代数幾何学という数学の分野において、純粋性は多くの結果と予想を網羅するテーマであり、「何かが起こるとき、それは特定の余次元で起こる」 ということを証明するという問題を総合的に扱っています
分岐遺伝子座の純度
例えば、分岐は（複素多様体の幾何学において、一点で分岐するリーマン面についてはそれが実数次元2で起こることを反映して）余次元1の現象である。永田正義とオスカー・ザリスキによる古典的な結果であるザリスキ・永田純粋性[1] [2]は、分岐軌跡の純粋性とも呼ばれ、非特異代数多様体上で分岐軌跡、すなわち射が分岐する点の集合は余次元1の部分多様体（ヴェイユ因子）のみで構成されなければならないことを証明している。 この結果は可換代数の定理やスキーム理論に何度も拡張され、エタール射になるための可能な「失敗の開部分集合」に対する制約を記述する意味で分岐軌跡の純粋性を確立した。
コホモロジー純度
関連するホモロジー的な純粋性の概念、すなわち、特定の理論からのコホモロジー群は、1つの指数iを除いて自明であることを示す結果の集合があります。このような結果は、マイケル・アルティン（ SGA 4に収録）によってエタールコホモロジーにおいて確立され、特異コホモロジーからの結果の予想される類似物を含むように理論を構築する上で基礎となりました。アレクサンダー・グロタンディークの絶対コホモロジー純粋性予想として知られる一般的な命題は、オファー・ガッバーによって証明されました。[3]これは、純粋に余次元dのスキーム（正則、ネーター）の閉じた浸漬と、エタール理論における相対的局所コホモロジーに関するものです。n を法とする係数（nは可逆）の場合、コホモロジーは指数 2 dでのみ発生する（そして予測される値を取る）はずです。[4]
注釈
- ^ Zariski, O. (1958年8月). 「代数関数の分岐軌跡の純粋性について」Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 44 (8): 791–6 . doi : 10.1073/pnas.44.8.791 . PMC 534562 . PMID 16590274.
- ^ 永田正之 (1958年8月). 「ザリスキの分岐遺伝子座の純度に関する論文についての考察」Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 44 (8): 796–9 . doi : 10.1073/pnas.44.8.796 . PMC 534563 . PMID 16590275.
- ^ 藤原 健,絶対純度予想の証明（ガバーに倣って）代数幾何学 2000, 安曇野（穂高）, 153–183.
- ^ http://www.math.utah.edu/~niziol/icm20062.pdf の 4 ページで定式化されているとおり。
