もし、そしてもし、

↔⇔≡⟺ iffを表す論理記号  

論理学や数学、哲学などの関連分野では、「もし～ならば」（しばしば「iff 」と略される）は、文と文の間の論理接続詞である双条件文[ 1 ]で言い換えられる。双条件文は、両方の文が真であるか、両方とも偽であるかの2つの場合に真となる。この接続詞は双条件文（物質的等価性の文）[ 2 ]であり、標準的な物質的条件文（「もし～ならば」に等しい、「もし～ならば」）とその逆（「もし～ならば」）を組み合わせたものに例えることができるため、この名前が付けられている。その結果、接続された文のいずれかが真であれば、もう一方の文も真であることが求められる（つまり、両方の文が真であるか、両方とも偽であるかのどちらかである）が、このように定義された接続詞が、既存の意味を持つ英語の「if and only if」で適切に表現されるかどうかは議論の余地がある。たとえば、「P if and only if Q」は、 Qが真である場合は常にP も真であり、 Pが真となる唯一のケースはQも真である場合であることを意味します。一方、 「P if Q」の場合は、 Pが真でQが偽となる他のシナリオも考えられます。

文章では、Q の「もしかつその場合に限り」P の代わりによく使われる句には、Q はP にとって必要かつ十分、P にとって Q であることが必要かつ十分、P は Q と同等（または実質的に同等） （実質的含意と比較）、 Q の場合に正確に P ​​、 Q の場合に正確に P ​​、Q の場合に正確に P ​​、Q の場合にちょうど P などがあります。[ 3 ]著者によっては、「もし」は正式な文章には不適切だと考える人もいます。[ 4 ]他の人はそれを「境界線上のケース」と考えてその使用を容認しています。[ 5 ]論理式では、やなどの論理記号[ 6 ]がこれらの句の代わりに使用されます。以下の§ 表記法を参照してください。 ↔{\displaystyle \leftrightarrow}⇔{\displaystyle \leftrightarrow}

定義

¬P∧¬Q{\displaystyle \neg P\land \neg Q}
P∧Q{\displaystyle P\land Q}
P→Q{\displaystyle P\rightarrow Q}
P←Q{\displaystyle P\leftarrow Q}
P↔Q{\displaystyle P\leftrightarrow Q}

PQの真理値表は次のとおりです。[ 7 ] [ 8 ]↔{\displaystyle \leftrightarrow}

P{\displaystyle P}Q{\displaystyle Q}¬P∧¬Q{\displaystyle \neg P\land \neg Q}P∧Q{\displaystyle P\land Q}P→Q{\displaystyle P\rightarrow Q}P←Q{\displaystyle P\leftarrow Q}P↔Q{\displaystyle P\leftrightarrow Q}
FFTFTTT
FTFFTFF
TFFFFTF
TTFTTTT

これはXNORゲートによって生成されるものと同等であり、XORゲートによって生成されるものとは逆である。[ 9 ]

使用法

表記法

対応する論理記号は「」、「」、「 」[ 6 ]、および[ 10 ]であり、場合によっては「iff」も使用されます。これらは通常、同義語として扱われます。しかし、数理論理学のテキスト（特に命題論理ではなく一階述語論理に関するテキスト）の中には、これらを区別しているものもあります。最初の は論理式の記号として使用され、 またははそれらの論理式についての推論に使用されます（例：メタ論理）。Łukasiewiczのポーランド語表記法では、これは接頭辞記号です。[ 11 ]↔{\displaystyle \leftrightarrow}⇔{\displaystyle \leftrightarrow}≡{\displaystyle \equiv}↔{\displaystyle \leftrightarrow}⇔{\displaystyle \leftrightarrow}≡{\displaystyle \equiv}E{\displaystyle E}

論理接続詞、つまり論理式の記号の別名は、排他的論理和です。

TeXでは、「if and only if」は長い二重矢印で表示されます（\iffコマンドまたは\Longleftrightarrowコマンドを使用）。[ 12 ]⟺{\displaystyle \iff }

証明

ほとんどの論理体系では、 「P iff Q」という形式の命題は、「PならばQ」と「QならばP」、または「PならばQ」と「PでなければQではない」のいずれかを証明することによって証明されます。これらの命題のペアを証明すると、双条件文を直接推論できる明らかな条件がないため、より自然な証明につながる場合があります。別の方法としては、 「(PかつQ)または(PでなければQではない)」という選言を証明する方法があります。これは、どちらかの選言文から直接推論できます。つまり、「もし」は真理関数的であるため、PとQの両方が真であるか、両方が偽であることが示された場合、「P iff Q」が成り立ちます

iffの起源と発音

略語「iff」の使用は、ジョン・L・ケリーの1955年の著書『一般位相幾何学』で初めて印刷物に登場しました。[ 13 ]この略語の発明者はポール・ハルモスであるとよく言われますが、彼は「『もし～ならば』の略語として『iff』を発明したのは私ですが、私が本当に最初の発明者だとは信じられませんでした。」と書いています。[ 14 ]

"iff" の発音が本来どのようになされるべきだったのかは、やや不明瞭です。現在の慣習では、単一の「単語」である "iff" は、ほとんどの場合、4つの単語である "if and only if" と読まれます。しかし、一般位相学の序文で、ケリーは別の読み方を提案しています。「数学的な内容が "if and only if" を必要とし、音韻上、より少ない表現が求められる場合には、ハルモスの "iff " を使用します。 」ある離散数学の教科書の著者は次のように提案しています。[ 15 ]「iff と発音する必要がある場合は、"if " との違いが聞き取れるように、"ff" をしっかりと発音してください。」これは、 "iff" が[ɪfː]と発音できることを示唆しています。

定義における用法

慣習的に、定義は「もし～ならば」という文です。ケリーの『一般位相幾何学』などの一部のテキストはこの慣習に従い、新しい用語の定義に「もし～ならば」または「iff」を使用しています。[ 16 ]しかし、「もし～ならば」というこの用法は比較的珍しく、定義の「もし～ならば」が「もし～ならば」という意味に解釈されるという言語的事実を見落としています。ほとんどの教科書、研究論文、記事（英語版Wikipediaの記事を含む）は、数学的な定義が含まれる場合は常に「もし～ならば」を「もし～ならば」と解釈するという言語慣習に従っています（「すべての開被覆に有限の部分被覆がある場合、位相空間はコンパクトである」など）。[ 17 ]さらに、再帰的な定義の場合、定義の「もし～ならば」の部分は、述語の定義内の文が述語の外延を決定する 唯一の文であることを述べるメタ言語の文として解釈されます

オイラー図の観点から

  • AはBの真部分集合である。ある数は、Bに含まれる場合にのみAに含まれる。ある数は、Aに含まれる場合にのみBに含まれる
    AはBの真部分集合である。数がAに含まれるのは、それがBに含まれる場合のみである。数がBに含まれるのは、 Aに含まれる場合のみである。
  • C は B のサブセットですが、真サブセットではありません。数値が B に含まれるのは、それが C に含まれる場合のみであり、数値が C に含まれるのは、それが B に含まれる場合のみである。
    CはBの部分集合ですが、真部分集合ではありません。数がBに含まれる場合とそれがCに含まれる場合とで同じであり、数がCに含まれる場合とがBに含まれる場合とで同じです。

オイラー図は、イベント、プロパティなどの間の論理的な関係を示します。「P が Q の場合のみ」、「P ならば Q」、「P→Q」はすべて、P がQ の適切なまたは不適切な部分集合であることを意味します。「P が Q の場合のみ」、「Q ならば P」、Q→P はすべて、Q が P の適切なまたは不適切な部分集合であることを意味します。「P が Q の場合のみ」および「Q が P の場合のみ」はどちらも、集合 P と Q が互いに同一であることを意味します。

より一般的な用法

Iffは論理学の分野以外でも使用されます。論理が適用される場合、特に数学的な議論では、上記と同じ意味を持ちます。これはif and only if （もし～ならば）の略語であり、一方の命題が他方の命題にとって必要かつ十分であることを示します。これは数学用語の例です（ただし、前述のように、定義文ではifよりもifの方がよく使用されます）。

Xの要素はすべてであり、 Yの要素のみであるということは、「議論のドメイン内の任意のzについて、zがYにある場合のみ、zがXにある」ということを意味します。

「もし」が「もしそうならば」を意味する場合

ラッセルとノーヴィグは『人工知能：現代的アプローチ』の中で（282ページ）、[ 18 ]実質的には、if and only if を「データベース（または論理プログラミング）意味論」と組み合わせて表現する方が自然であることが多いと指摘している。彼らは「リチャードにはジェフリーとジョンという二人の兄弟がいる」という英語の文を例に挙げている。

データベースまたはロジック プログラムでは、これは単純に 2 つの文で表すことができます。

兄弟（リチャード、ジェフリー）
兄弟（リチャード、ジョン）

データベース意味論は、データベース（またはプログラム）が、特定の領域における問題解決に関連するすべての知識のみを含むと解釈します。データベース内の文が、データベースから結論を導き出す際に考慮すべき 唯一の知識を表していることをメタ言語で表現している場合にのみ、データベース意味論はデータベースの意味を解釈します

標準的な意味論による一階述語論理(FOL)では、同じ英語の文を、if and only ifを使用して、オブジェクト言語で only ifを解釈し、次のような形式で表現する必要があります。

∀{\displaystyle \forall }X(Brother(Richard, X)、ただし X = Geoffrey または X = John の場合)。
ジェフリー≠ジョン。

FOLの標準的なセマンティクスと比較すると、データベースセマンティクスはより効率的な実装を備えています。次のような形式の文で推論する代わりに、

結論、もし条件があれば

次の形式の文を使用します。

結論、もし条件があれば

条件から結論へ前向きに推論するか、結論から条件へ後ろ向きに推論すること。

データベース・セマンティクスは、法原理「expressio unius est exclusio alterius」（ある事柄の明示的言及は他の全てを排除する）に類似している。さらに、これは論理プログラミングを法文書の表現と法的推論に適用する際の基盤となっている。[ 19 ]

参照

参考文献

  1. ^ 「論理接続詞」 sites.millersville.edu 2023年9月10日閲覧
  2. ^ Copi, IM; Cohen, C.; Flage, DE (2006). Essentials of Logic (Second ed.). Upper Saddle River, NJ: Pearson Education. p. 197. ISBN 978-0-13-238034-8。
  3. ^ Weisstein, Eric W. 「Iff」 MathWorld（Wolfram Webリソース）より。http ://mathworld.wolfram.com/Iff.html 2018年11月13日アーカイブ、 Wayback Machine
  4. ^例えば、Daepp, Ulrich; Gorkin, Pamela (2011)、「Reading, Writing, and Proving: A Closer Look at Mathematics」、Undergraduate Texts in Mathematics、Springer、p. 52、ISBN 9781441994790確かに時間の節約にはなりますが、正式な文書ではお勧めしません
  5. ^ロスウェル、エドワード J. ; クラウド、マイケル J. (2014)、「エンジニアリングライティング by Design: Creating Formal Documents of Lasting Value」、CRC Press、p. 98、ISBN 9781482234312 数学的な記述では一般的です
  6. ^ a b Peil, Timothy. 「条件文と二条件文」 . web.mnstate.edu . 2020年10月24日時点のオリジナルよりアーカイブ。2020年9月4日閲覧
  7. ^ p <=> q 2016年10月18日アーカイブ、Wayback Machine。WolframAlpha
  8. ^場合かつその場合のみ、UHM数学部、2000年5月5日時点のオリジナルからアーカイブ、2016年10月16日閲覧、「P 場合かつその場合のみ Q」という形式の定理は、数学において非常に高く評価されています。これらの定理は、いわゆる「必要かつ十分な」条件を与え、全く同じことを述べるための、完全に等価で、そしておそらく興味深い新しい方法を提供します。
  9. ^ 「XOR/XNOR/奇数パリティ/偶数パリティゲート」 www.cburch.com . 2022年4月7日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2019年10月22日閲覧。
  10. ^ Weisstein, Eric W. 「Equivalent」 . mathworld.wolfram.com . 2020年10月3日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2020年9月4日閲覧。
  11. ^ “Jan Łukasiewicz > Łukasiewicz's Parenthesis-Free or Polish Notation (Stanford Encyclopedia of Philosophy)” . plato.stanford.edu . 2019年8月9日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2019年10月22日閲覧。
  12. ^ "LaTeX:Symbol" . Art of Problem Solving . 2019年10月22日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2019年10月22日閲覧。
  13. ^一般位相幾何学、再版ISBN 978-0-387-90125-1
  14. ^ニコラス・J・ハイアム (1998).数学科学のためのライティングハンドブック（第2版）. SIAM. 24ページ. ISBN 978-0-89871-420-3。
  15. ^スティーブン・B・マウラー、アンソニー・ラルストン (2005).離散アルゴリズム数学（第3版）. フロリダ州ボカラトン：CRCプレス. p. 60. ISBN 1568811667。
  16. ^例えば、『一般位相幾何学』 25ページより：「集合が可算集合である場合、それは有限集合または可算無限集合である場合に限る。」[太字は原文のまま]
  17. ^クランツ、スティーブン・G.（1996）、数学ライティング入門、アメリカ数学会、  p.71、ISBN 978-0-8218-0635-7
  18. ^ラッセル、スチュアート・J.、ノーヴィグ、ピーター (2020) [1995].人工知能：現代的アプローチ（第4版）.プレンティス・ホール. p. 1136. ISBN 978-0-13-461099-3 OCLC  359890490
  19. ^ Kowalski, R., Dávila, J., Sartor, G. and Calejo, M., 2023. 法律と教育のための論理的英語. http://www.doc.ic.ac.uk/~rak/papers/Logical%20English%20for%20Law%20and%20Education%20.pdf『Prolog: The Next 50 Years』（pp. 287-299）. 出版社: Springer Nature Switzerland.
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