不定直交群

数学において、不定直交群（ふつうおきょうぐん、O( p , q )）は、n次元実ベクトル空間のすべての線型変換のリー群であり、符号( p , q )の非退化対称双線型形式（ n = p + q ）を不変とする。擬直交群[ 1 ]または一般化直交群[ 2 ]とも呼ばれる。群の次元はn ( n − 1)/2である。

不定特殊直交群SO ( p , q )は、行列式が 1であるすべての要素で構成されるO( p , q )のサブグループです。 定の場合とは異なり、SO( p , q )は連結されておらず、2 つのコンポーネントを持ちます。 また、連結されたSO + ( p , q )と、2 つのコンポーネントを持つO + ( p , q )という2 つの追加の有限インデックスサブグループがあります。 定義と説明については、 § 位相を参照してください。

形式の符号は同型性を除いて群を決定する。pとqを入れ替えることは計量をその負数に置き換えることと等しく、したがって同じ群となる。pまたはqのいずれかが0の場合、群は通常の直交群O( n )と同型である。以下ではpとqはともに正であると仮定する。

群O( p , q )は実数体上のベクトル空間に対して定義されます。複素空間の場合、すべての群O( p , q ; C )は通常の直交群O( p + q ; C )と同型です。これは、変換によって形式の符号が変化するためです。これは、符号( p , q )の二乗線形形式を保存する不定ユニタリ群U( p , q )と混同しないでください。 zj↦私zj{\displaystyle z_{j}\mapsto iz_{j}}

偶数次元n = 2 pでは、O( p , p )は分割直交群として知られています。

例

スクイーズ マッピング (ここではr = 3/2 ) は、基本的な双曲対称性です。

基本的な例はスクイーズ写像であり、これは単位双曲線を保存する線型変換（の恒等成分）の群SO + (1, 1)である。具体的には、これらは行列であり、群 SO(2) が円回転として解釈できるのと同様に、双曲回転として解釈できる。[コッシュ⁡（α）シン⁡（α）シン⁡（α）コッシュ⁡（α）]、{\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\cosh(\alpha)&\sinh(\alpha)\\\sinh(\alpha)&\cosh(\alpha)\end{smallmatrix}}\right],}

物理学において、ローレンツ群O(1,3)は電磁気学と特殊相対論の基礎となるため、中心的な重要性を持っています。(一部の文献ではローレンツ群としてO(3,1)が使用されていますが、量子場の理論ではディラック方程式の幾何学的性質がO(1,3)でより自然であるため、 O(1,3)が主流です。)

行列の定義

古典的な直交群O( n )と同様に、 O( p , q )を行列群として定義することができる。次式で表される 対角行列を考える。（p+q）×（p+q）{\displaystyle (p+q)\times (p+q)}グラム{\displaystyle g}

グラム＝d私1つのグラム（1、…、1⏟p、−1、…、−1⏟q）。{\displaystyle g=\mathrm {diag} (\underbrace {1,\ldots ,1} _{p},\underbrace {-1,\ldots ,-1} _{q}).}

次に、対称双線型形式を 次の式で 定義する。[⋅、⋅]p、q{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]_{p,q}}Rp+q{\displaystyle \mathbb {R} ^{p+q}}

[×、y]p、q＝⟨×、グラムy⟩＝×1y1+⋯+×pyp−×p+1yp+1−⋯−×p+qyp+q{\displaystyle [x,y]_{p,q}=\langle x,gy\rangle =x_{1}y_{1}+\cdots +x_{p}y_{p}-x_{p+1}y_{p+1}-\cdots -x_{p+q}y_{p+q}}、

は上の標準内積です。 ⟨⋅、⋅⟩{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }Rp+q{\displaystyle \mathbb {R} ^{p+q}}

次に、この双線型形式を保存する行列の群を と定義する: [ 3 ]お（p、q）{\displaystyle \mathrm {O} (p,q)}（p+q）×（p+q）{\displaystyle (p+q)\times (p+q)}

お（p、q）＝{あ∈Mp+q（R）|[あ×、あy]p、q＝[×、y]p、qた×、y∈Rp+q}{\displaystyle \mathrm {O} (p,q)=\{A\in M_{p+q}(\mathbb {R} )|[Ax,Ay]_{p,q}=[x,y]_{p,q}\,\forall x,y\in \mathbb {R} ^{p+q}\}}。

より明確に言えば、[ 4 ]のような行列から構成される。お（p、q）{\displaystyle \mathrm {O} (p,q)}あ{\displaystyle A}

グラムあtrグラム＝あ−1{\displaystyle gA^{\mathrm {tr} }g=A^{-1}}、

はの転置です。 あtr{\displaystyle A^{\mathrm {tr} }}あ{\displaystyle A}

g をp 個の正の固有値とq 個の負の固有値を持つ任意の対称行列に置き換えることで、同型群（実際にはGL( p + q )の共役部分群）が得られる。この行列を対角化すると、この群と標準群O( p , q )の共役が得られる。

サブグループ

SO + ( p , q )群とO( p , q )の関連する部分群は代数的に記述できる。行列LをO( p , q )内のブロック行列として分割する。

L＝（あBCD）{\displaystyle L={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}}

ここで、 A、B、C、Dはそれぞれp × p、p × q、q × p、q × qブロックである。O ( p , q )内の行列の集合のうち、左上p × pブロックAが正の行列式を持つものは部分群であることが示される。あるいは、言い換えれば、

L＝（あBCD）1つのndM＝（WXはいZ）{\displaystyle L={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\;\mathrm {and} \;M={\begin{pmatrix}W&X\\Y&Z\end{pmatrix}}}

O( p , q )にある場合、

（記号⁡詳細あ）（記号⁡詳細W）＝記号⁡詳細（あW+Bはい）。{\displaystyle (\operatorname {sgn} \det A)(\operatorname {sgn} \det W)=\operatorname {sgn} \det(AW+BY).}

右下のq × qブロックについても同様の結果が得られる。部分群SO + ( p , q )は、det Aとdet Dがともに正となるような行列Lから構成される。[ 5 ] [ 6 ]

O( p , q )内のすべての行列Lについて、 AとDの行列式は次の性質を持ち、次の性質を持つ[ 7 ]。特に、部分群SO( p , q )は、det Aとdet Dが同じ符号を持つような 行列Lで構成される。 [ 5 ]詳細あ詳細D＝詳細L{\textstyle {\frac {\det A}{\det D}}=\det L}|詳細あ|＝|詳細D|≥1.{\displaystyle |{\det A}|=|{\det D}|\geq 1.}

トポロジー

pとqが両方とも正であると仮定すると、グループO( p , q )とSO( p , q )のどちらも連結されておらず、それぞれ 4 と 2 のコンポーネントを持ちます。 π 0 (O( p , q )) ≅ C 2 × C 2はクラインの 4 次元グループであり、各要素が、形式が確定しているp次元およびq次元部分空間上のそれぞれの方向を保存するか反転するかを示します。これらの部分空間の 1 つだけで方向を反転すると、空間全体の方向が反転することに注意してください。特殊直交群には、コンポーネントπ 0 (SO( p , q )) = {(1, 1), (−1, −1) } があり、それぞれが両方の方向を保存するか、両方の方向を反転しますが、どちらの場合も全体的な方向は保存されます。

O( p , q )の恒等成分はしばしばSO + ( p , q )と表記され、 SO( p , q )の元のうち両方の向きを保存するものの集合と同一視される。この表記は、直交ローレンツ群の表記O + (1, 3)と関連しており、ここで + は最初の（時間）次元における向きを保存することを表す。

群O( p , q )もコンパクトではありませんが、形式が定まる部分空間に作用するコンパクト部分群 O( p ) と O( q ) を含みます。実際、 O( p ) × O( q )はO( p , q )の最大コンパクト部分群であり、S(O( p ) × O( q ))はSO( p , q )の最大コンパクト部分群です。同様に、SO( p ) × SO( q )はSO + ( p , q )の最大コンパクト部分群です。したがって、これらの空間は（特殊）直交群の積とホモトピー同値であり、そこから代数位相不変量を計算できます。（ 「最大コンパクト部分群」を参照）。

特に、SO + ( p , q )の基本群は、成分の基本群の積、π 1 (SO + ( p , q )) = π 1 (SO( p )) × π 1 (SO( q ))であり、次のように表されます。

π 1 (SO + ( p , q )) p = 1 p = 2 p ≥ 3
q = 1 C 1ZC 2
q = 2 ZZ × ZZ × C 2
q ≥ 3 C 2C 2 × ZC 2 × C 2

分割直交群

偶数次元では、中間の群O( n , n )は分割直交群として知られ、弦理論におけるT 双対変換の群として現れるなど、特に興味深い。これは、複素リー代数so 2 n（リー代数の分割実数形式のリー群）に対応する分割リー群である。より正確には、単位元成分が分割リー群である。これは、リー代数から非単位元成分を再構成することはできないためである。この意味で、これは、複素リー代数のコンパクト実数形式である確定直交群O( n ) := O( n , 0) = O(0, n )の反対である。

SO(1, 1)群は、分割複素数の単位群のサブグループである単位双曲線群と同一視される。

リー型の群、つまりリー代数からの代数群の構成という点では、分割直交群はシュバレー群であり、非分割直交群は少し複雑な構成を必要とし、スタインバーグ群である。

分割直交群は、非代数的に閉じた体上の一般化旗多様体を構築するために使用されます。

参照

参考文献

  1. ^ポポフ 2001
  2. ^ホール 2015、p.8、セクション1.2
  3. ^ホール 2015セクション 1.2.3
  4. ^ホール 2015第1章 演習1
  5. ^ a b Lester, JA (1993). 「O(p,q) の直交部分群」.線形代数と多重線形代数. 36 (2): 111– 113. doi : 10.1080/03081089308818280 . Zbl  0799.20041 .
  6. ^シロコフ 2012、88–96 ページ、セクション 7.1
  7. ^シロコフ 2012、pp. 89–91、補題 7.1 および 7.2

出典

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