基礎行列（線形微分方程式）

数学において、n個の同次線型常微分方程式系の基本行列とは、その列が系の線型的に独立した解である行列値関数である。^[1]このとき、系のすべての解は、ある定数ベクトル（高さnの列ベクトルとして表される）に対して と表すことができる。 $${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)}$$ ${\displaystyle \Psi (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\Psi (t)\mathbf {c} }$ ${\displaystyle \mathbf {c} }$

行列値関数は の基礎行列である ためには、および がすべての に対して非特異行列でなければならない。^[2]さらに、 の要素がにおいて連続する場合、の任意の単一の値に対して が非特異行列となる の任意の解は、 の他のすべての値において自動的に非特異行列になる。したがってこの場合、 がこの方程式の基本行列であることを確認するには、 の単一の値において が非特異行列であることを確認すれば十分である。 ${\displaystyle \Psi}$ ${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)}$ ${\displaystyle {\dot {\Psi}}(t)=A(t)\Psi (t)}$ ${\displaystyle \Psi (t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle A(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\dot {\Psi}}(t)=A(t)\Psi (t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \Psi}$ ${\displaystyle t}$

さらに、与えられたシステムに対して少なくとも1つの基本行列の選択肢がある場合、特異でない行列の各選択肢に対して、 ^[3]となるような基本行列解が1つだけ存在します。を任意の固定値 に置き換えた場合も同じ結果が成り立ちます。また、 がこの方程式の任意の基本行列である場合、任意の非特異行列 に対して、行列も基本行列になります。特に、が与えられた方程式の任意の固定基本解である場合、この方程式の他のすべての基本解は の形式になります。 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \Psi}$ ${\displaystyle \Psi (0)=B}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle \Psi_{0}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \Psi (t)=\Psi _{0}(t)C}$ ${\displaystyle \Psi_{0}}$ ${\displaystyle \Psi_{0}(t)C}$

制御理論

基本行列は、線形常微分方程式系の解に不可欠な要素である状態遷移行列を表現するために使用されます。 ^[4]

参照

• 流れ
• 線形微分方程式
• リウヴィルの式
• 常微分方程式系

参考文献

1. Somasundaram, D. (2001). 「基礎行列とその性質」.常微分方程式入門. パンボーン: Alpha Science. pp.  233– 240. ISBN 978-1-84265-069-1。
2. Chi-Tsong Chen (1998).線形システム理論と設計（第3版）. ニューヨーク: オックスフォード大学出版局. ISBN 978-0-19-511777-6。
3. Somasundaram, D. (2001). 「基礎行列とその性質」.常微分方程式入門. パンボーン: Alpha Science. pp.  233– 240. ISBN 978-1-84265-069-1。
4. カーク、ドナルド・E. (1970). 最適制御理論. エングルウッド・クリフス: プレンティス・ホール. pp.  19– 20. ISBN 978-0-13-638098-6。