NIP（モデル理論）

数理論理学の一分野であるモデル理論では、完全な理論Tは、その理論の式のいずれもが独立性プロパティを満たさない場合、つまり、その理論の式のいずれもが任意の大きさの有限集合の任意の特定のサブセットを取り出すことができない場合、 NIP (「独立性プロパティではない」) を満たしていると言われます。

コンテンツ

• 1定義
• 2つの例
• 3ノート
• 4参考文献

意味

Tを完全なL理論とする。L論理式φ( x , y ) が( x , yに関して)独立性を持つとは、 TのすべてのモデルMにおいて、各n  = {0,1,..., n − 1} < ω に対して、組b ₀ ,..., b _{n −1} の族が存在し、 nの2 ⁿ個の部分集合Xのそれぞれに対して、 Mに組aが存在し、

${\displaystyle M\models \varphi ({\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}_{i})\quad \Leftrightarrow \quad i\in X.}$ 

理論Tは、ある論理式が独立性を持つ場合、独立性を持つという。L 論理式が独立性を持たない場合、 Tは従属的である、あるいは NIP を満たすという。L構造は、その理論が独立性（それぞれ NIP）を持つ場合、独立性（それぞれ NIP）を持つという。この用語は、ブール代数における「独立性」の概念に由来する。

ヴァプニク・チェルヴォネンキス理論の命名法では、 Xの部分集合の集合Sが集合B  ⊆  Xを破壊するとは、あるS  ∈  Sに対してBのすべての部分集合がB  ∩  Sの形式となる場合を言う。このとき、TのあるモデルMにおいて、 M ^kの任意の大きさの有限部分集合を破壊する定義可能な族 ( S _a  |  a ∈ M ⁿ ) ⊆  M ^kが存在する場合、 Tは独立性を持つ。言い換えれば、 ( S _a  |  a ∈ M ⁿ ) は無限のヴァプニク・チェルヴォネンキス次元を持つ。

例

独立性を持つ任意の完全理論Tは不安定である。^{[ 1 ]}

算術、すなわち構造（N ,+,·）において、「 yはxを割る」という式は独立性を持つ。^{[ 2 ]} この式は

${\displaystyle (\exists k)(y\cdot k=x).}$ 

したがって、任意の有限nに対して_、 n個の 1 組biを最初のn個の素数とし、{0,1,..., n  − 1}の任意の部分集合Xに対して、 iがXに含まれるようなb _iの積をaとします。すると、b _{i が}a を割り切るのは、 i  ∈  Xの場合のみです。

全てのo-極小理論はNIPを満たす。^{[ 3 ]} この事実はニューラルネットワーク学習に予想外の応用があった。^{[ 4 ]}

NIP理論の例には、以下のすべての構造の理論も含まれます: ^{[ 5 ]}線型順序、木、アーベル線型順序群、代数的に閉じた値体、および任意のpに対するp進体。

注記

1. ホッジスを参照。
2. Poizat、249ページを参照。
3. PillayとSteinhorn、系3.10およびKnight、Pillay、およびSteinhorn、定理0.2。
4. 詳細については、Anthony と Bartlett を参照してください。
5. Simonの付録Aを参照。

参考文献

• アンソニー・マーティン、バートレット・ピーター・L. (1999).ニューラルネットワーク学習：理論的基礎.ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-57353-5。
• ホッジス、ウィルフリッド（1993）『モデル理論』ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-30442-9。
• ナイト, ジュリア; ピレイ, アナンド; スタインホーン, チャールズ (1986). 「順序構造における定義可能集合 II」 .アメリカ数学会誌. 295 (2): 593– 605. doi : 10.2307/2000053 . JSTOR  2000053 .
• ピレイ, アナンド; スタインホーン, チャールズ (1986). 「順序構造における定義可能集合 I」 .アメリカ数学会誌. 295 (2): 565– 592. doi : 10.2307/2000052 . JSTOR  2000052 .
• ポイザット、ブルーノ（2000年）『モデル理論講座』シュプリンガー、ISBN 978-0-387-98655-5。
• サイモン、ピエール（2015年）『NIP理論ガイド』ケンブリッジ大学出版局、ISBN 9781107057753。