/0012-365X(81)90237-5 .
^バーガー、ロバート (1966). 「ドミノ問題の決定不可能性」. Memoirs Am. Math. Soc . 66 .
^具体数学 Archived 2020-11-06 at the Wayback Machine by Graham, Knuth and Patashnik, Addison-Wesley, 1994, p. 320, ISBN 0-201-55802-5
^エルキーズ、ノアム；クーパーバーグ、グレッグ；ラーセン、マイケル；プロップ、ジェームズ（1992）「交互符号行列とドミノタイル張り。I」、代数的組合せ論ジャーナル、1（2）：111–132、doi：10.1023/A：1022420103267、MR 1226347
^ Mendelsohn, NS (2004)、「ドミノによるタイル張り」、The College Mathematics Journal、35 (2)、Mathematical Association of America: 115– 120、doi : 10.2307/4146865、JSTOR 4146865 。