音楽理論において、同値類とは、集合（無秩序）または12音列（秩序ある集合）の特性間の等式（＝）または同値である。演算というよりは関係であり、導出と対比されることもある。[1]「音楽理論家が互いに異なる同値の概念を持っていることは驚くべきことではない…」[2]「実際、同値性の非公式な概念は常に音楽理論と分析の一部であった。しかし、ピッチクラス集合論は、同値性の正式な定義に従ってきた。」[1]伝統的に、オクターブ同値が想定されているが、転置同値性、順列同値性、移調同値は考慮される場合とされない場合がある（シーケンスと変調は、移調同値性、相違内の類似性、多様性内の統一性/統一性内の多様性に基づく、 一般的に実践されていた時代の技法である）。
2 つの 12 音列間の等価性の定義は、数学的な正確さがあるにもかかわらず非公式であると Schuijer は説明していますが、これは、著者が等価性と平等性を同義語として考えていたことを示しています。
2つのセット[12音列]、PとP ′は、最初のセットの任意のp i,jと2番目のセットのp ′ i ′ ,j ′について、すべてのisとjs[順序番号とピッチクラス番号]について、i=i ′であればj=j ′である場合に限り、同等[等しい]とみなされます。（=は通常の意味で数値の等価性を示します）。
— ミルトン・バビット(1992).十二音体系における集合構造の機能, 8-9, [3]に引用
同等性の定義
アレン・フォルテは『無調音楽の構造』の中でピッチクラスセットの等価性の定義を公式化し、「2つのPCセットが等価であると言えるのは、転置または反転してから転置することで同じ基本形に還元できる場合のみである」と述べている[4] 。
フォルテの「素形式同値性」は、各音高クラス集合を、その最もコンパクトな音程配置を表す順序に縮約する。2つの集合は、元の音程間隔や音高順序が異なっていても、同じ素形式に縮約される場合、同値とみなされる。例えば、集合{0, 4, 7}と{5, 9, 11}はどちらも素形式[0, 4, 7]に縮約されるため、同じ同値クラスのメンバーである。
ジョン・クラフは1965年にフォルテの定義に対する批判を発表した。クラフは音程ベクトル解析と素数の有用性には同意したが、フォルテの方法は数学的には類似しているが音楽的には「著しく類似性が低い」集合をグループ化していると主張した。[5]同じ素数形式を持ちながら、転置や転置によって関連付けられていない集合は、フォルテのモデルでは明らかに異なって聞こえるにもかかわらず、同等とみなされる。
代替案として、クラフはIT同値性（転置同値性）の使用を提唱した。これは、2つの集合が等価であるのは、一方が他方から転置または転置によって得られる場合のみであるという考え方である。彼はこの関係を「音楽において卓越した関連性を持つ、単純かつ由緒ある概念」と表現し[6]、IT同値性は、同値類のメンバーが抽象的な音程数だけでなく、認識可能な音程構造を共有していることを保証することで、知覚的な類似性を維持すると主張した。
輪郭の等価性
ピッチクラスの等価性に加えて、旋律の等価性の定義も発展してきた。コンターとは、ピッチの上昇と下降の順序付けられたパターンであり、正確な音程またはピッチクラスから抽象化されたものである（「旋律の動き」を参照）。2つの旋律は、特定のピッチまたは音程が異なっていても、相対的な方向のパターンが同じであれば、コンターが等価であるとみなされる。ジョン・ローダーは著書『ピッチクラスによる作曲』の中で、「変形的に関連する2つのコンターは…単一のタイプ、つまり等価クラスのトークンである」と説明しており[7]、コンター関係がピッチクラスの同一性とは独立してグループ化できることを強調している。
輪郭等価性は、ポスト調や非西洋音楽のレパートリーの分析において広く応用されてきた。これらのレパートリーでは、特定の音程よりも相対的な形状が知覚的に顕著となる場合がある。輪郭理論は、音高の内容を抽象化することで、移調、音階、調律法の違いを超えてモチーフを比較するための柔軟な枠組みを提供する。このように、等価性は原形や音程ベクトルではなく、旋律デザインを構成する反復的な方向性パターンによって定義される。[6]
参照
参考文献
- ^ ab Schuijer (2008). 『無調音楽の分析：ピッチクラス集合論とその文脈』p.85. ISBN 978-1-58046-270-9。
- ^ シュイジャー（2008年）、86ページ。
- ^ シュイジャー（2008）、87ページ。
- ^ アレン、フォルテ (1980)。無調音楽の構造(Nachdr. 編)。ニューヘブン: イェール大学プレス。ISBN 978-0-300-02120-2。
- ^ Clough, John (1965). "Pitch-Set Equivalence and Inclusion (A Comment on Forte's Theory of Set-Complexes)". Journal of Music Theory. 9 (1): 163–171. doi:10.2307/843153. ISSN 0022-2909.
- ^ a b Clough, John (1965). "Pitch-Set Equivalence and Inclusion (A Comment on Forte's Theory of Set-Complexes)". Journal of Music Theory. 9 (1): 163–171. doi:10.2307/843153. ISSN 0022-2909.
- ^ Roeder, John (1989). "Review of Composition with Pitch Classes: A Theory of Compositional Design". Music Theory Spectrum. 11 (2): 240–251. doi:10.2307/745939. ISSN 0195-6167.
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