非ホロノミック系

古典力学における非ホロノミック系とは、いくつかの制約、そして多くの場合2つ以上の制約を持つ物理系であり、ホロノミック制約の形に置き換えることが不可能です。つまり、非ホロノミック系とはホロノミック系ではない系です。直感的に言えば、非ホロノミック系は、位置制約から導出できない速度制約を持つ力学系です。位置制約のみを持つ古典的なラグランジアン系やハミルトン系とは対照的です。[ 1 ]

定義

系がホロノミック系である場合、そのすべての制約条件はパフィアンかつ積分可能である。系が非ホロノミック系である場合、そのすべての制約条件はパフィアンであるが、一部は積分可能ではない。非パフィアン制約条件を持つ系には、標準的な名前はない

パフィアン制約

一般に、状態がによって完全に規定されるシステムを考えてみましょう。時間経過に伴うその変化は、特定の速度のみが許可され、他の速度は許可されないという制約を受けます q＝（q1、…、qn){\displaystyle q=(q_{1},\dots,q_{n})}

平面上に直立した車輪を考えてみましょう。を -軸に対する操舵角とし、を車輪が平面に接する位置とします。車輪は向いている方向にしか動かないため、制約 が得られます。この制約は1 形式に書き直されてとなります。 θ{\displaystyle \theta}x{\displaystyle x}x{\displaystyle x}y{\displaystyle y}x˙sin⁡θ−y˙cos⁡θ＝0{\displaystyle {\dot {x}}\sin \theta -{\dot {y}}\cos \theta =0}ω:=dxsin⁡θ−dycos⁡θ{\displaystyle \omega :=dx\sin \theta -dy\cos \theta }

一般に、の次元空間において1-形式として記述できる制約は、パフィアン制約と呼ばれます。そうでない場合は、非パフィアン制約と呼ばれます。 （n＋1){\displaystyle (n+1)}（t、q1、…、qn){\displaystyle (t,q_{1},\dots,q_{n})}

積分可能性

非ホロノミック・パフィアン制約は、非積分な分布によって与えられます。つまり、そのような分布における2つのベクトル場のリー括弧を取ると、この分布に含まれないベクトル場が生じる可能性があります

幾何学的には、積分可能なパフィアン拘束条件系は積分可能である。すなわち、配置空間全体を最大次元の部分多様体に葉理分割することができ、その場合、ある軌道がすべての拘束条件を満たすのは、その軌道が部分多様体内に収まっている場合のみである。パフィアン拘束条件系が積分可能かどうかを判断する方法については、 微分系の積分可能性条件を参照のこと。

平面上の直立車輪という特殊なケースでは、単一の拘束条件は接触形式であるため積分不可能である。ホロノミック拘束条件を持つシステムの場合、そのダイナミクスは配置空間全体の部分多様体に制限される。したがって、個々の部分多様体上にのみ座標チャートを作成でき、これにより拘束条件を排除することができる。なぜなら、個々の部分多様体内の任意の軌道は自動的にすべての拘束条件を満たすからである。この座標チャートは一般化座標と呼ばれ、ラグランジュ力学の基礎となる。非ホロノミック拘束条件は、一般化座標を用いて排除することはできない。 ω∧dω＝−dx∧dy∧dθ≠0{\displaystyle \omega \wedge d\omega =-\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} \theta \neq 0}

例

転がる球

平面上を滑らずに転がる単位球を考えます。系の配置空間は5次元です。接触点が2次元、球の向きが3次元で、SO(3)です。滑りなし条件とは、配置が5次元であっても、配置空間内の任意の点における速度は2次元の部分空間に制限されることを意味します。したがって、これは3つの制約を持つパフィアン制約系です

制約は積分可能ではない。なぜなら、任意の構成は他の任意の構成から到達可能であるからである。[ 2 ]これを理解するには、構成空間が 上の SO(3) 主バンドルとして構成できることに注意する必要がある。したがって、ホロノミー群がSO(3) 全体であることを示す必要がある。 R2{\displaystyle \mathbb {R}^{2}}

辺の長さが の正方形を転がすと、球は開始点に戻りますが、接触点は 回転します。これにより、接触点を、以前の接触点に垂直な大円上の任意の点に変更することができます。この構成を2回適用すると、ホロノミー群は単位球面上の任意の点を他の任意の点に回転させることができることがわかります（つまり、推移的です）。これを満たすSO(3)の閉部分群は、SO(3)自体のみです。 π/2{\displaystyle \pi /2}π/2{\displaystyle \pi /2}

非ホロノミックであるにもかかわらず、転がる球面の特定の問題は、ニュートンの法則をベクトル形式で直接使用することで閉じた形で解くことができます。[ 3 ]

摩擦のない車輪

摩擦のない軸に吊り下げられた車輪を考えてみましょう。軸は曲面に対して垂直に保たれます。この構成は、位置と車輪の角度の3次元で構成されます。このシステムには、変化としての平行移動を記述する単一の制約があります。もし表面がゼロでないガウス曲率を持つ場合、制約は非ホロノミックです。なぜなら、変化は特定のループの周りを 移動することによってもたらされるからですx、y{\displaystyle x,y}θ{\displaystyle \theta}θ{\displaystyle \theta}x、y{\displaystyle x,y}θ{\displaystyle \theta}x、y{\displaystyle x,y}

このケースは特に、非ホロノミック制約と微分幾何学におけるホロノミー群との間の明確な関連性を示しています。

ただし、この場合、同じ系を制約のないラグランジアン（またはハミルトン）力学系としてモデル化できることに注意してください。非自明なホロノミー群は、ラグランジアンのゲージ型結合項によって生成できます。したがって、この場合、系が真に「非ホロノミック」であるかどうかは、モデル化の選択の問題です。 θ˙Ai（x)x˙i{\displaystyle {\dot {\theta }}A_{i}(x){\dot {x}}^{i}}12mgij（x)x˙ix˙j＋12私θ˙2＋θ˙Ai（x)x˙i{\displaystyle {\frac {1}{2}}mg_{ij}(x){\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}+{\frac {1}{2}}I{\dot {\theta }}^{2}+{\dot {\theta }}A_{i}(x){\dot {x}}^{i}}

チャプリギンそり

チャプリギンそりは、平面上を摩擦なく滑る剛体です。平面には2点とナイフエッジで接します。2点はどの方向にも滑ることができますが、ナイフエッジはエッジに平行な方向にしか滑ることができません。[ 4 ]拘束条件の観点からは、直立した車輪と全く同じです。しかし、そりには質量と慣性モーメントの両方があるという点で異なり ます

ロボット工学

ロボティクスにおいて、非ホロノミックは移動ロボットの動作計画とフィードバック線形化の分野で研究されてきました。[ 5 ]これはアンダーアクチュエーションと関連しています。アンダーアクチュエーションでは、 2次元で球体を転がすことで5次元の構成空間全体に到達できるのと同様に、制御変数よりも少ない自由度を持つシステムを制御できるためです d{\displaystyle d}d{\displaystyle d}

ホロノミーとの関係

力学における非ホロノミー／非ホロノミーの概念は、微分幾何学におけるホロノミー、特に接続の概念と関連しています。一般に、拘束系が与えられた場合、それが非自明なホロノミー群との接続を持つ幾何学的構造に対応する場合、それは非ホロノミーであり、逆もまた同様です。語源が示唆するにもかかわらず、非ホロノミー系は非自明なホロノミー を持つ幾何学的構造に対応することに注意してください

同様に、力学における非ホロノミーの概念は幾何学的位相と関連しており、幾何学的位相も接続における非自明なホロノミーによって記述されるからです。

歴史

1871年、 NM・フェラーズは初めて非ホロノミック拘束条件を用いて運動方程式を拡張することを提案しました。[ 6 ] 彼は一般化速度を用いて直交座標系の速度の表現を導入しました

1877年、エドワード・ラウスはラグランジュ乗数を持つ方程式を書いた。剛体の線形非ホロノミック拘束に関する著書[ 7 ]の第3版で、彼は乗数を持つ形式を導入した。これは現在、乗数を持つ第二種ラグランジュ方程式と呼ばれている。

この「ホロノミックシステム」という用語は、1894年にハインリヒ・ヘルツによって導入されました。 [ 4 ]

Ein materielles System,zwischen dessen möglichen Lagen alle denkbaren stetigen zugleichauch mögliche Übergänge sind, heißt ein holonomes System。 Der Name sollandeuten, dass ein solches システムインテグラルゲセッツェンゲホルヒト, ウェーレンドディマテリエレンシステムメインオールゲマイネンヌールディファレンシャルゲセッツェンアンターヴォルフェンシンド。 [考えられるすべての連続遷移が可能な位置の間で同時に可能な遷移である物質系をホロノミック システムと呼びます。この名前は、そのような系が積分法則に従うのに対し、物質系は一般に微分法則にのみ従うことを示しています。]

— ハインリヒ・ヘルツ、Gesammelte Werke von Heinrich Hertz、vol. 3、Die Prinzipiender Mechanik (ライプツィヒ: Metzger & Wittig、1894)、p. 91

1897年、セルゲイ・チャプリギンはラグランジュ乗数を用いずに運動方程式を形成することを初めて提案した。[ 8 ]特定の線形制約の下で、彼は運動方程式の左辺にラグランジュ作用素型の項群を導入した。残りの項は系の非ホロノミック性を特徴づけ、与えられた制約が積分可能である場合、それらはゼロとなる。

1901年にPVVoronetsはChaplyginの研究を非巡回ホロノミック座標と非定常制約の場合に一般化した。[ 9 ]

参照

参考文献

  1. ^ Bloch, AM (2015). Krishnaprasad, PS; Murray, RM (eds.).非ホロノミック力学と制御. Interdisciplinary Applied Mathematics. Vol. 24. ニューヨーク: Springer New York. doi : 10.1007/978-1-4939-3017-3 . ISBN 978-1-4939-3016-6。
  2. ^ジョンソン、ブロディ・ディラン (2007年6月1日). 「転がる球面の非ホロノミー」 .アメリカ数学月刊. 114 ( 6): 500–508 . doi : 10.1080/00029890.2007.11920439 . ISSN 0002-9890 
  3. ^ Fowler, Michael (2020年10月3日). 「30: 回転平面上を転がる球体」 . Physics LibreTexts . 2025年10月14日閲覧。
  4. ^ a b Bloch, Anthony M.; Marsden, Jerrold E.; Zenkov, Dmitry V. (2005). 「非ホロノミックダイナミクス」(PDF) . AMSの通知.
  5. ^ロボットの動作計画と制御、Jean-Paul Laumond（編）、1998年、「制御と情報科学の講義ノート」、第229巻、Springer、 doi： 10.1007 / BFb0036069。
  6. ^ Ferrers, NM (1872). 「ラグランジュ方程式の拡張」. QJ Pure Appl. Math . XII : 1– 5.
  7. ^ Routh, E. (1884). 『剛体系のダイナミクスに関する論文の発展部分』ロンドン.{{cite book}}：CS1メンテナンス：場所の発行元が見つかりません（リンク）
  8. ^ SA チャプリギン (1897)。 「О движении тяжелого тела вращения по горизонтальнойплоскости」[水平面上の重い回転体の運動]。антропологии и этнографии (ロシア語)。1 (IX)。 отделения физических наук общества любителей естествознания: 10–16。
  9. ^ヴォロネッツ、P. (1901)。 "Об уравнениях движения для неголономных систем" [非ホロノミック システムの運動方程式]。Матем. Сб。（ロシア語で）。4 (22): 659–686。
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