摂動（天文学）

月の軌道上の2つの地点における太陽の摂動力。青い矢印は地球の重力の方向と大きさを表しています。これを地球と月の両方の位置に適用しても、互いの相対的な位置は変わりません。これを月への力（黒い矢印）から差し引くと、地球に対する月の摂動力（赤い矢印）が残ります。摂動力は軌道の反対側で方向と大きさが異なるため、軌道の形状に変化が生じます

天文学において、摂動とは、質量の大きな物体が他の単一の質量の大きな物体の重力以外の力を受ける複雑な運動のことである。^{[ 1 ]}他の力には、第3（第4、第5など）の物体、大気からの抵抗、扁平な物体やその他の不格好な物体による中心からずれた引力などが含まれる。^{[ 2 ]}

導入

摂動の研究は、天空の惑星の運動を予測する最初の試みから始まりました。古代には、その原因は不明でした。アイザック・ニュートンは、運動と万有引力の法則を定式化した際に、それらを摂動の最初の解析に適用し、^{[ 2 ]}計算の複雑な困難さを認識していました。^{[ a ]}それ以来、多くの偉大な数学者が、この関連する様々な問題に注目してきました。18世紀から19世紀にかけて、航海のために月と惑星の位置を正確に表す表が求められました。

重力摂動の複雑な運動は分解することができる。物体が他の1つの物体の重力の影響のみを受けて従う仮想的な運動は円錐曲線であり、幾何学的な用語で記述することができる。これは二体問題、または摂動のないケプラーの軌道と呼ばれる。この軌道と物体の実際の運動との差は、残りの物体による追加の重力影響による摂動である。他の重要な物体が1つだけの場合、摂動を受けた運動は三体問題であり、他の物体が複数ある場合はn体問題である。二体問題には一般的な解析解（将来の任意の時点での位置と運動を予測する数式）が存在する。3つ以上の物体が考慮される場合、解析解は特殊な場合にのみ存在する。物体の1つが不規則な形状である場合、二体問題でさえも解くことができない。^{[ 6 ]}

金星、木星、そして太陽系のすべての惑星によって2.5日間隔で摂動を受けている水星の軌道経度と緯度。摂動がなければ、水星は常に十字線の中心に位置します。

複数の重力が作用する系のほとんどは、その影響が支配的な一つの主天体（例えば、恒星とその惑星の場合は恒星、惑星とその衛星の場合は惑星）を伴います。他の天体の重力の影響は、その主天体の周りを 惑星または衛星が仮想的に摂動なく運動している際の摂動として扱うことができます。

数学的解析

一般摂動

一般摂動法では、運動または軌道要素の変化に関する一般微分方程式が、通常は級数展開によって解析的に解かれる。結果は通常、問題の物体と摂動物体の軌道要素の代数関数と三角関数で表わされる。これは、多くの異なる条件セットに一般に適用でき、特定の重力物体セットに固有のものではない。^{[ 7 ]}歴史的には、一般摂動が最初に調査された。古典的な方法は、要素の変化、パラメータの変化、または積分定数の変化として知られている。これらの方法では、物体は常に円錐曲線上を動いていると考えられるが、円錐曲線は摂動により常に変化している。すべての摂動が特定の瞬間に停止した場合、物体はこの（現在は変化しない）円錐曲線内に無期限に留まる。この円錐は接触軌道として知られており、特定の時点におけるその軌道要素が一般摂動法によって求められるものである。^{[ 2 ]}

一般摂動法は、天体力学の多くの問題において、摂動によって二体軌道が比較的ゆっくりと変化するという事実を利用している。二体軌道は良い最初の近似値である。一般摂動法は、摂動力が主天体の重力よりも約1桁小さい、またはそれ以下の場合にのみ適用可能である。 ^{[ 6 ]}太陽系では、これは通常当てはまる。太陽系で2番目に大きい天体である木星の質量は約⁠1/ 1000 太陽のそれ

一般摂動法は、観測される特定の運動の原因が容易に発見できるため、ある種の問題には好まれます。しかし、特殊な摂動については必ずしもそうではありません。運動は同様の精度で予測されますが、それを引き起こした摂動体（例えば、軌道共鳴）の配置に関する情報は得られません。^{[ 6 ]}

特別な摂動

特殊摂動法では、対象物体の位置、速度、加速度を表す数値データセットが、微分運動方程式の数値積分の基礎となる。^{[ 8 ]}実際には、位置と速度は直接摂動され、軌道の曲線や軌道要素を計算しようとする試みは行われない。^{[ 2 ]}

特殊摂動は、摂動力が小さい場合に限定されないため、天体力学のあらゆる問題に適用できます。 ^{[ 6 ]}かつては彗星と小惑星にのみ適用されていましたが、現在では、天文暦の中で最も正確な機械生成の惑星暦の基礎となっています。 ^{[ 2 ] [ b ]}特殊摂動は、コンピューターで軌道を モデル化するためにも使用されます。

コーウェルの定式化

コーウェル法。すべての摂動物体（黒と灰色）からの力を合計して物体（赤）にかかる力の総和を求め、これを初期位置（接触の時点）から数値積分します${\displaystyle \i\}$

コーウェルの定式化（ACDクロメリンとともにハレー彗星の再来を予測するために同様の方法を使用したフィリップ・H・コーウェルにちなんで名付けられた）は、特殊摂動法の中でおそらく最も単純なものである。 ^{[ 9 ]}相互作用する物体のシステムでは、この方法は、他の物体からの個々の相互作用を合計することによって、物体に働くニュートン力を数学的に解きます。 ${\displaystyle \n\}$ ${\displaystyle \i\}$ ${\displaystyle j}$

${\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} _{i}=\sum _{\underset {j\neq i}{j=1}}^{n}\ G\ m_{j}{\frac {\ (\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i})\ }{\ \|\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i}\|^{3}}}}$

ここで、 は物体 の加速度ベクトル、は重力定数、は物体 の質量、はそれぞれ物体 と の位置ベクトル、は物体 から物体 までの距離で、すべてのベクトルはシステムの重心を基準としています。この方程式は、 との成分に分解され、これらが数値的に積分されて新しい速度ベクトルと位置ベクトルが形成されます。このプロセスは必要な回数だけ繰り返されます。 Cowell 法の利点は、適用とプログラミングが容易なことです。欠点は、摂動の大きさが大きくなると (物体が別の物体に接近するときなど)、この方法の誤差も大きくなることです。^{[ 10 ]}ただし、天体力学の多くの問題では、これは当てはまりません。もう一つの欠点は、太陽のような支配的な中心天体を持つシステムでは、中心天体と摂動天体の力の大きな差のために、演算において多くの有効桁数が必要になることです。ただし、現代のコンピュータに組み込まれている高精度の数値により、これは以前ほど大きな制限ではありません。^{[ 11 ]}${\displaystyle \\mathbf {\ddot {r}}_{i}\}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \m_{j}\}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \\mathbf {r}_{i}\}$ ${\displaystyle \ \mathbf {r} _{j}\ }$ ${\displaystyle \i\}$ ${\displaystyle \j\}$ ${\displaystyle \r_{ij}\equiv \|\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i}\|\}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \j\}$ ${\displaystyle \x\,}$ ${\displaystyle \y\,}$ ${\displaystyle \z\,}$

エンケ法

エンケ法。ここではかなり誇張して、接触する非摂動軌道（黒）と摂動軌道（赤）の間の小さな差δ r （青）を、初期位置（接触の時点）から数値積分します

エンケ法は、接触軌道を基準として数値積分を行い、基準からの変化を時間の関数として求める。^{[ 12 ]}この方法の利点は、摂動が一般に小さいため、積分をより大きなステップで進めることができ（結果として誤差が小さくなる）、極端な摂動の影響をはるかに受けにくいことである。欠点は複雑さである。接触軌道を時々更新し、そこから継続する（修正と呼ばれるプロセス）ことなく、無期限に使用することはできない。^{[ 10 ]}エンケ法は、修正が連続的ではなく離散的な間隔で実行されることを除けば、要素の一般的な摂動法に似ている。^{[ 13 ]}

を接触軌道の半径ベクトル、を摂動軌道の半径ベクトル、を接触軌道からの変化 とすると、${\displaystyle {\boldsymbol {\rho}}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \delta \mathbf {r} }$

${\displaystyle \delta \mathbf {r} =\mathbf {r} -{\boldsymbol {\rho }}}$ の運動方程式は単純に${\displaystyle \delta \mathbf {r} }$

1

${\displaystyle \delta {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {\ddot {r}} -{\boldsymbol {\ddot {\rho }}}}$ 。

2

${\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} }$ と は、との運動方程式です${\displaystyle {\boldsymbol {\ddot {\rho }}}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }},}$

${\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} =\mathbf {a} _{\text{per}}-{\mu \over r^{3}}\mathbf {r} }$ 摂動軌道と

3

${\displaystyle {\boldsymbol {\ddot {\rho }}}=-{\mu \over \rho ^{3}}{\boldsymbol {\rho }}}$ 摂動を受けない軌道の場合、

4

は重力パラメータ、中心天体と摂動天体の質量、は摂動加速度、およびはとの大きさです ${\displaystyle \mu =G(M+m)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{\text{per}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\rho}}}$

式（３）と式（４）を式（２）に代入すると、

${\displaystyle \delta {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {a} _{\text{per}}+\mu \left({{\boldsymbol {\rho }} \over \rho ^{3}}-{\mathbf {r} \over r^{3}}\right),}$

5

理論的には、これを2回積分して を求めることができます。接触軌道は二体法で簡単に計算できるため、とが考慮され、解くことができます。実際には、括弧内の量 は2つのほぼ等しいベクトルの差であり、追加の有効数字が必要にならないようにするために、さらなる操作が必要です。^{[ 14 ] [ 15 ]}エンケの方法は、現代のコンピュータが登場する前、軌道計算の多くが機械式計算機で行われていた時代に、より 広く使用されていました${\displaystyle \delta \mathbf {r} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}}$ ${\displaystyle \delta \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle {{\boldsymbol {\rho }} \over \rho ^{3}}-{\mathbf {r} \over r^{3}}}$

周期的な性質

重力シミュレーターによる、今後5万年間の水星、金星、地球、火星の軌道離心率の変化のグラフ。このグラフのゼロ点は2007年です

太陽系において、ある惑星が他の惑星から受ける擾乱の多くは周期的であり、ある惑星が軌道上で他の惑星を通過するたびに生じる小さな衝撃から成ります。これにより、天体は周期的または準周期的な運動をします。例えば、月の軌道が大きく擾乱されている様子は、月の理論の主題です。この周期的な性質は、1846年に海王星が天王星の軌道を擾乱した結果、海王星が発見されるきっかけとなりました。

惑星間の継続的な摂動により、軌道要素に長期的な準周期的変動が生じ、2つの惑星の公転周期がほぼ同期しているときに最も顕著になります。たとえば、木星の公転5周（59.31年）は、土星の公転2周（58.91年）にほぼ等しくなります。これにより、両方に大きな摂動が生じ、その周期は918年です。これは、合の際の両者の位置の小さな差が1つの完全な円を描くのに必要な時間であり、ラプラスによって初めて発見されました。^{[ 2 ]}金星は現在、すべての惑星の軌道の中で最も離心率が小さい、つまり円形に最も近い軌道を持っています。25,000年後には、地球は金星よりも円形（離心率の小さい）の軌道になります。太陽系内の長期的な周期的擾乱は、非常に長い時間スケールで無秩序になる可能性があることが示されています。状況によっては、1つまたは複数の惑星が他の惑星の軌道を横切り、衝突を引き起こす可能性があります。^{[ c ]}

太陽系の小天体、例えば彗星の軌道は、特に巨大ガス惑星の重力場によって、しばしば大きな摂動を受けます。これらの摂動の多くは周期的ですが、そうでないものもあります。特にこれらの摂動は、カオス的な運動の側面を示している可能性があります。例えば、1996年4月には、木星の重力の影響により、ヘール・ボップ彗星の公転周期が4,206年から2,380年に短縮されました。この変化は周期的に元に戻ることはありません。^{[ 16 ]}

参照

• 天体力学 § 摂動論
• 太陽系の形成と進化
• 凍結軌道
• モルニヤ軌道
• ネレイドは海王星の外側の衛星の一つで、軌道離心率が約0.75と高く、頻繁に摂動を受ける
• 接触軌道
• 軌道モデリング
• 軌道共鳴
• 摂動論
• 固有軌道要素
• 太陽系の安定性

参考文献

脚注

1. ニュートン（1684）は次のように記している。「太陽が重心からずれているため、求心力は常にその不動の中心に向かうわけではなく、そのため惑星は正確に楕円運動することも、同じ軌道を2回公転することもありません。惑星は公転するたびに、月の運動のように新たな軌道を描きます。そして、それぞれの軌道はすべての惑星の複合的な運動に依存しており、言うまでもなく、それらすべてが互いに及ぼす影響も考慮しなければなりません。しかし、これらの運動の原因をすべて同時に考慮し、容易に計算できる正確な法則によってこれらの運動を定義することは、私の認識が間違っていなければ、いかなる人間の知力の力も超えています。」 ^{[ 3 ] [ 5 ]}
2. たとえば、ジェット推進研究所の開発暦に関する Wikipedia の記事を参照してください。
3. Wikipedia の記事「太陽系の安定性」の参考文献を参照してください。

引用

1. Bate, Mueller & White (1971)、第9章、385ページ
2. モールトン（1914）、第9章
3. ニュートンの引用は、GEスミス教授（タフツ大学）によるもので、 スミス、GE 「ループを閉じる：ニュートンの重力の検証、過去と現在」（PowerPoint）（シンポジウム講演）。科学における理論の役割に関する3回の講演。スタンフォード大学。
4. Egerton, RF 「ニュートン」（コースノート）。物理学 311-12。オレゴン州ポートランド：ポートランド州立大学。 2005年3月10日時点のオリジナルよりアーカイブ– physics.pdx.eduより。
5. ニュートンの同じ一節^{[ 3 ]}を引用した後、ポートランド州立大学のR.F.エガートン教授は次のように結論づけている。「ここでニュートンは、解析的に未解決のまま残されている『多体問題』を特定している。」 ^{[ 4 ]}
6. ロイ（1988）、第6～7章
7. ベイト、ミューラー、ホワイト（1971）、387ページ；410ページ§9.4.3
8. ベイト、ミューラー、ホワイト（1971）、387～409頁
9. Cowell, PH; Crommelin, ACD (1910). 「1759年から1910年までのハレー彗星の運動の調査」. Greenwich Observations in Astronomy . 71.ベルビュー社、His Majesty's Stationery Office: Neill & Co.: O1.書誌コード: 1911GOAMM..71O...1C .
10. ダンビー、気象庁（1988年）『天体力学の基礎』（第2版）ウィルマン・ベル社、第11章。ISBN 0-943396-20-4。
11. ポール・ヘルゲット（1948年）『軌道の計算』自費出版。91ページ以降
12. JF エンケ(1857)。Über die allgemeinen Störungen der Planeten。Berliner Astronomisches Jahrbuch für 1857 (1854 年出版)。319～ 397ページ 。
13. バティン（1999）、§10.2
14. ベイト、ミューラー、ホワイト（1971）、§9.3
15. ロイ（1988）、§7.4
16. Yeomans, Don (1997年4月10日). 「ヘール・ボップ彗星の軌道と天体暦情報」 . パサデナ, カリフォルニア州: NASAジェット推進研究所. 2008年10月23日閲覧。

参考文献

• ベイト、ロジャー・R.、ミューラー、ドナルド・D.、ホワイト、ジェリー・E. (1971). 『天体力学の基礎』 . ニューヨーク州ニューヨーク：ドーバー出版. ISBN 0-486-60061-0。
• バティン、リチャード・H. (1999). 『天体力学の数学と方法入門 改訂版』アメリカ航空宇宙学会ISBN 1-56347-342-9。
• モールトン、FR（1914年）『天体力学入門』（第2版、改訂版）マクミラン社
• ロイ, AE (1988).軌道運動（第3版）. Institute of Physics Publishing. ISBN 0-85274-229-0。

さらに詳しい情報

• PEエルヤスバーグ著：人工地球衛星の飛行理論入門

外部リンク

• Solex（アルド・ヴィタリアーノ著）による火星の位置・軌道・接近の予測
• 重力ジョージ・ビデル・エアリー卿が 1884 年に出版した、重力の運動と摂動に関する本。数学はほとんど、あるいは全く使用されていません。( Google ブックス)