ピラミッド（幾何学）

ピラミッドは、多角形の底面と頂点と呼ばれる点を結んで形成される多面体（幾何学的図形）です。各底面と頂点は、側面と呼ばれる三角形を形成します。ピラミッドは、多角形の底面を持つ円錐台です。正多角形に基づく（正ピラミッド）か、頂点を切り落とす（切頂ピラミッド）かのいずれかで、底面の形状を決定することで、多くの種類のピラミッドを見つけることができます。これは、超ピラミッドとして知られる、より高次元に一般化できます。 すべてのピラミッドは自己双対です

定義

ピラミッドの構成要素

ピラミッドは、平面多角形の各頂点をその平面の外側にある点に接続することで形成される多面体です。この点はピラミッドの頂点と呼ばれ、平面多角形はピラミッドの底面と呼ばれます。ピラミッドの他の各面は三角形です[ 1 ]。これは、底面の1つの辺と、その辺の端点を頂点に接続する2つの辺で構成されます。これらの面はピラミッドの側面と呼ばれ、頂点に接続する各辺は側面と呼ばれます[ 2 ] 。歴史的に、ピラミッドの定義は古代の多くの数学者によって記述されてきました。ユークリッドは『原論』の中で、ピラミッドを1つの平面から1つの点で構成される立体図形と定義しました。彼の定義の文脈は、アレクサンドリアのヘロンが点と多角形の底面を組み合わせた図形として定義するまでは曖昧でした[ 3 ]

角錐は、頂点が2つの平行な平面上にあり、側面が三角形、台形、平行四辺形である多面体として定義されます。[ 4 ]ピラミッドは角錐に分類されます。[ 5 ]

分類と種類

正多角形底錐の種類：四面体、四角錐、五角錐、六角錐

「直角錐」と「正角錐」という用語は、ピラミッドの特殊なケースを説明するために使用されます。これらの一般的な概念は次のとおりです。正角錐とは、底面が正多角形であるピラミッドです。直角錐とは、軸（底面の重心と頂点を結ぶ線）が底面に垂直であるピラミッドです。[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]斜角錐とは、軸が底面に垂直ではないピラミッドです。 [ 9 ]しかし、これらの用語には標準的な定義はなく、資料によって多少異なる用法が用いられています。

「直角錐」という用語を正ピラミッドの特別な場合としてのみ定義する資料もある[ 10 ]。一方、あらゆる形状の底面を持つ一般的な場合として定義する資料もある。また、「直角錐」という用語を正底面を含むものとしてのみ定義する資料もある[ 11 ] 。稀に、「直角錐」は底面が円に外接し、ピラミッドの高さが円の中心で底面と交わるピラミッドと定義されることもある[ 12 ] 。

n辺の正底面を持つピラミッドは、頂点がn + 1個、面がn + 1 個、辺が2 n個あります。[ 13 ]このようなピラミッドは、面として二等辺三角形を持ち、対称性はC n vで、対称性の次数が2 nです。ピラミッドは、対称軸 (頂点と底面の重心を通る線) の周りを回転すると対称になり、底面の二等分線を通る垂直面に対して鏡面対称になります。[ 14 ] [ 15 ]例としては、正方形ピラミッドと五角形ピラミッドがあります。これらは、それぞれ正方形と五角形の底面を持つ、4 つと 5 つの三角形の面を持つピラミッドです。これらは、規則的な面と辺の長さが等しく、対称性がそれぞれ次数 8 のC 4vと次数 10 のC 5vである場合、第 1 と第 2 のジョンソン立体として分類されます。[ 16 ] [ 17 ]四面体または三角錐は、4つの三角形を持つ例です。すべての辺の長さが等しく、面が正三角形で、そのうちの1つを底面とみなすと、正四面体と呼ばれ、プラトン立体およびデルタ面体の一例となり、四面体対称性を持ちます。[ 18 ] [ 19 ]底面が円であるピラミッドは円錐と呼ばれます。[ 20 ]

ピラミッドは自己双対性を持つ。つまり、その双対は辺に対応する頂点と同じであり、その逆もまた同様である。[ 21 ]ピラミッドの骨格はホイールグラフとして表すことができ、つまり、頂点がユニバーサル頂点と呼ばれる中心の頂点と接続する多角形として描くことができる。[ 22 ]

長方形と菱形の基部を持つピラミッド

正角錐は、底面が不規則多角形である場合もあります。不規則角錐の例としては、底面が長方形や菱形であるものがあります。これら2つの角錐は、 C 2vの対称性（位数4）を持ちます。

傾斜面で切り取られたピラミッド
五芒星底のピラミッド。

ピラミッドの種類は様々な方法で分類できます。ピラミッドの底面の規則性は、多角形の種類に基づいて分類できます。例えば、星型ピラミッドは、底面が正星型多角形であるピラミッドである。[ 23 ]

角錐台は平面で切断された角錐です。角錐台は、切断面が角錐の底面と平行な場合は、錐台と呼ばれます。

測量

多面体の表面積は、その面の面積の合計です。ピラミッドの表面積は、三角形の面積と多角形の底面積の合計です

ピラミッドの体積は、底面積と高さの積の 1/3 である。ピラミッドの高さは、頂点と底辺への直交投影を結ぶ線分の長さとして定義される。底面積が でピラミッドの高さが であることを考えると、ピラミッドの体積は次のようになる。[ 24 ]ピラミッドの体積は古代エジプトで記録されており、そこでは正方形の錐台 の体積を計算していたことから、正方形ピラミッドの体積を知っていたことがうかがえる。[ 25 ]一般的なピラミッドの体積の公式はインドの数学者アーリヤバタによって発見されたが、彼は著書『アーリヤバティヤ』の中で、ピラミッドの体積は底面積と高さの積の半分であるという記述は誤りであるとしている。[ 26 ]B{\displaystyle B}h{\displaystyle h}V＝13Bh。{\displaystyle V={\frac {1}{3}}Bh.}

一般化

立方体を底とする4次元超ピラミッド

超ピラミッドは、 n次元空間におけるピラミッドの一般化です。ピラミッドの場合、平面上の多角形である底辺の​​すべての頂点を、平面外の点（頂点）に接続します。ピラミッドの高さは、頂点から平面までの距離です。この構成はn次元に一般化されます。底辺は、 ( n −1)次元超平面上の( n −1)多面体になります。頂点と呼ばれる点は超平面の外側に位置し、多面体のすべての頂点に接続され、頂点から超平面までの距離は高さと呼ばれます。[ 27 ]

n次元超ピラミッドのn次元体積は次のように計算できる。 ここでVnは超ピラミッドのn次元体積を表す。Aは底辺の( n  −1)次元体積、 hは高さ、すなわち頂点と底辺Aを含む( n  −1)次元超平面との間の距離である。[ 27 ]Vn＝A⋅hn。{\displaystyle V_{n}={\frac {A\cdot h}{n}}.}

参照

参考文献

  1. ^クロムウェル、ピーター・R. (1997)、『多面体』、ケンブリッジ大学出版局、13ページ。
  2. ^スミス、ジェームズ・T. (2000) 『幾何学の方法』、ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、98ページ、ISBN 0-471-25183-6。
  3. ^ヒース、トーマス（1908年）『ユークリッド：13元素集』第3巻、ケンブリッジ大学出版局、268ページ。
  4. ^アルシーナ、クラウディ、ネルセン、ロジャー B. (2015)、「数学的宇宙の旅：21世紀の立体幾何学」、アメリカ数学会、p. 85、ISBN 978-0-88385-358-0。
  5. ^ Grünbaum, Branko (1997)、「等角プリズマトイド」、離散幾何学と計算幾何学、18 : 13–52、doi : 10.1007/PL00009307。
  6. ^ O'Leary, Michael (2010), Revolutions of Geometry , John Wiley & Sons, p. 10, ISBN 978-0-470-59179-6。
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  8. ^バートル、ウィリアム C. (1893)、『立体幾何学の原点』、リーチ・シェウェル＆サンボーン、32ページ
  9. ^斜ピラミッドと直角ピラミッド、Math Open Reference
  10. ^ Gellert、Gottwald、Hellwich、Kastner、Kustner (1989)、VNR CONCISE ENCYCLOPEDIA OF MATHEMATICS、ヴァン ノストランド ラインホルト、ISBN 978-94-011-69844{{citation}}: CS1 maint: 複数の名前: 著者リスト (リンク)
  11. ^チャールズ・デイヴィス（1852年）『幾何学と三角法の原点』ASバーンズ社、175ページ
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  13. ^ハンブル、スティーブ（2016年）、『実験者の数学AZ：コンピュータ支援による数学アクティビティ』、テイラー＆フランシス、23ページ、ISBN 978-1-134-13953-8。
  14. ^ジョンソン、ノーマン W. (2018)、幾何学と変換、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-1-107-10340-5第11章「有限対称群」、11.3「ピラミッド、プリズム、反プリズム」を参照してください
  15. ^アレクサンドロフ、ポール（2012）、群論入門、ドーバー出版、p.48、ISBN 978-0-486-48813-4。
  16. ^ジョンソン、ノーマン W. (1966)、「正則面を持つ凸多面体」、Canadian Journal of Mathematics、18 : 169–200、doi : 10.4153/cjm-1966-021-8、MR 0185507、S2CID 122006114、Zbl 0132.14603   表IIIの1行目を参照してください。
  17. ^上原龍平（2020）、計算折り紙入門：新しい計算幾何学の世界、シュプリンガー、p.62、doi：10.1007 / 978-981-15-4470-5、ISBN 978-981-15-4470-5。
  18. ^シャヴィニナ、ラリサ・V. (2013)、『ラウトレッジ国際イノベーション教育ハンドブック』ラウトレッジ、333ページ、ISBN 978-0-203-38714-6。
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  20. ^ケリー、W.マイケル（2009）、幾何学問題集、ペンギングループ、p.455、ISBN 978-1-61564-698-2。
  21. ^ Wohlleben, Eva (2019)、「非多面体における双対性 パートI：ポリライナー」、Cocchiarella, Luigi (編)、ICGG 2018 - Proceedings of the 18th International Conference on Geometry and Graphics: 40th Anniversary - Milan, Italy, August 3-7, 2018、Advances in Intelligent Systems and Computing、vol. 809、Springer、p. 485–486、doi : 10.1007/978-3-319-95588-9、ISBN 978-3-319-95588-9
  22. ^ピサンスキ、トマシュ；セルバティウス、ブリジット（2013）「グラフィカルな視点からの構成」、シュプリンガー、p. 21、doi : 10.1007/978-0-8176-8364-1、ISBN 978-0-8176-8363-4。
  23. ^ウェニンガー、マグナス・J. (1974)、『多面体モデル』、ケンブリッジ大学出版局、50ページ、ISBN 978-0-521-09859-5 2013年12月11日時点のオリジナルよりアーカイブ
  24. ^アレクサンダー、ダニエル・C.; ケーベルリン、ジェラリン・M. (2014) 『大学生のための初等幾何学（第6版）』、Cengage Learning、p. 403、ISBN 978-1-285-19569-8。
  25. ^ Gillings, RJ (1964)、「古代エジプトのパピルスに描かれた切頂ピラミッドの体積」、The Mathematics Teacher、57 (8): 552– 555、doi : 10.5951/MT.57.8.0552、JSTOR 27957144 。
  26. ^カジョリ、フロリアン（1991年）、数学史（第5版）、アメリカ数学会、p.87、ISBN 978-1-4704-7059-3。
  27. ^ a b Mathai, AM (1999), 『幾何確率入門：分布的側面とその応用』 Taylor & Francis, p. 42–43, ISBN 978-90-5699-681-9。
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