揚力（力）

1902年のライトグライダーは上昇することで揚力を発揮する

流体が物体の周囲を流れるとき、流体は物体に力を及ぼします。揚力とは、この力のうち、流れの方向に対して垂直な成分です。 [ 1 ]これは、流れの方向に対して平行な成分である抗力とは対照的です。揚力は通常、重力に対抗するために上向きに作用しますが、流れに対して垂直な任意の方向に作用する可能性があります。

周囲の流体が空気の場合、この力は空気力と呼ばれます。水やその他の液体の場合、この力は流体力と呼ばれます。

動揚力は、流体における他の種類の揚力とは区別されます。静圧揚力、つまり浮力は、内部の流体が周囲の流体よりも軽い場合に発生し、運動を必要とせず、気球、飛行船、飛行船、ボート、潜水艦などで利用されます。滑走揚力は、体の下半身のみが液体の流れに浸かっている場合に発生し、モーターボート、サーフボード、ウィンドサーフィン、ヨット、水上スキーなどで利用されます。

概要

揚力は流れの方向に対して垂直な空気力の成分として定義され、抗力は流れの方向に対して平行な成分として定義されます。

固体表面の周囲を流れる流体は、固体に力を加えます。物体が静止した流体中を動いているか（例：空中を飛行する航空機）、物体は静止していて流体が動いているか（例：風洞内の翼）、あるいは両方が動いているか（例：風を利用して前進する帆船）、といったことは関係ありません。揚力とは、この力のうち、流れの方向に対して垂直な成分です。[ 1 ]揚力には常に抗力が伴います。抗力は、表面力のうち流れの方向と平行な成分です。

揚力は主に固定翼航空機の翼と関連付けられますが、プロペラ、凧、ヘリコプターのローター、レーシングカーの翼、海洋帆、風力タービン、ヨットのキール、船の舵、水中翼船など、他の多くの流線型の物体によっても広く生成されます。揚力は、飛行動物や滑空動物、特に鳥、コウモリ、昆虫によって使用され、植物界では特定の木の種子によっても使用されます。[ 2 ] 「揚力」 という言葉の一般的な意味は、揚力が重量に対抗することを前提としていますが、揚力は重力の方向ではなく流れの方向に対して定義されるため、重力に対してどの方向にもなる可能性があります。航空機が水平直線飛行で巡航している場合、揚力は重力に対抗します。しかし、航空機が上昇、下降、または旋回中にバンクしている場合、揚力は垂直に対して傾きます。[ 3 ]揚力は、固定翼航空機の曲技飛行ループの頂点にある主翼や、航空機の水平安定装置にもダウンフォースとして作用する。また、帆船のように揚力がほぼ水平方向にある場合もある。

この記事で説明する揚力は主に翼に関連しています。空気と水には密度、圧縮性、粘性などの違いがあるにもかかわらず、海洋の水中翼とプロペラは同じ物理的原理を共有し、同じように機能します。

揚力翼周りの流れは、本質的に2つのレベルで理解できる流体力学の現象である。1つは、確立された物理法則に基づき流れを正確に表現する数学的理論であるが、方程式を解く必要がある。もう1つは、数学を使わない、それほど厳密ではない物理的な説明である。 [ 4 ]揚力をこれらの定性的な言葉で正しく説明することは、因果関係が微妙であるため困難である。[ 5 ]本質的な側面をすべて捉えた 包括的な説明は必然的に複雑になる。また、簡略化された説明も数多く存在するが、いずれも現象の重要な部分を説明できず、中には単に間違っている要素が含まれている。[ 4 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]

翼の揚力に関する簡略化された物理的な説明

翼の断面は翼型の形状を定義します。

翼型は流線型の形状で、抗力よりもはるかに大きな揚力を生み出すことができます。[ 11 ]平板も揚力を生み出しますが、流線型翼型ほど大きくはなく、抗力はやや高くなります。最も簡略化された説明は、ニュートンの運動法則またはベルヌーイの定理に基づく2つの基本的なアプローチのいずれかに従います。[ 4 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]

流れの偏向とニュートンの法則に基づく説明

翼が揚力を生み出すとき、空気は下向きに曲げられますが、そのためには空気に下向きの力を加えなければなりません。ニュートンの第三法則によれば、空気は翼に等しい上向きの力を加えなければなりません。

翼は、空気が通過する際に下向きの力を加えることで揚力を発生させます。ニュートンの第三法則によれば、空気は翼に等しく反対方向（上向き）の力を及ぼさなければならず、これが揚力となります。[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]

気流は翼に近づくにつれて上向きにカーブしますが、翼を通過すると方向を変え、下向きにカーブした経路をたどります。ニュートンの第二法則によれば、この流れの方向を変えるには、翼によって空気に下向きの力が加わる必要があります。次に、ニュートンの第三法則により、空気は翼に上向きの力を及ぼす必要があります。そのため、方向転換とは反対の反作用力、つまり揚力が発生します。飛行機の翼の場合、翼は空気に下向きの力を及ぼし、空気は翼に上向きの力を及ぼします。[ 19 ] [ 20 ] 流れの下向きの方向転換は、翼の下面だけで発生するわけではなく、翼の上方の気流が下向きの方向転換作用の大部分を占めます。[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]

この説明は正しいが、不完全である。翼型が、実際に接触するよりもはるかに深い流れの領域に下向きの旋回を与える仕組みが説明されていない。さらに、揚力は圧力差によって生じること、そしてその圧力差がどのように維持されるかについても説明されていない。[ 4 ]

コアンダ効果に関する論争

揚力の流れの偏向による説明には、コアンダ効果を理由として挙げるバージョンもある。これは、流れが翼の凸状上面に沿って進むことができる理由である。空気力学分野における従来の定義では、コアンダ効果とは、流体の噴流が流れから遠ざかる方向に曲がる隣接面に付着する傾向、そしてその結果として周囲の空気が流れに巻き込まれることを指す。 [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ]

より広義には、流体ジェットに伴う境界層だけでなく、あらゆる流体境界層が曲面に付着する傾向もこの効果に含まれると考える人もいます。コアンダ効果は、この広義の意味で、一部の一般的な文献では、気流が翼型の上面に付着したままになる理由を説明するために用いられています。 [ 28 ] [ 29 ]これは「コアンダ効果」という用語の議論の余地のある用法です。上面を流れる流れは、単に境界層の剥離がないことを反映しているだけであり、したがってコアンダ効果の例ではありません。[ 30 ] [ 31 ] [ 32 ] [ 33 ]この広義の「コアンダ効果」の定義が適切かどうかに関わらず、「コアンダ効果」と呼ぶことは説明にならず、単に現象に名前を付けるだけです。[ 34 ]

流体の流れが曲線を描く能力は、せん断力、流体の粘性、境界層の存在に依存しません。翼の周囲を流れる空気は、上面と下面の両方に付着して揚力を発生させますが、これは非粘性流れにおける現象として認められています。[ 35 ]

流速の増加とベルヌーイの定理に基づく説明

この説明には 2 つの一般的なバージョンがあり、1 つは「通過時間の均等化」に基づくもので、もう 1 つは「気流の遮断」に基づくものです。

翼の揚力に関する誤った等通過時間の説明を示す図。[ 6 ]

通過時間が等しいという誤った説明

「等通過時間」の説明は、上面上の流れは下面上の流れよりも速いという主張から始まります。これは、上面上の経路長が下面上の流れよりも長く、等通過時間で通過しなければならないためです。[ 36 ] [ 37 ] [ 38 ]ベルヌーイの定理は、特定の条件下では、流速の増加は圧力の低下と関連していると述べています。上面上の圧力の低下は、上向きの揚力をもたらすと結論付けられます。[ 39 ]

確かに流れが加速する一方で、この説明の重大な欠陥は、流れが加速する原因を正しく説明していないことである。[ 4 ] 経路長が長いという説明は誤りである。経路長の差は必要ではなく、差があったとしても、通常は観測された速度差を説明するにはあまりに小さすぎる。[ 40 ] これは、揚力を発生する物体に適用する場合、通過時間が等しいという仮定が間違っているためである。あらゆる状況で等しい通過時間を必要とする物理的原理は存在せず、実験結果によって、揚力を発生する物体の場合、通過時間は等しくないことが裏付けられている。[ 41 ] [ 42 ] [ 43 ] [ 44 ] [ 45 ] [ 46 ]実際、揚力を発生する翼の上部を通過する空気は、等しい通過時間から予測されるよりもはるかに速く移動します。[ 47 ] 上面上のはるかに高い流速は、このアニメーション化された流れの視覚化で明確に見ることができます。

気流の閉塞

翼の周りの流線と流管が揚力を生み出します。流れは二次元で、翼の翼幅は無限大です。上側の流管は狭く、下側の流管は広いことに注意してください。

等通過時間説と同様に、「障害」または「流管の狭窄」説は、上面の流れが下面の流れよりも速いと主張しますが、速度差の理由は異なります。湾曲した上面が流れに対してより大きな障害物として作用し、流線を狭めることで流管を狭めると主張します。流管が狭くなると、質量保存則により流速が上昇します。[ 48 ]等通過時間説と同様に、ベルヌーイの定理 により流速が上昇すると上面圧力と揚力が減少します。ベンチュリーノズルとの類似性が指摘されることもあり、翼の上面がベンチュリーノズルのように作用して流れを狭めると主張します。[ 49 ]

障害物による説明における重大な欠陥の一つは、流管の狭窄がどのように起こるのか、またなぜそれが上面の方が下面よりも大きいのかを説明していないことである。下面が平らで上面が湾曲している従来の翼では直感的に理解できるかもしれないが、平板、対称翼、帆船の帆、あるいは逆さまに飛ぶ従来の翼がどのように揚力を生み出すのかは説明できず、狭窄や障害物の量に基づいて揚力を計算しようとしても実験結果を予測することはできない。[ 50 ] [ 51 ] [ 52 ] [ 53 ]もう一つの欠陥は、質量保存則が流れが加速する理由として納得のいく物理的理由にならないことである。物体の加速を効果的に説明するには、それを加速させる力を特定する必要がある。[ 54 ]

ベルヌーイに基づく説明の両方のバージョンに共通する問題

ベルヌーイに基づくすべての説明に共通する重大な欠陥は、速度差が圧力差以外の原因で生じ、ベルヌーイの原理により速度差が圧力差につながると示唆していることである。この一方通行の因果関係は誤解である。圧力と流速の真の関係は相互作用である。[ 4 ]より包括的な物理的説明の項で後述するように、揚力を発生させるには、垂直方向と水平方向の両方向で圧力差を維持する必要がある。ベルヌーイのみに基づく説明では、垂直方向の圧力差がどのように維持されるのか説明できない。つまり、相互作用における流れの偏向という部分が考慮されていないのである。[ 4 ]

上記の2つのベルヌーイに基づく単純な説明は誤りであるが、ベルヌーイの原理や翼の上部の空気の流れが速くなるという事実自体に誤りはなく、ベルヌーイの原理は揚力のより複雑な説明の一部として正しく使用することができる。[ 55 ]

揚力の基本的な属性

揚力は圧力差によって生じ、迎え角、翼型の形状、空気密度、および対気速度によって決まります。

圧力差

圧力とは、空気が自身および接触面に及ぼす単位面積あたりの垂直抗力です。揚力は、翼面に対して垂直に作用する圧力を介して伝達されます。したがって、正味の力は圧力差として現れます。正味の力の方向は、翼の上面の平均圧力が下面の平均圧力よりも低いことを意味します。[ 56 ]

これらの圧力差は、曲がった気流と連動して発生します。流体が曲線を描く場合、流れの方向に対して垂直な圧力勾配が生じ、曲線の外側では圧力が高く、内側では圧力が低くなります。[ 57 ]曲がった流線と圧力差の間のこの直接的な関係は、流線曲率定理と呼ばれることもあり、1754年にレオンハルト・オイラーによってニュートンの第二法則から導き出されました。

d⁡pd⁡R＝ρv2R{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} R}}=\rho {\frac {v^{2}}{R}}}

この式の左辺は、流体の流れに垂直な方向の圧力差を表しています。右辺のρは密度、vは速度、Rは曲率半径です。この式は、速度が高く曲率がきついほど圧力差が大きくなり、直線流れ（R → ∞）では圧力差がゼロになることを示しています。[ 58 ]

迎え角

翼の迎え角

迎え角とは、翼の翼弦線と向かい合う気流との間の角度です。対称翼は、迎え角がゼロの場合には揚力はゼロです。しかし、迎え角が大きくなるにつれて、空気の偏向角が大きくなり、気流速度の垂直成分が増加し、結果として揚力が増加します。迎え角が小さい場合、対称翼は迎え角にほぼ比例した揚力を生成します。[ 59 ] [ 60 ]

迎え角が増加すると、ある角度で揚力は最大に達します。この臨界迎え角を超えて迎え角を増加させると、上面の流れが翼から剥離し、下方向への偏向が減少するため、翼型が生成する揚力が減少します。この状態を失速といいます。[ 61 ]

翼型形状

キャンバー翼型と対称翼型の比較

特定の対気速度において翼型が発生できる最大揚力は、翼型の形状、特にキャンバー角（右図のように、上面が下面よりも凸状になる曲率）の大きさに依存する。キャンバー角を大きくすると、一般的に特定の対気速度における最大揚力は増加する。[ 62 ] [ 63 ]

キャンバー翼は迎え角ゼロで揚力を発生させます。翼弦線が水平の場合、後縁は下向きになり、空気は後縁に沿って流れるため下向きに偏向します。[ 64 ]キャンバー翼が逆さまの場合、迎え角を調整することで揚力が上向きになります。これが飛行機が逆さまに飛行できる理由です。[ 65 ] [ 66 ]

流動条件

揚力に影響を与える周囲の流れ条件には、流体の密度、粘度、流速が含まれます。密度は温度と媒体の音速、つまり圧縮率の影響を受けます。

空気の速度と密度

揚力は空気の密度に比例し、流速の2乗にほぼ比例します。揚力は翼の大きさにも依存し、一般的には揚力方向に投影された翼の面積に比例します。計算においては、これらの要因に基づく 揚力係数を用いて揚力を定量化すると便利です。

境界層とプロファイル抵抗

翼面がいかに滑らかに見えても、空気分子のスケールでは表面は粗い。表面に飛び込んだ空気分子は、粗い表面で元の速度に対してランダムな方向に跳ね返る。その結果、空気を連続体と見なすと、表面に沿って滑ることができず、翼に対する空気の速度は表面でほぼゼロに低下する（つまり、空気分子は表面に沿って滑るのではなく、表面に「くっつく」）状態となる。これは滑りなし状態と呼ばれる。[ 67 ]表面の空気の速度はほぼゼロであるが、表面から離れた空気は動いているため、薄い境界層が形成され、表面近くの空気はせん断運動を受ける。[ 68 ] [ 69 ]空気の粘性がせん断に抵抗し、翼表面に表面摩擦抵抗と呼ばれるせん断応力が生じる。ほとんどの翼型の表面の大部分では境界層が自然に乱流になっており、それが表面摩擦抵抗を増加させます。[ 69 ] [ 70 ]

通常の飛行条件下では、境界層は後縁に至るまで上面と下面の両方に付着しており、流れの残りの部分への影響は小さい。境界層が存在しない非粘性流れ理論の予測と比較すると、付着した境界層は揚力をわずかに減少させ、圧力分布をいくらか変化させ、その結果、表面摩擦抵抗に加えて粘性関連の圧力抵抗が生じる。表面摩擦抵抗と粘性関連の圧力抵抗の合計は、通常、プロファイル抵抗と呼ばれる。[ 70 ] [ 71 ]

遅延

高迎え角で翼から分離する気流

与えられた対気速度における翼の最大揚力は、境界層の剥離によって制限される。迎え角が増加すると、境界層が上面に付着したままでいられなくなる点に達する。境界層が剥離すると、右の流れの可視化写真に示すように、上面上に再循環流の領域が残る。これは失速または失速と呼ばれる。失速を超える迎え角では揚力は大幅に減少するが、ゼロにまで低下することはない。失速前に達成できる最大揚力（揚力係数）は、一般に単要素翼型では1.5未満であるが、高揚力スロットフラップと前縁デバイスを展開した翼型では3.0を超えることがある。[ 72 ]

ブラフボディ

鈍い物体（流線型や失速する翼を持たない物体）の周りの流れは、強い抗力に加えて揚力も生成する可能性がある。この揚力は一定である場合もあれば、渦放出によって振動する場合もある。物体の柔軟性と渦放出の相互作用により、変動する揚力の影響が強まり、渦誘起振動が発生することがある。[ 73 ]例えば、円筒周りの流れはカルマン渦列を生成する。これは、円筒の側面から渦が交互に放出される現象である。流れの振動性により、正味（平均）力が無視できるほど小さいにもかかわらず、円筒に対して変動する揚力が生じる。揚力の周波数は無次元ストローハル数で特徴付けられ、これは流れのレイノルズ数に依存する。 [ 74 ] [ 75 ]

柔軟な構造物の場合、この振動的な揚力は渦誘起振動を引き起こす可能性があります。特定の条件下（例えば、共鳴や揚力のスパン方向の強い相関）では、揚力の変動による構造物の運動が大きく増幅される可能性があります。このような振動は、産業用煙突のような高層人工構造物において問題を引き起こし、倒壊の危険性を高める可能性があります。[ 73 ]

マグヌス効果では、自由流中で回転する円筒によって揚力が発生します。この機械的な回転が境界層に作用し、円筒の両側の異なる場所で境界層が剥離します。この非対称な剥離により、流れの観点から円筒の実効形状が変化し、円筒は外側の流れに循環を伴う揚力翼のように作用します。[ 76 ]

より包括的な物理的説明

前述の「翼型揚力の簡略化された物理的説明」で述べたように、広く普及している説明には主に2つの種類があります。1つは流れの下向きの偏向（ニュートンの法則）に基づくもので、もう1つは流速の変化を伴う圧力差（ベルヌーイの定理）に基づくものです。どちらの説明も、揚力流の一部の側面を正しく特定していますが、現象の他の重要な側面は説明されていません。より包括的な説明は、下向きの偏向と圧力差（圧力差に伴う流速の変化を含む）の両方を考慮し、流れをより詳細に検討する必要があります。[ 77 ]

翼面の揚力

翼型の形状と迎え角は互いに作用し、翼が通過する際に空気に下向きの力を加えます。ニュートンの第三法則によれば、空気は翼に等しく反対方向（上向き）の力、つまり揚力を及ぼします。[ 17 ]

空気によって及ぼされる正味の力は、翼面間の圧力差として発生する。[ 78 ]流体内の圧力は絶対的な意味で常に正である。[ 79 ]そのため、圧力は常に押す力として考えなければならず、引っ張る力として考えてはならない。したがって、圧力は翼の上部表面と下部表面のどこでも内側に押し付けられる。流れる空気は翼の存在に反応して、翼の上部表面の圧力を低下させ、下部表面の圧力を上昇させる。下部表面の圧力は、上部表面の圧力低下が下降させるよりも強く押し上げるため、結果として上向きの揚力が生じる。[ 78 ]

揚力を生み出す圧力差は翼面に直接作用しますが、圧力差がどのように生じるかを理解するには、より広い領域で流れがどのような挙動を示すかを理解する必要があります。

翼周りの広い流れ

翼周りの流れ：点は流れに沿って移動します。黒い点は時間スライス上にあり、前縁で上部と下部に分かれます。画像アニメーションでは、上面と下面の流線の速度差が最も明確に示されており、上面のマーカーは下面のマーカーよりもずっと早く後縁に到達しています。点の色は流線を示しています。

翼は広い範囲にわたって流れの速度と方向に影響を与え、速度場と呼ばれるパターンを作り出します。翼が揚力を生み出すと、翼の前方の流れは上方に、翼の上下の流れは下方に偏向し、翼の遥か後方の空気は遥か前方の対向流と同じ状態になります。上面上の流れは加速され、翼の直下の流れは減速されます。前方の空気の上方への偏向と、すぐ後方の空気の下方への偏向と相まって、流れの正味の循環成分が形成されます。下方への偏向と流速の変化は顕著で、広い範囲に及びます。これは右側の流れのアニメーションからも明らかです。これらの流速と方向の差は、翼の近くで最大となり、遥か上方および下方では徐々に減少します。速度場のこれらの特徴はすべて、揚力流の理論モデルにも現れています。[ 80 ] [ 81 ]

圧力は、圧力場と呼ばれる不均一な圧力パターンを形成する広い領域にも影響を及ぼします。翼型が揚力を生み出す際、図中の等圧線（一定圧力の曲線）で示されているように、翼型の上部には低圧の拡散領域が、下部には通常高圧の拡散領域が存在します。表面に作用する圧力差は、この圧力場の一部にすぎません。[ 82 ]

圧力差と流速変化の相互作用

翼周りの圧力場。線は長さ方向に沿って等圧線で、等圧線は等圧線です。矢印は高圧力（赤）から低圧力（青）への圧力差を示しており、これにより空気をその方向に加速させる力も表されています。

不均一な圧力は、空気に高圧から低圧への方向の力を及ぼします。力の方向は、翼の周りの場所によって異なり、翼の図の周りの圧力場におけるブロック矢印で示されています。翼の上側の空気は低圧領域の中心に向かって押し出され、翼の下側の空気は高圧領域の中心から外側に向かって押し出されます。

ニュートンの第二法則によれば、力は空気を力の方向に加速させます。したがって、添付の圧力場図の垂直矢印は、翼の上下の空気が加速、つまり下向きに曲げられていることを示しています。そして、この不均一な圧力が、流れのアニメーションで見られるように、流れを下向きに曲げる原因となっています。この下向きの曲げを生み出すには、翼は正の迎え角を持つか、十分な正のキャンバー角を持つ必要があります。上面における流れの下向きの曲げは、空気が下向きの圧力よりも高い上向きの圧力によって下方に押し下げられる結果であることに注意してください。「コアンダ効果」に言及するいくつかの説明では、粘性が下向きの曲げに重要な役割を果たしていると示唆されていますが、これは誤りです（上記の「コアンダ効果に関する論争」を参照）。

翼の前方の矢印は、翼前方の流れが上方に偏向していることを示しており、翼の後方の矢印は、後方の流れが翼上で下方に偏向した後、再び上方に偏向していることを示しています。これらの偏向は、流れのアニメーションでも確認できます。

翼の前後の矢印は、翼上部の低圧領域を通過する空気が流入時に加速し、流出時に減速することを示しています。翼下部の高圧領域を通過する空気は、流入時に減速し、流出時に加速します。このように、不均一な圧力は、流れのアニメーションで見られる流速の変化の原因でもあります。流速の変化は、粘性のない定常流では、圧力が低いほど流速は速く、圧力が高いほど流速は遅くなるという ベルヌーイの定理と一致しています。

このように、流れの方向と速度の変化は、不均一な圧力によって直接引き起こされます。しかし、この因果関係は一方通行ではなく、同時に両方向に作用します。空気の動きは圧力差によって影響を受けますが、圧力差の存在は空気の動きに依存します。したがって、この関係は相互的、つまり互恵的な相互作用です。空気の流れは圧力差に応じて速度または方向を変え、圧力差は速度または方向の変化に対する空気の抵抗によって維持されます。[ 83 ]圧力差は、それが押すものがある場合のみ存在できます。空気力学的流れでは、空気が圧力差によって加速されるため、圧力差が空気の慣性に逆らって押します。[ 84 ]これが、空気の質量が計算の一部である理由であり、揚力が空気の密度に依存する理由です。

翼表面に揚力を及ぼす圧力差を維持するには、翼周囲の広い領域に不均一な圧力パターンを維持する必要があります。そのためには、垂直方向と水平方向の両方で圧力差を維持する必要があり、ベルヌーイの定理に従って流れを下向きに曲げ、流速を変化させる必要があります。圧力差と流れの方向と速度の変化は、相互作用によって互いを維持します。圧力差は、ニュートンの第二法則と、表面に沿った流れが主に下向きに傾斜する翼の輪郭に沿って流れるという事実から自然に生じます。そして、空気が質量を持つという事実は、この相互作用にとって非常に重要です。[ 85 ]

より単純な説明が不十分である理由

揚力を発生させるには、流れを下向きに曲げることと、ベルヌーイの定理と一致する流速の変化の両方が必要です。「翼型上の揚力の簡略化された物理的説明」で上記に示した簡略化された説明は、いずれも揚力をどちらか一方のみで説明しようとすることで不十分であり、現象の一部しか説明できず、他の部分は説明されていません。[ 86 ]

リフトの定量化

圧力統合

翼面上の圧力分布が既知である場合、全揚力を決定するには、翼面上の局所的な要素（それぞれが独自の局所的な圧力値を持つ）からの圧力への寄与を合計する必要がある。したがって、全揚力は、翼面上の遠方場流れに垂直な方向の圧力の積分となる。[ 87 ]

L＝∮pn⋅けdS、{\displaystyle L=\oint p\mathbf {n} \cdot \mathbf {k} \;\mathrm {d} S,}

どこ：

  • Sは平均気流に対して垂直に測定された翼の投影面積（平面面積）です。
  • nは翼に向かう法線単位ベクトルです。
  • kは自由流の方向に垂直な垂直単位ベクトルです。

上記の揚力方程式では、圧力力に比べて小さい 皮膚摩擦力は無視されます。

積分においてkの代わりに自由流に平行な流れ方向ベクトルiを用いることで、圧力抵抗D p （プロファイル抵抗の圧力成分と、翼が3次元の場合は誘導抵抗を含む）の式が得られます。翼幅方向ベクトルjを用いると、横力Yが得られます。

Dp＝∮pn⋅私dS、はい＝∮pn⋅jdS。{\displaystyle {\begin{aligned}D_{p}&=\oint p\mathbf {n} \cdot \mathbf {i} \;\mathrm {d} S,\\Y&=\oint p\mathbf {n} \cdot \mathbf {j} \;\mathrm {d} S.\end{aligned}}}

この積分の妥当性には、一般に、翼型の形状が部分的に滑らかな閉曲線であることが必要です。

揚力係数

揚力は翼の大きさに依存し、翼面積にほぼ比例します。特定の翼型の揚力を定量化する際には、揚力係数 を用いると便利です。揚力係数は、翼の単位面積あたりの揚力の大きさを定義します。 CL{\displaystyle C_{L}}

特定の迎え角における翼の値が与えられれば、特定の流れの条件で生成される揚力を決定することができる。 [ 88 ]CL{\displaystyle C_{L}}

L＝12ρv2SCL{\displaystyle L={\tfrac {1}{2}}\rho v^{2}SC_{L}}

どこ

揚力の数学的理論

揚力の数学的理論は連続流体力学に基づいており、空気は連続した流体として流れるものと仮定している。[ 90 ] [ 91 ] [ 92 ]揚力は物理学の基本原理に従って生成されるが、最も重要なのは次の3つの原理である。[ 93 ]

翼は周囲の広い範囲の流れに影響を与えるため、力学の保存則は偏微分方程式と、翼表面および翼から離れた場所で流れが満たさなければならない境界条件の組み合わせの形で具体化されます。[ 94 ]

揚力を予測するには、特定の翼型形状と流れの条件に関する方程式を解く必要がありますが、これは通常、膨大な計算量を必要とするため、数値流体力学（CFD）の手法を用いてコンピュータ上でのみ実行可能です。CFD解から正味の空気力を求めるには、 「圧力積分」で説明したように、翼型の表面要素ごとにCFDによって決定された圧力とせん断力による力を「加算」（積分）する必要があります。

ナビエ・ストークス方程式（NS）は、揚力の理論として最も精度が高いと考えられるものの、実際には翼面境界層における乱流の影響を捉えるためには精度をある程度犠牲にし、レイノルズ平均ナビエ・ストークス方程式（RANS）の使用が必要となる。より単純だが精度の低い理論も開発されている。

これらの方程式は、質量保存の法則、ニュートンの第2法則（運動量保存の法則）、エネルギー保存の法則、ニュートンの粘性作用の法則、フーリエ熱伝導の法則、密度、温度、圧力に関する状態方程式、および流体の粘性および熱伝導率の公式を表しています。[ 95 ] [ 96 ]

原理的には、NS方程式は、翼表面での貫通流および滑りがないという境界条件と組み合わせることで、通常の大気圏内飛行のあらゆる状況で高精度に揚力を予測するために使用できます。しかし、実際の状況での気流では、少なくとも翼後部では、翼表面に隣接する境界層に常に乱流が存在します。NS方程式をそのまま解いて揚力を予測するには、乱流の詳細を、最小の渦に至るまで計算で解決する必要があります。これは、最も強力なコンピュータを使用してもまだ不可能です。[ 97 ]そのため、原理的にはNS方程式は完全で非常に正確な揚力の理論を提供しますが、揚力の実際の予測には、乱流の影響を直接計算するのではなく、RANS方程式でモデル化する必要があります。

レイノルズ平均ナビエ・ストークス（RANS）方程式

これらは、乱流運動を時間平均したNS方程式と、乱流モデル（乱流が時間平均的に境界層にどのように影響するかに関する次元解析と経験的情報の組み合わせに基づく追加の方程式セット）によって表現された時間平均流れに対する乱流の影響です。[ 98 ] [ 99 ] RANSソリューションは、翼の周囲の点の密なグリッドで定義された時間平均速度ベクトル、圧力、密度、温度で構成されます。

必要な計算量は、乱流運動を全て計算するために必要な計算量のごく一部（10億分の1）[ 97 ]であり、大型コンピュータの普及により、3次元の航空機全体に対してRANS計算を実行することが現実的になっています。乱流モデルは完全ではないため、RANS計算の精度は不完全ですが、実用的な航空機設計には十分です。RANSによって予測される揚力は、通常、実際の揚力の数パーセント以内です。

非粘性流れ方程式（オイラー方程式またはポテンシャル方程式）

オイラー方程式は、粘性、熱伝導、乱流の影響を除いたNS方程式です。[ 100 ] RANS解と同様に、オイラー方程式は、翼型を取り囲む稠密な格子点において定義された速度ベクトル、圧力、密度、温度から構成されます。オイラー方程式はNS方程式よりも単純ですが、厳密な解析解を得ることはできません。

ポテンシャルフロー理論により、さらに簡略化が可能になり、決定すべき未知数の数が削減され、後述するように、場合によっては解析的な解法が可能になります。

オイラー法やポテンシャルフロー法による計算は、失速以下の迎え角では翼面の圧力分布を概ね正確に予測しますが、総揚力に対して10～20%ほど誤差が生じる可能性があります。失速以上の迎え角では、非粘性計算では失速の発生を予測できず、結果として揚力を大幅に過大評価してしまいます。

ポテンシャル流理論では、流れは非回転流れ、すなわち小さな流体塊は正味の回転速度を持たないと仮定される。数学的には、これは速度ベクトル場の回転角がどこでもゼロであるという式で表される。非回転流れは、速度をポテンシャルと呼ばれるスカラー関数の勾配として表せるという便利な性質を持つ。このように表現される流れはポテンシャル流と呼ばれる。[ 101 ] [ 102 ] [ 103 ] [ 104 ]

ポテンシャル流理論では、流れは非圧縮性であると仮定されます。非圧縮性ポテンシャル流理論の利点は、ポテンシャルについて解くべき方程式（ラプラス方程式）が線形であるため、既知の解の重ね合わせによって解を構築できることです。非圧縮性ポテンシャル流方程式は、複素変数関数の理論に基づく方法である等角写像によっても解くことができます。20世紀初頭、コンピュータが利用可能になる前に、等角写像は、ある種の理想的な翼型形状に対する非圧縮性ポテンシャル流方程式の解を生成するために使用され、揚力翼上の圧力分布に関する最初の実用的な理論的予測のいくつかを提供しました。

ポテンシャル方程式の解は速度場のみを直接決定します。圧力場はベルヌーイ方程式を通して速度場から導き出されます。

翼周りの非揚力流れパターンと、クッタ条件に一致する揚力流れパターン（流れが後縁から滑らかに離れる）の比較

ポテンシャル流理論を揚力流に適用するには、特別な処理と追加の仮定が必要となる。この問題は、非粘性流における翼の揚力は、翼周りの流れにおける循環を必要とする（下記「循環とクッタ・ジューコフスキーの定理」を参照）が、翼周りの領域全体で連続する単一のポテンシャル関数では、循環がゼロでない流れを表現できないために生じる。この問題の解決策は、翼表面のある点から無限遠まで延びる曲線または直線である分岐カットを導入し、カットを挟んでポテンシャル値がジャンプすることを許容することである。このポテンシャルジャンプは、流れにポテンシャルジャンプに等しい循環を課し、非ゼロの循環を表現することを可能にする。しかし、ポテンシャルジャンプはポテンシャル方程式やその他の境界条件によって決定されない自由パラメータであるため、解は不定となる。ポテンシャル流の解は、循環の値と揚力の任意の値に対して存在する。この不確定性を解決する一つの方法は、クッタ条件[ 105 ] [ 106 ]を課すことである。これは、すべての可能な解の中で、流れが後縁から滑らかに離れる解が物理的に合理的な解であるというものである。流線図は、揚力ゼロの流れパターン（流れが後縁を迂回して後縁より前方の上表面から離れる）と、揚力が正の流れパターン（流れがクッタ条件に従って後縁から滑らかに離れる）を示している。

線形ポテンシャルフロー

これはポテンシャル流理論であり、翼型が非常に薄く、迎え角が小さいという仮定をさらに加えたものである。[ 107 ]線形化理論は、翼型圧力分布の一般的な特性と、それが翼型の形状と迎え角によってどのように影響を受けるかを予測するが、設計作業に十分な精度ではない。2次元翼型の場合、このような計算はPC上のスプレッドシートでほんの一瞬で実行できる。

循環とクッタ・ジューコフスキーの定理

翼周りの流れの循環成分

翼が揚力を生成すると、全体的な速度場のいくつかの要素が、翼の周囲の空気の正味循環に寄与します。つまり、翼の前方の上昇流、上方の加速流、下方の減速流、および後方の下降流です。

循環は、翼の周りの非粘性流体の 「回転」（または渦度）の総量として理解できます。

クッタ＝ジューコフスキーの定理は、二次元翼の翼幅単位あたりの揚力と、この流れの循環成分を関連付けるものである。[ 80 ] [ 108 ] [ 109 ]これは、翼が静止状態から運動を開始し、初期渦が形成されて残され、翼の周囲に循環が形成されるまでの翼周りの流れの発達に伴う揚力を説明する上で重要な要素である。[ 110 ] [ 111 ] [ 112 ]そして、クッタ＝ジューコフスキーの定理から揚力が推論される。この説明は主に数学的であり、その一般的な展開は物理的な因果関係ではなく、論理的推論に基づいている。[ 113 ]

クッタ・ジューコフスキーモデルは、二次元翼型がどの程度の循環や揚力を生み出すかを予測するものではありません。クッタ・ジューコフスキーモデルを用いて単位翼幅あたりの揚力を計算するには、循環の値が既知である必要があります。特に、後方のよどみ点が翼型後縁に移動し、飛行中そこに付着するというクッタ条件が満たされる場合、等角写像法を用いて揚力を理論的に計算することができます。

従来の翼型によって発生する揚力は、翼型設計と飛行条件（前進速度、迎え角、空気密度など）の両方によって決まります。揚力は、境界層吹出しやブロウンフラップの使用など、人工的に循環を増加させることで増加させることができます。フレットナーローターでは、翼型全体が円形で、翼幅方向の軸を中心に回転することで循環を作り出します。

3次元フロー

飛行機の翼と胴体の組み合わせの断面図。3次元の揚力流の等圧線を示しています。
飛行機の翼と胴体の組み合わせの断面。3次元の揚力流の速度ベクトルを示しています。

三次元翼周りの流れは、特に翼端に関連する重要な追加問題を伴います。典型的なデルタ翼のような低アスペクト比の翼の場合、二次元理論では不十分なモデルとなり、三次元流れの効果が支配的になる可能性があります。[ 114 ]高アスペクト比の翼であっても、有限翼幅に関連する三次元効果は、翼端付近だけでなく、翼幅全体に影響を及ぼす可能性があります。

翼端と翼幅方向の分布

翼端における垂直方向の圧力勾配により、空気は翼下から横方向に流れ出し、上面を経由して再び上方に流れます。これにより翼端の圧力勾配が減少し、揚力も減少します。揚力は翼根から翼端にかけて翼幅方向に減少する傾向があり、それに応じて翼断面周辺の圧力分布も翼幅方向に変化します。飛行方向に対して垂直な面における圧力分布は、右の図のようになります。[ 115 ]この翼幅方向に変化する圧力分布は、速度場との相互作用によって維持されます。翼下の流れは翼端外側に加速され、翼端外側の流れは上方に加速され、翼上の流れは翼幅内側に加速され、右に示すような流れのパターンが生じます。[ 116 ]

同じ翼型と断面揚力を持つ2次元流れよりも流れの下向きの曲がりが大きく、2次元流れと比較して同じ揚力を得るためにはより大きな断面迎え角が必要となる。[ 117 ]翼は事実上、自由流が下向きに傾いているかのように自ら作り出した下降気流の中を飛行しており、その結果、全体の空気力ベクトルは2次元の場合に比べてわずかに後方に傾いている。この力ベクトルの後方への追加成分は揚力誘導抗力と呼ばれる。

後流渦度シートから巻き上がる先端渦のオイラー計算

翼の上下での速度の翼幅方向成分の差（上面では内側方向、下面では外側方向）は、後縁から下流の後流まで持続します。流れが後縁を離れた後、この速度差は渦シートと呼ばれる比較的薄いせん断層を横切って発生します。

馬蹄渦システム

馬蹄渦システムを示す翼の平面図

翼端から流出する流れは翼端渦を形成します。主渦シートが後縁から下流へ通過するにつれて、その外縁が巻き上がり、翼端渦と合流します。翼端渦と、それらに流れ込む渦シートの組み合わせは、渦後流と呼ばれます。

後流渦の渦度に加えて、翼の境界層にも「境界渦度」と呼ばれる渦度があり、翼の両側から後流するシートを馬蹄形の渦系に結び付けます。この馬蹄形の渦系は、1907年にイギリスの航空学のパイオニアであるランチェスターによって認識されました。[ 118 ]

束縛渦度分布と後流渦度が与えられれば、ビオ・サバールの法則（ベクトル計算関係）を用いて、翼の揚力によって引き起こされる場の任意の場所における速度擾乱を計算することができる。三次元翼の揚力分布と揚力誘導抗力に関する近似理論は、このような解析を翼の馬蹄形渦系に適用したものである。[ 119 ] [ 120 ]これらの理論では、束縛渦度は通常理想化され、翼内部のキャンバー面に存在すると仮定される。

このような理論では速度は渦度から推定されるため、一部の研究者は、例えば「渦によって誘起される速度」といった用語を用いて、渦度が速度の摂動の原因であるかのように状況を説明する。[ 121 ]しかし、このように渦度と速度の間に機械的な因果関係を帰することは、物理学と矛盾する。[ 122 ] [ 123 ] [ 124 ]翼周りの流れにおける速度の摂動は、実際には圧力場によって生成される。[ 125 ]

遠方場における揚力の発現

揚力流における力と運動量の統合バランス

揚力翼周りの2次元流れにおける運動量バランスの解析に用いられる、様々な形状のコントロールボリューム。翼は単位翼幅あたり空気に下向きの力（−L'）を及ぼすと仮定し、その力が運動量フラックスと外側境界における圧力差として現れる割合を、コントロールボリュームの形状ごとに示します。

揚力翼周りの流れは、流れ場のあらゆる点で局所的に、また流れの任意の拡張領域に渡って積分された意味で、運動量保存に関するニュートンの第二法則を満たさなければならない。拡張領域の場合、ニュートンの第二法則は制御体積に対する運動量定理の形をとる。ここで、制御体積は解析のために選択された流れの任意の領域である。運動量定理は、制御体積の境界に及ぼされる積分された力（面積分）は、制御体積の内部を通過する流体塊の運動量の積分された時間変化率（物質微分）に等しいと述べている。定常流れの場合、これは境界を通る運動量流束の正味面積分の形で表される。[ 126 ]

2D 翼周りの揚力流は、通常、翼を完全に取り囲むコントロール ボリューム内で解析されるため、コントロール ボリュームの内側境界は翼面となり、単位スパンあたりの下向きの力が翼によって流体に及ぼされる。外側境界は通常、大きな円か大きな長方形のいずれかである。翼から離れたこの外側境界では、速度と圧力は均一な流れと渦に関連する速度と圧力で適切に表され、粘性応力は無視できるため、外側境界で積分する必要がある力は圧力のみとなる。[ 127 ] [ 128 ] [ 129 ]自由流の速度は通常水平で、揚力は鉛直上向きであると仮定されるため、垂直方向の運動量が関心対象の成分となる。 −L′{\displaystyle -L'}

自由空気の場合（接地面なし）、翼が流体に及ぼす力は、右図に示すように、外側境界の形状に応じて、一部は運動量フラックスとして、一部は外側境界における圧力差として現れます。高さよりも長さがはるかに長い平坦な水平長方形の場合、前面と背面を通る垂直方向の運動量フラックスは無視でき、揚力は上部と下部の圧力差によって完全に説明されます。[ 127 ]正方形または円形の場合、運動量フラックスと圧力差はそれぞれ揚力の半分を占めます。[ 127 ] [ 128 ] [ 129 ]幅よりも高さの方がはるかに大きい長方形の場合、上部と下部の不均衡な圧力は無視でき、揚力は完全に運動量フラックスによって説明され、前面から制御容積に入る上向きの運動量のフラックスが揚力の半分を占め、背面から制御容積から出る下向きの運動量のフラックスが残りの半分を占めます。[ 127 ]−L′{\displaystyle -L'}

上述のコントロールボリューム解析の結果はすべて、前述のクッタ＝ジューコフスキーの定理と一致する。この定理の導出には、縦長の長方形と円形の両方のコントロールボリュームが用いられてきた。[ 128 ] [ 129 ]

飛行機の下の地面の過圧によって揚力が反応する

亜音速飛行中の飛行機の下の地面における周囲より高い圧力の分布の図

翼型は、上記の「翼型周囲のより広い流れ」で説明したように、周囲の空気に圧力場を作り出します。この場に伴う圧力差は徐々に小さくなり、遠距離では非常に小さくなりますが、完全に消えることはありません。飛行機の下方では、圧力場は正圧の擾乱として地面に到達し、右図に示すように、地面に周囲よりわずかに高い圧力のパターンを形成します。[ 130 ]飛行機のはるか下方では圧力差は非常に小さいですが、広い範囲に広がり、大きな力として加算されます。安定した水平飛行の場合、圧力差による力の総和は、飛行機の全揚力と飛行機の重量に等しくなります。ニュートンの第三法則によれば、空気が地面に及ぼすこの圧力は、地面が空気に及ぼす等しく反対方向の上向きの力と釣り合い、飛行機が空気に及ぼす下向きの力をすべて相殺します。したがって、大気全体に作用する揚力による正味の力はゼロであり、したがって、現代の空気力学の発展の初期にランチェスターが指摘したように、大気中に垂直方向の運動量の統合的な蓄積は存在しない。[ 131 ]

参照

脚注

  1. ^ a b “What is Lift?”グレン研究センター | NASA . NASAグレン研究センター. 2023年2月9日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2023年2月9日閲覧。
  2. ^クルファン（2010）
  3. ^ Clancy, LJ,空気力学、セクション14.6
  4. ^ a b c d e f gダグ・マクリーン空気力学的揚力、第2部：包括的な物理的説明物理学教師、2018年11月
  5. ^ダグ・マクリーン空気力学的揚力、パート1：科学物理学教師、2018年11月
  6. ^ a b「揚力の発生原理については多くの理論があります。残念ながら、百科事典やウェブサイト、さらには教科書に載っている理論の多くは誤っており、学生に不必要な混乱を招いています。」NASA 「誤った揚力理論 #1」 2000年8月16日。 2014年4月27日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2021年6月27日閲覧。
  7. ^「ほとんどの教科書ではベルヌーイの公式は導出も説明もほとんどありません。翼の揚力に適用する場合、説明と図はほぼ常に間違っています。少なくとも入門コースでは、翼の揚力はニュートンの第三法則、つまり上向きの推力は下向きの空気の運動量の時間変化率に等しいという形で簡単に説明されるべきです。」クリフ・シュワルツ他『高校物理教科書の誤り、誤解、そして甚だしい間違い - 調査』『物理教師』第37巻、1999年5月、300ページ[1] 2019年8月25日アーカイブ、 Wayback Machineにて
  8. ^ Arvel Gentry Proceedings of the Third AIAA Symposium on the Aero/Hydronautics of Sailing 1971. 「帆の相互作用における空気力学」(PDF) 。オリジナル(PDF)から2011年7月7日にアーカイブ。 2011年7月12日閲覧。翼が揚力を生み出す仕組みの一つとして、翼型の形状により、空気は上面よりも下面よりも速く流れる、という説明があります。もちろん、薄い翼型の帆では、上面と下面の距離は同じなので、この揚力の説明は成り立ちません。{{cite web}}: CS1 maint: 数値名: 著者リスト (リンク)
  9. ^「翼の上側に沿った経路が長くなり、空気の速度が速くなるという説明がよく用いられるが、これは誤りである。」空気力学的揚力に関する説明の比較クラウス・ウェルトナー、 Am. J. Phys. Vol.55、1987年1月1日
  10. ^「物体に働く揚力は単純です…それは、運動する流体の旋回に対する固体の反応です…では、なぜ流体はこのように旋回するのでしょうか？流体を扱っている以上、ここに複雑さが伴います。…流れが旋回する原因は、流体による質量、運動量（直線方向と角度方向の両方）、そしてエネルギーの同時保存です。そして、流体の場合、質量は（固体とは異なり）移動して再分配できますが、運動量（質量×速度）とエネルギー（質量×速度の2乗）を保存する方法でしかできないため、これは紛らわしいものです…流体では、一方向の速度変化が垂直方向の速度変化を引き起こすことがありますが、これは固体力学では起こりません…このように、流れがどのように旋回するかを正確に記述することは複雑な問題であり、ほとんどの人には想像できないほど複雑です。そこで私たちは単純化された「モデル」を作ります。そして単純化すると、何かを省略してしまいます。つまり、モデルには欠陥があるのです。揚力生成に関する議論のほとんどは、様々なモデルの欠陥を見つけることに行き着くため、議論は… 「通常は非常に正当です。」NASAグレン研究センターのトム・ベンソン氏は、AlphaTrainer.Comのインタビューでこう述べています。「アーカイブコピー - トム・ベンソンインタビュー」。2012年4月27日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2012年7月26日閲覧。
  11. ^ Clancy, LJ,空気力学、セクション5.2
  12. ^マクリーン、ダグ（2012年）『空気力学を理解する：現実の物理学からの議論』ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、281頁。ISBN 978-1119967514Wikipediaの「空気力学における揚力」の記事のいくつかの版でよく見られるように、揚力は常に圧力か運動量のどちらかで説明でき、両者は何らかの意味で「同等」であるという主張もよく聞かれます。この「どちらか一方」というアプローチも的外れです。
  13. ^「どちらのアプローチも等しく有効かつ正確であり、この概念が本稿の結論の中核を成す。」チャールズ・N・イーストレイク著『空気力学者による揚力、ベルヌーイ、ニュートンの視点』物理学教師誌第40巻、2002年3月号「アーカイブコピー」（PDF） 。 2009年4月11日時点のオリジナル（PDF）からのアーカイブ。 2009年9月10日閲覧。{{cite web}}: CS1 maint: アーカイブされたコピーをタイトルとして (リンク)
  14. ^アイソン、デイヴィッド、「ベルヌーイかニュートンか：揚力についてどちらが正しいのか？」『Plane & Pilot』 、 2015年9月24日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2011年1月14日閲覧。
  15. ^「翼の効果は、気流に下向きの速度成分を与えることです。偏向した空気塊の反作用力は、翼に等しく反対方向の上向きの成分を与えるように作用する必要があります。」ハリデービッド、レスニック、ロバート『物理学の基礎』第3版、ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、378ページ
  16. ^アンダーソンとエバーハート（2001）
  17. ^ a bランゲヴィーシェ（1944）
  18. ^「空気が翼の方向に対してわずかに傾斜した上空と下空を流れると、空気は進路を変えられます。さて、物体が等速直線運動をしている場合、方向または速度を変えるには力が必要です。したがって、帆は風に力を及ぼし、作用と反作用は等しく反対方向であるため、風は帆に力を及ぼします。」出典：ジョン・モーウッド著『セーリング空気力学』、アドラード・コールズ・リミテッド、17ページ
  19. ^ a.「流れの方向転換による揚力」 NASAグレン研究センター、2000年5月27日。2011年7月5日時点のオリジナルよりアーカイブ。2021年6月27日閲覧。揚力とは、移動する流体を回転させることによって発生する力である…物体の形状、移動、または傾斜によって流れの正味の偏向または方向転換が生じる場合、局所的な速度の大きさ、方向、またはその両方が変化する。速度の変化は、物体に正味の力を発生させる。 b.ヴァシリス・スパトポロス. 「初心者のための飛行物理学：ニュートンの法則の簡単な適用例The Physics Teacher Vol. 49, 2011年9月 p. 373」 . 2013年6月18日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2021年6月29日閲覧。基本的に、翼の存在（その形状と流入する流れに対する傾斜、いわゆる迎え角）により、流れは下向きに偏向します。これはニュートンの第三法則が作用しており、流れは翼に対して上向きの反作用力を及ぼし、揚力を生み出します。 c.ランゲヴィーシェ著『スティックとラダー』6ページ。空気より重い飛行機の飛行における主要な事実は、翼が空気を押し下げることで飛行機を浮かせているということである。
  20. ^ a.クリス・ウォルサム. 「ベルヌーイなしの飛行」(PDF) . The Physics Teacher Vol. 36 1998年11月. 2011年9月28日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) . 2011年8月4日閲覧。鳥や飛行機が飛ぶのは、常に空気を下向きに押し下げているからです。L = Δp/Δt で、L = 揚力、Δp/Δt は空気流に下向きの運動量が与えられる速度です。 b. Clancy, LJ Aerodynamics . Pitman 1975, p. 76.この揚力は、翼上を流れる空気に与えられる下向きの運動量として作用します。したがって、翼の揚力は、この空気の下向きの運動量の輸送速度に等しいのです。 c. Smith, Norman F. (1972). 「流体力学におけるベルヌーイとニュートン」. The Physics Teacher . 10 (8): 451. Bibcode : 1972PhTea..10..451S . doi : 10.1119/1.2352317 . …空気が翼に上向きの力を発生させるには、翼は空気に下向きの力を発生させる必要があります。このような状況では空気は力を維持できないため、下向きに偏向、つまり加速されます。ニュートンの第二法則は、揚力を定量化する手段を与えてくれます。F lift = m∆v/∆t = ∆(mv)/∆t。揚力は、空気の運動量の時間変化率に等しい。
  21. ^「…揚力翼によって生成されるダウンウォッシュを考慮すると、上面は下面よりも流れの旋回に大きく寄与する。」誤った理論その2 NASAグレン研究センターhttps://www1.grc.nasa.gov/beginners-guide-to-aeronautics/foilw2/ 2023年2月9日アーカイブ、 Wayback Machineにて
  22. ^「これは翼の上部と下部の両方である程度起こりますが、上部の前方部分でより顕著になるため、上部が主な揚力発生源として認められます。」チャールズ・N・イーストレイク『空気力学者の視点：揚力、ベルヌーイ、ニュートン』物理学教師第40巻、2002年3月PDF 2009年4月11日アーカイブ、 Wayback Machineにて
  23. ^「圧力は前縁から翼弦の約5～15%の地点で最小値に達します。その結果、揚力の約半分は翼型の最初の1/4翼弦領域で発生します。3つの迎え角すべてにおいて、前縁以降は同様の圧力変化が見られます。さらに、3つのケースすべてにおいて、上面は下面よりも多くの揚力に寄与しています。そのため、翼上面を清潔で剛性の高い状態に保つことが重要です。ほとんどの航空機では、翼上面に物体が一切設置されていないのはこのためです。」 翼の挙動：クラークY-14の主翼上の圧力分布David Guo、サザンニューハンプシャー大学工学・技術・航空学部（CETA） https://www.jove.com/v/10453/airfoil-behavior-pressure-distribution-over-a-clark-y-14-wing 2021年8月5日アーカイブ、 Wayback Machineにて
  24. ^「翼の上部には常に大きな注目が集まりますが、翼の下部も揚力に貢献します。」ベルヌーイかニュートンか：揚力について正しいのはどちら？デイビッド・アイソン Plane & Pilot 2016年2月
  25. ^ Auerbach, David (2000)、「なぜ航空機は飛ぶのか」、Eur. J. Phys.、2​​1 (4): 289、Bibcode : 2000EJPh...21..289A、doi : 10.1088/0143-0807/21/4/302、S2CID 250821727 
  26. ^ Denker, JS, Fallacious Model of Lift Production、2009年3月2日時点のオリジナルよりアーカイブ、 2008年8月18日閲覧。
  27. ^ Wille, R.; Fernholz, H. (1965)、「コアンダ効果に関する第1回ヨーロッパ力学コロキウム報告書」、J. Fluid Mech.、23 (4): 801、Bibcode : 1965JFM....23..801W、doi : 10.1017/S0022112065001702、S2CID 121981660 
  28. ^アンダーソン、デイビッド、エバーハート、スコット（1999年）、飛行機の飛行方法：揚力の物理的説明、2016年1月26日時点のオリジナルよりアーカイブ、2008年6月4日閲覧。
  29. ^ラスキン、ジェフ（1994）、コアンダ効果：翼が機能する理由を理解する、 2007年9月28日時点のオリジナルよりアーカイブ
  30. ^アウアーバッハ（2000）
  31. ^デンカー（1996）
  32. ^ヴィレとフェルンホルツ(1965)
  33. ^ホワイト、フランク・M.（2002年）、流体力学（第5版）、マグロウヒル
  34. ^マクリーン、D.（2012）、セクション7.3.2
  35. ^マクリーン、D.（2012）、セクション7.3.1.7
  36. ^バージ、シリル・ゴードン (1936). 『航空百科事典』ロンドン: ピットマン、p. 441. 「…翼上面の突起部を通過する空気が、翼下面を通過する空気よりも速く加速されなければ、翼後縁に同時に到達することはできないという事実。」
  37. ^イルマン、ポール (2000). 『パイロットの航空知識ハンドブック』. ニューヨーク: マグロウヒル. pp. 15–16. ISBN 0071345191. 上翼面に沿って流れる空気は、下翼面に沿って流れる空気よりも同じ時間でより長い距離を移動します。
  38. ^ディングル、ロイド、トゥーリー、マイケル・H. (2005). 航空機工学の原理. ボストン: エルゼビア・バターワース・ハイネマン. p. 548. ISBN 0-7506-5015-X. 図7.6に示す翼の反り返った上面を通過する空気は、翼の周りを通過する際に分割され、翼断面の下を流れる空気と同時に翼の後縁に到達するため、速度が上昇します。
  39. ^「アメリカ合衆国でほぼ標準的な教科書の説明によると、飛行機の翼の翼型は、上面の方が下面よりも曲率が大きい特殊な形状をしています。そのため、空気は上面を上面よりも下面よりも長く移動しなければなりません。空気は同じ時間内に上面と下面を移動する必要があるため…上面の速度は下面よりも速くなります。ベルヌーイの定理によれば、この速度差が圧力差を生み出し、これが揚力となります。」流体力学におけるベルヌーイとニュートン、ノーマン・F・スミス著『物理学教師』 1972年11月、第10巻第8号、451ページ[2]
  40. ^クレイグGM（1997）、ベルヌーイの乱用をやめよう
  41. ^「残念ながら、この説明は3つの点で[不完全]です。第一に、翼型は上面の曲率が下面の曲率よりも大きい必要はありません。飛行機は完全に対称的な翼型、つまり上面と下面の曲率が同じ翼型で飛行できますし、実際に飛行しています。第二に、たとえ翼型が隆起（キャンバー）していたとしても、空気が上面の曲面と下面を同時に通過しなければならないという主張は…虚構です。これを示す物理法則は存在しません。第三に、そしてこれが最も重大な点ですが、一般的な教科書的な説明とそれに付随する図は、気流を全く乱さずに翼に作用する力について説明しています。これはニュートンの第三法則に違反しています。」流体力学におけるベルヌーイとニュートンノーマン・F・スミス著『物理学教師』 1972年11月 第10巻第8号、p. 451「ブラウズ - 物理学の先生」 。 2012年3月17日時点のオリジナルよりアーカイブ。2011年8月4日閲覧。
  42. ^アンダーソン、デイビッド（2001）、Understanding Flight、ニューヨーク：マグロウヒル、p.15、ISBN 978-0-07-136377-8まず間違っているのは、揚力のある翼の場合、等通過時間の原則が当てはまらないことです。
  43. ^アンダーソン、ジョン（2005年）『飛行入門』ボストン：マグロウヒル高等教育、355ページ。ISBN 978-0072825695すると、これら2つの要素は後縁で合流するはずであると仮定されます。翼の上面の走行距離は下面の走行距離よりも長いため、上面の要素の方が速く移動するはずです。しかし、これは全く正しくありません。
  44. ^ “ケンブリッジの科学者が空飛ぶ神話を暴く - Telegraph” . 2012年6月30日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2012年6月10日閲覧。ケンブリッジの科学者が飛行神話を暴くイギリス・テレグラフ 2012年1月24日
  45. ^流れの可視化. 全米流体力学委員会フィルムズ/教育開発センター. 2016年10月21日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2009年1月21日閲覧。翼の下面上の典型的な減速流と上面上の加速流の視覚化は、ビデオの 5:29 から始まります。
  46. ^「…曲面の上を移動する粒子は、下を移動する粒子よりも速く移動しなければならないという厄介な話を聞いたことがありますか？なぜなら、移動距離が長いにもかかわらず、同時に到達しなければならないからです。これは全くの誤りです。そんなことは起こりません。」チャールズ・N・イーストレイク『空気力学者による揚力、ベルヌーイ、ニュートンの視点』物理学教師第40巻、2002年3月PDF 2009年4月11日アーカイブ、 Wayback Machineにて
  47. ^「翼上面の実際の速度は、『長経路』理論で予測される速度よりもはるかに速く、翼上面を移動する粒子は翼下面を移動する粒子よりも先に後縁に到達します。」グレン研究センター（2000年8月16日）。「誤った揚力理論 #1」 NASA。 2014年4月27日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2021年6月27日閲覧。
  48. ^「流管Aが翼に向かって流れる際、翼の上部を障害物と認識し、流管Aはこの障害物を避けなければなりません。その結果、流管Aは翼の先端部を通過する際に、より小さな断面積に押しつぶされます。そして、質量連続性（ρ AV = 一定）のため、流管Aが押しつぶされている領域では、流管内の流れの速度は必ず増加します。」JDアンダーソン（2008年）『飛行入門』（第6版）、セクション5.19
  49. ^「この理論は、翼型上面が流れを加速するノズルとして機能するように形状が決められているという考えに基づいています。このようなノズル構成はベンチュリーノズルと呼ばれ、古典的に解析することができます。質量保存則を考慮すると、ノズル内の任意の点を通過する質量は一定です。つまり、ベンチュリーノズルの質量流量は一定です。…密度が一定であれば、面積が減少すると速度が増加します。」誤った理論 #3グレン研究センター NASA https://www1.grc.nasa.gov/beginners-guide-to-aeronautics/venturi-theory/ 2023年2月9日アーカイブ、 Wayback Machineにて
  50. ^「『ベンチュリー』理論の問題点は、流れの狭窄が速度場を生み出すという誤った仮定に基づいて速度を算出しようとしている点です。この仮定に基づいて速度を計算し、ベルヌーイの式を用いて圧力を計算し、圧力面積の計算を行っても、得られる答えは、特定の翼型で測定される揚力と一致しません。」NASAグレン研究センター「誤った揚力理論 #3」 。2000年8月16日。 2012年7月17日時点のオリジナルからアーカイブ。 2021年6月27日閲覧。
  51. ^「ある概念は…ベンチュリー管の縦断面のような対称的な収束・拡大流路を出発点としています…このような装置を流れの中に置くと、管内の静圧が低下します。管の上半分を取り除くと、翼に似た形状が残り、その上に吸引力が維持されます。もちろん、この説明にも欠陥があります。形状の変化は流れ場全体に影響を及ぼし、説明に物理的な要素が含まれないからです。」ヤッコ・ホッフレン『揚力の改良説明を求めて』第4.3節、アメリカ航空宇宙学会、2001年、「アーカイブコピー」（PDF） 。 2013年12月7日時点のオリジナル（PDF）からのアーカイブ。 2012年7月26日閲覧。{{cite web}}: CS1 maint: アーカイブされたコピーをタイトルとして (リンク)
  52. ^「これは、対称翼がどのようにして揚力を生み出すのかという一見謎めいた疑問に答えるものである。…これは、迎え角がゼロではない平板の場合にも当てはまる。」チャールズ・N・イーストレイク著『空気力学者による揚力、ベルヌーイ、ニュートンの視点』アーカイブコピー（PDF） 。 2009年4月11日時点のオリジナル（PDF）からのアーカイブ。 2009年9月10日閲覧。{{cite web}}: CS1 maint: アーカイブされたコピーをタイトルとして (リンク)
  53. ^「この古典的な説明は、翼型によって生じる流速差に基づいています。しかし、一つの疑問が残ります。翼型はどのようにして流速差を引き起こすのでしょうか？ 書籍によっては、何の答えも示していません。一方、流線の図を強調し、翼型が上面における流線の分離を減少させると述べる書籍もあります。しかし、翼型がどのようにしてこれを実現するのかについては説明されていません。したがって、これは十分な答えではありません。」クラウス・ウェルトナー著『ベルヌーイの法則と空気力学的揚力』『物理学教師』1990年2月号、84ページ。 [3]
  54. ^ダグ・マクリーン著『空気力学を理解する』第7.3.1.5節、Wiley、2012年
  55. ^「ベルヌーイの定理、あるいは翼の上を流れる空気が速いという主張自体には何ら問題はない。しかし、上記の議論が示唆するように、この説明だけでは我々の理解は不十分である。問題は、ベルヌーイの定理を適用する際に重要な部分を見逃していることである。翼の上下の空気の速度がわかれば翼周りの圧力を計算することはできるが、速度そのものはどのようにして求めるのだろうか？」『飛行機の飛ぶ仕組み：揚力の物理的説明』デビッド・アンダーソン、スコット・エバーハート「飛行機の飛ぶ仕組み」。2016年1月26日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2016年1月26日閲覧。
  56. ^物体の周囲に均一な圧力がかかっても、正味の力は生じません（浮力を参照）。したがって、流体中に浸漬された物体に力を及ぼすには、圧力差が必要です。例えば、 Batchelor, GK (1967), An Introduction to Fluid Dynamics , Cambridge University Press, pp.  14– 15, ISBN 978-4848-1015 を参照。 978-0-521-66396-0
  57. ^「 …流線が曲がっている場合、流線を横切る圧力勾配が存在するはずである…」バビンスキー、ホルガー（2003年11月）、「翼はどのように機能するのか？」物理教育、38（6）：497、Bibcode：2003PhyEd..38..497B、doi：10.1088/0031-9120/38/6/001、S2CID 1657792 
  58. ^こうして、オイラーの式で示される圧力分布が作り出される。物理的な理由は、流線をその曲面に沿わせる翼型である。翼型上面の低圧は、この曲面の結果である。「空気力学的揚力に関する説明の比較」クラウス・ウェルトナー Am. J. Phys. Vol.55 No.January 1, 1987, p. 53 [4] 2021年4月28日アーカイブ、 Wayback Machineにて
  59. ^「主な揚力は、翼がわずかに上向きに傾いているため、翼下面に当たる空気が下向きに押し下げられることから生じると言えるでしょう。ニュートンの法則第3法則に基づく翼上への反作用力が揚力を生み出します。迎え角を大きくすると揚力は増加しますが、同時に抗力も増加するため、航空機エンジンでより多くの推力を発生させる必要があります。」 Hyperphysics Georgia State University Dept. of Physics and Astronomy "Angle of Attack for Airfoil"。2012年10月14日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2012年7月26日閲覧。
  60. ^「迎え角を大きくすると、翼による気流の偏向も大きくなります。その結果、気流の速度の垂直成分が大きくなります。…揚力は迎え角に比例すると予想されます。この依存性は実験結果と完全に一致しています。」クラウス・ウェルトナー『空気力学的揚力に関する説明の比較』 Am. J. Phys. 55(1), 1987年1月 p. 52
  61. ^「25°を超える角度では揚力が低下するのはもっともらしい。迎え角が大きいと乱流が発生し、下向きの偏向が小さくなる。」クラウス・ウェルトナー「空気力学的揚力に関する説明の比較」 Am. J. Phys. 55(1), 1987年1月 p. 52
  62. ^クランシー（1975）、セクション5.2
  63. ^ Abbott、von Doenhoff (1958)、第4.2節
  64. ^「迎え角が0°の場合、揚力が発生する理由を説明できます。翼型後方の気流は後縁に沿って流れます。翼型の中心線に対する翼弦が水平であれば、後縁は既に下向きになっています。」クラウス・ウェルトナー空気力学的揚力に関する説明の比較Am. J. Phys. 55(1), 1987年1月 p. 52
  65. ^「…翼型に関して重要なのは、上面が隆起していて下面がほぼ平坦であることではなく、単に空気中を斜めに移動するということである。これにより、航空機が逆さまに飛行するという、通常は難しいパラドックスも回避できるのだ！」NHフレッチャー『飛行力学物理教育』1975年7月号[5]
  66. ^「迎角の調整が必要ですが、ほぼすべての航空ショーで明確に実証されているように、それは可能です。」ハイパーフィジックスGSU 物理天文学部[6] 2012年7月8日アーカイブ、 Wayback Machine
  67. ^ホワイト（1991）、セクション1-4
  68. ^ホワイト（1991）、セクション1-2
  69. ^ a bアンダーソン（1991）、第17章
  70. ^ a bアボットとフォン・ドゥーンホフ（1958）、第5章
  71. ^シュリヒティング (1979)、第 24 章
  72. ^アボットとドゥーンホフ（1958年）、第8章
  73. ^ a b Williamson, CHK; Govardhan, R. (2004)、「渦誘起振動」、流体力学年次レビュー、36 : 413– 455、Bibcode : 2004AnRFM..36..413W、doi : 10.1146/annurev.fluid.36.050802.122128、S2CID 58937745 
  74. ^ Sumer, B. Mutlu; Fredsøe, Jørgen (2006),円筒構造周辺の流体力学（改訂版）, World Scientific, pp.  6– 13, 42–45 & 50–52, ISBN 978-981-270-039-1
  75. ^ Zdravkovich, MM (2003), Flow around circular cylinders , vol. 2, Oxford University Press, pp.  850– 855, ISBN 978-0-19-856561-1
  76. ^ Clancy, LJ,空気力学、セクション4.5、4.6
  77. ^マクリーン（2012）、セクション7.3.3
  78. ^ a bミルン・トムソン（1966）、第1.41節
  79. ^ジーンズ（1967年）、第33節。
  80. ^ a bクランシー（1975）、第4.5節
  81. ^ミルン・トムソン（1966年）、第5.31節
  82. ^マクリーン 2012、セクション7.3.3.7
  83. ^マクリーン（2012）、セクション3.5
  84. ^マクリーン 2012、セクション7.3.3.9
  85. ^マクリーン 2012、セクション7.3.3.9
  86. ^マクリーン、ダグ (2012). 「7.3.3.12」. 『空気力学を理解する：現実の物理学からの議論』 . ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. ISBN 978-1119967514。ダグ・マクリーン、 YouTubeの
  87. ^アンダーソン（2008）、セクション5.7
  88. ^アンダーソン、ジョン・D.（2004）、飛行入門（第5版）、マグロウヒル、p.257、ISBN 978-0-07-282569-5
  89. ^ Yoon, Joe (2003年12月28日)、Mach Number & Similarity Parameters、Aerospaceweb.org、2021年2月24日時点のオリジナルよりアーカイブ、2009年2月11日閲覧。
  90. ^バチェラー（1967）、セクション1.2
  91. ^ Thwaites (1958)、セクションI.2
  92. ^フォン・ミーゼス（1959）、セクションI.1
  93. ^「流体の流れの解析は、通常、質量保存則、運動量保存則、エネルギー保存則という3つの基本原理に基づいて工学部の学生に説明される。」チャールズ・N・イーストレイク著『空気力学者による揚力、ベルヌーイ、ニュートンの視点』物理学教師誌第40巻、2002年3月号「アーカイブコピー」（PDF）。2009年4月11日時点のオリジナル（PDF）からのアーカイブ。 2009年9月10日閲覧。{{cite web}}: CS1 maint: アーカイブされたコピーをタイトルとして (リンク)
  94. ^ホワイト（1991）、第1章
  95. ^バチェラー（1967年）、第3章
  96. ^アリス（1989）
  97. ^ a b Spalart, Philippe R. (2000) アムステルダム、オランダ. Elsevier Science Publishers.
  98. ^ホワイト（1991）、セクション6-2
  99. ^シュリヒティング (1979)、第 XVIII 章
  100. ^アンダーソン（1995）
  101. ^「…速度場が非回転である場合、それは速度ポテンシャルφと呼ばれるスカラー関数の勾配として表すことができます：V = ∇φ。速度ポテンシャルの存在は、ポテンシャルフロー理論を用いた非粘性流れの解析を大幅に簡素化することができます…」ダグ・マクリーン著『空気力学を理解する：実物理学からの議論』 p. 26 Wiley著「連続体流体力学とナビエ・ストークス方程式」『空気力学を理解する』 2012年、 p. 13. doi : 10.1002/9781118454190.ch3 ISBN 9781118454190。
  102. ^ポテンシャルフローの要素 カリフォルニア州立大学ロサンゼルス校「教員ウェブディレクトリ」 2012年11月11日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2012年7月26日閲覧。
  103. ^バチェラー（1967年）、第2.7節
  104. ^ミルン・トムソン(1966)、第3.31節
  105. ^クランシー（1975）、セクション4.8
  106. ^アンダーソン(1991)、第4.5節
  107. ^クランシー(1975)、セクション8.1–8
  108. ^フォン・ミーゼス (1959)、セクション VIII.2
  109. ^アンダーソン(1991)、第3.15節
  110. ^プラントルとティーチェンス（1934）
  111. ^バチェラー（1967年）、セクション6.7
  112. ^ジェントリー（2006）
  113. ^マクリーン（2012）、セクション7.2.1
  114. ^ミルン・トムソン（1966）、第12.3節
  115. ^マクリーン（2012）、セクション8.1.3
  116. ^マクリーン（2012）、セクション8.1.1
  117. ^ Hurt, HH (1965)海軍航空士のための空気力学、図1.30、NAVWEPS 00-80T-80
  118. ^ランチェスター（1907）
  119. ^ミルン・トムソン（1966）、第10.1節
  120. ^クランシー（1975）、セクション8.9
  121. ^アンダーソン（1991）、セクション5.2
  122. ^バチェラー（1967）、セクション2.4
  123. ^ミルン・トムソン（1966）、第9.3節
  124. ^デュラン（1932）、セクションIII.2
  125. ^マクリーン（2012）、セクション8.1
  126. ^シャピロ（1953）、第1.5節、式1.15
  127. ^ a b c d Lissaman (1996)、「薄いスライスのリフト：2次元の場合」
  128. ^ a b cデュラン（1932）、セクションBV6、BV7
  129. ^ a b cバチェラー（1967）、第6.4節、407ページ
  130. ^ PrandtlとTietjens（1934）、図150
  131. ^ランチェスター（1907年）、第5節および第112節

参考文献

  • アボット、IH; フォン・ドゥエンホフ、AE (1958)、「翼断面理論」、ドーバー出版
  • アンダーソン、DF; エバーハート、S. (2001) 『Understanding Flight』、マグロウヒル
  • アンダーソン、JD（1991）、空気力学の基礎、第2版、マグロウヒル
  • アンダーソン、JD（1995）、数値流体力学の基礎と応用、マグロウヒル、ISBN 978-0-07-113210-7
  • アンダーソン、JD（1997）、空気力学の歴史、ケンブリッジ大学出版局
  • アンダーソン、JD（2004）、飛行入門（第5版）、マグロウヒル、pp.  352-361、§5.19、ISBN 978-0-07-282569-5
  • アンダーソン、JD（2008）、飛行入門、第6版、マグロウヒル
  • アリス、R.（1989）、ベクトル、テンソル、流体力学の基本方程式、ドーバー出版
  • Auerbach, D. (2000)、「なぜ航空機は飛ぶのか」、Eur. J. Phys.、2​​1 (4): 289– 296、Bibcode : 2000EJPh...21..289A、doi : 10.1088/0143-0807/21/4/302、S2CID  250821727
  • Babinsky, H. (2003)、「翼はどのように機能するのか？」Phys. Educ.、38 (6): 497、Bibcode : 2003PhyEd..38..497B、doi : 10.1088/0031-9120/38/6/001、S2CID  1657792
  • バチェラー、GK（1967）、流体力学入門、ケンブリッジ大学出版局
  • Clancy, LJ (1975)、空気力学、Longman Scientific and Technical
  • クレイグ、GM（1997年）、ベルヌーイの乱用をやめよう、アンダーソン、インディアナ：リジェネレイティブ・プレス
  • デュラン、WF編（1932年）、空気力学理論、第1巻、ドーバー出版
  • イーストレイク, CN (2002)、「空気力学者による揚力、ベルヌーイ、ニュートンの観点」、物理学教師、40 (3): 166– 173、Bibcode : 2002PhTea..40..166E、doi : 10.1119/1.1466553、S2CID  121425815
  • ジーンズ、J.（1967）、気体の運動論入門、ケンブリッジ大学出版局
  • Kulfan, BM (2010)、「古空気力学的探査パートI：生物学的および技術的飛行の進化」、AIAA 2010-154
  • ランチェスター、FW（1907）、空気力学、A.コンスタブルアンドカンパニー。
  • ランゲヴィエシェ、W.（1944）、スティックとラダー - 飛行技術の説明、マグロウヒル
  • リサマン、PBS（1996）、揚力の事実、AIAA 1996-161
  • Marchai, CA (1985)、セーリング理論と実践、Putnam
  • McBeath, S. (2006), 「競技用車両の空力特性」、Sparkford、Haynes
  • マクリーン、D.（2012）、空気力学を理解する - 現実の物理学からの議論、ワイリー
  • ミルン・トムソン、LM（1966）、理論空気力学、第4版、ドーバー出版
  • Prandtl, L.; Tietjens, OG (1934), 「応用流体力学と空気力学」 , Dover Publications
  • ラスキン、J.（1994）、コアンダ効果：翼が機能する理由を理解する、 2007年9月28日オリジナルからアーカイブ
  • シュリヒティング、H.（1979）、境界層理論、第7版、マグロウヒル
  • シャピロ、AH（1953）、圧縮性流体の流れのダイナミクスと熱力学、ロナルドプレス社、Bibcode：1953dtcf.book.....S
  • スミス、NF（1972）、「流体力学におけるベルヌーイとニュートン」、物理学教師、10（8）：451、Bibcode：1972PhTea..10..451S、doi：10.1119/1.2352317
  • スパラート、フィリップ・R.（2000）「乱流モデリングとシミュレーションのための戦略」、国際熱流体流ジャーナル、21（3）：252、Bibcode：2000IJHFF..21..252S、doi：10.1016/S0142-727X（00）00007-2
  • Sumer, B.; Mutlu; Fredsøe, Jørgen (2006)「円筒構造の周りの流体力学（改訂版）」{{citation}}: CS1 maint: 複数の名前: 著者リスト (リンク)
  • Thwaites, B.編（1958年）、非圧縮性空気力学、Dover Publications
  • トリットン、DJ（1980）、物理流体力学、ヴァン・ノストランド・ラインホールド
  • Van Dyke, M. (1969)、「高次境界層理論」、流体力学年報、1 (1): 265– 292、Bibcode : 1969AnRFM...1..265D、doi : 10.1146/annurev.fl.01.010169.001405
  • フォン・ミーゼス、R.（1959）、飛行理論、ドーバー出版
  • ウォルサム、C.（1998）「ベルヌーイなしの飛行」、物理学教師、36（8）：457-462、Bibcode：1998PhTea..36..457W、doi：10.1119/1.879927
  • Weltner, K. (1987)、「空気力学的揚力の説明の比較」、Am. J. Phys.、55 (1): 53、Bibcode : 1987AmJPh..55...50W、doi : 10.1119/1.14960
  • White, FM (1991)、粘性流体の流れ、第2版、McGraw-Hill
  • Wille, R.; Fernholz, H. (1965)、「コアンダ効果に関する第1回ヨーロッパ力学コロキウム報告書」、J. Fluid Mech.、23 (4): 801– 819、Bibcode : 1965JFM....23..801W、doi : 10.1017/s0022112065001702、S2CID  121981660
  • Williamson, CHK; Govardhan, R (2004)、「渦誘起振動」、流体力学年次レビュー、36 : 413– 455、Bibcode : 2004AnRFM..36..413W、doi : 10.1146/annurev.fluid.36.050802.122128、S2CID  58937745
  • Zdravkovich, MM (2003),円筒周りの流れ 2 , Oxford University Press, pp.  850– 855, ISBN 978-0-19-856561-1

さらに読む

  • 飛行入門、ジョン・D・アンダーソン・ジュニア、マグロウヒル、ISBN 0-07-299071-6– アンダーソン博士は、スミソニアン協会の国立航空宇宙博物館の航空力学学芸員であり、メリーランド大学の名誉教授です。
  • 『Understanding Flight』、デイヴィッド・アンダーソン、スコット・エバーハート著、マグロウヒル、ISBN 0-07-136377-7物理学者と航空エンジニアが、飛行を技術的な用語を使わずに解説し、特に「等通過時間」という神話について論じています。彼らは、翼の循環がコアンダ効果によるものだと主張していますが、これは議論の的となっています。
  • 空気力学、クランシー、LJ（1975）、セクション4.8、ピットマン出版、ロンドンISBN 0-273-01120-0。
  • 空気力学、航空学、飛行力学、マコーミック、バーンズ W.、(1979)、第 3 章、John Wiley & Sons、Inc.、ニューヨークISBN 0-471-03032-5。
  • 飛行の基礎、リチャード・S・シェベル、プレンティス・ホール・インターナショナル・エディションズ、ISBN 0-13-332917-8– これは、機械工学または航空工学の学部課程1学期分のテキストです。飛行理論に関するセクションは、微積分と物理学の知識があれば理解できます。
  • クレイグ, ポール P. (1957). 「超流動体における完全ポテンシャル流の観測」.フィジカル・レビュー. 108 (5): 1109– 1112.書誌コード: 1957PhRv..108.1109C . doi : 10.1103/PhysRev.108.1109 .–超流動条件下での実験では、クッタ条件が満たされなくなるため、非粘性流れにおける揚力が消失します。
  • 「粒子レベルの空気力学」チャールズ・A・クラマー（2005年、2012年改訂）– 一般的に用いられる流体近似ではなく、空気の粒子としての性質を強調した空気力学の解説。arXiv : nlin /0507032
  • 「ベルヌーイなしの飛行」クリス・ウォルサム著『物理学教師』第36巻、1998年11月号。ニュートンの第二法則に基づく物理モデルを用いて、著者は飛行の厳密な流体力学的考察を提示している。[7] 2011年9月28日アーカイブ、 Wayback Machine
  • ベルヌーイ、ニュートン、そして動的揚力ノーマン・F・スミス・スクール 科学と数学 第73巻 パートI：ベルヌーイ、ニュートン、そして動的揚力 パートII* 2012年12月17日アーカイブ、 archive.todayパートIIベルヌーイ、ニュートン、そして動的揚力 パートI* 2017年12月14日アーカイブ、 Wayback Machine
無料辞書のウィクショナリーで「lift」を調べてください。
「 https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Lift_(force)&oldid=1335240013」より取得