第二階論理

論理学と数学において、第二階論理は第一階論理の拡張であり、第一階論理自体は命題論理の拡張である。^{[ a ]}第二階論理は、さらに高階論理と型理論によって拡張される。

第一階述語論理は、個体（談話領域の要素）にわたる変数のみを量化します。第二階述語論理は、さらに関係を量化します。たとえば、第二階述語文は、すべての式Pおよびすべての個体xについて、Pxが真であるか、またはPxが真でないかのいずれか（これは排中律です）を述べています。第二階述語論理には、集合、関数、およびその他の変数の量化も含まれます（下のセクションを参照）。第一階述語論理と第二階述語論理はどちらも談話領域（単に「領域」または「宇宙」と呼ばれることが多い）という概念を使用します。領域とは、個々の要素を量化できる集合です。 ${\displaystyle \forall P\,\forall x(Px\lor \neg Px)}$

例

ノイケルン（ベルリン）の落書き。非自明なモデルを許容する最も単純な2階文「∃ φ φ」を示しています。

一階述語論理は個体については量化できるが、性質については量化できない。つまり、Cube( b )のような原子文について、名前を変数に置き換えて量化子を付加することで量化文を得ることができる。^{[ 1 ]}

$${\displaystyle \exists x\,\mathrm {立方体} (x)}$$

しかし、述語については同じことはできません。つまり、次の式です。

$${\displaystyle \exists \mathrm {P} \,\mathrm {P} (b)}$$

は一階論理の文ではないが、これは二階論理の正当な文である。ここで、Pは述語変数であり、意味的には個体の集合である。^{[ 1 ]}

その結果、二階述語論理は一階述語論理よりも表現力が優れています。例えば、一階述語論理ではすべての立方体と四面体からなる集合を特定することはできません。しかし、二階述語論理では、この集合の存在は次のように主張できます。

$${\displaystyle \exists \mathrm {P} \,\forall x\,(\mathrm {P} x\leftrightarrow (\mathrm {Cube} (x)\vee \mathrm {Tet} (x))).}$$

この集合の性質を断言することができます。例えば、次の式は、すべての立方体と四面体の集合には十二面体が含まれないことを示しています。

$${\displaystyle \forall \mathrm {P} \,(\forall x\,(\mathrm {P} x\leftrightarrow (\mathrm {Cube} (x)\vee \mathrm {Tet} (x)))\rightarrow \lnot \exists x\,(\mathrm {P} x\wedge \mathrm {Dodec} (x))).}$$

二階量化は、到達可能性を表現できるため、特に有用です。例えば、 Parent( x , y )がxがyの親であることを示す場合、一階論理ではxがyの祖先であるという性質を表現できません。二階論理では、 y を含み、かつ Parent 関係で閉じているすべての人々の集合はx を含む、と表現できます。

$${\displaystyle \forall \mathrm {P} \,((\mathrm {P} y\wedge \forall a\,\forall b\,((\mathrm {P} b\wedge \mathrm {Parent} (a,b))\rightarrow \mathrm {P} a))\rightarrow \mathrm {P} x).}$$

二階述語論理では述語に変数があるのに対し、述語の性質には変数がないことは注目に値する。例えば、述語P Cube、Tet、Dodecに対して真となる性質Shape( P )が存在する、と言うことはできない。これは三階述語論理が必要となる。^{[ 2 ]}

構文と断片

二階論理の構文は、どの式が適切な式であるかを規定します。一階論理の構文に加えて、二階論理には多くの新しい変数の種類（型と呼ばれることもあります）が含まれます。これらは次のとおりです。

• 個体集合を範囲とする変数の一種。S がこの種の変数であり、t が一階項である場合、式t ∈ S （S ( t ) とも表記され、括弧を省略するために St とも表記される）は原子式である。個体集合は、定義域上の単項関係として見ることもできる。
• それぞれの自然数kに対して、個体に関するすべてのk項関係を範囲とする一種の変数が存在する。Rがそのようなk項関係変数であり、t ₁ ,..., t _kが一階項である場合、式R ( t ₁ ,..., t _k ) は原子式となる。
• それぞれの自然数kに対して、定義域のk個の要素を取り、定義域の単一の要素を返すすべての関数を範囲とする変数が存在する。fがそのようなk項関数変数であり、 t ₁ ,..., t _kが一階項である場合、式f ( t ₁ ,..., t _k ) は一階項となる。

今定義した変数はそれぞれ、全称量化および／または存在量化によって式を構築することができます。したがって、変数の種類ごとに2種類の量化子が存在します。二階述語論理における文は、一階述語論理と同様に、（いかなる種類の）自由変数も含まない整形式論理式です。

上記の定義では関数変数の導入を省略することが可能であり（実際、一部の著者はそうしています）、これはn項関数変数がn +1項の関係変数と、その関係のn +1番目の引数における「結果」の一意性を表す適切な式で表すことができるためです。（Shapiro 2000, p. 63）

モナディック第二階論理(MSO) は、一項関係 (つまり、集合) 上の量化のみが許可される、第二階論理の制限です。関数上の量化は、前述の関係と同値であるため、許可されません。これらの制限のない第二階論理は、モナディックバージョンと区別するために、完全第二階論理と呼ばれることがあります。モナディック第二階論理は、特に、グラフ理論におけるアルゴリズムのメタ定理であるクールセルの定理の文脈で使用されます。完全な無限二分木 ( S2S )の MSO 理論は決定可能です。対照的に、任意の無限集合上の完全第二階論理 (またはたとえば ( 、+) 上の MSO 論理) は、真の第二階算術を解釈できます。 ${\displaystyle \mathbb {N} }$

一階論理と同様に、二階論理には特定の二階言語における非論理記号が含まれる場合があります。ただし、これらの記号が形成するすべての項は、一階項（一階変数に置換可能）または二階項（適切な種類の二階変数に置換可能）のいずれかでなければならないという制限があります。

二階述語論理における式は、その量指定子（普遍的または存在的）が一階変数のみに及ぶ場合（二階自由変数を含む場合もある）、一階論理的（またはと表記されることもある）であると言われます。 （存在二階）式とは、二階変数に存在量指定子がいくつか追加されている式、つまり （ここでは一階式）です。存在二階式のみで構成される二階論理のフラグメントは存在二階論理と呼ばれ、ESO、、または ∃SO と略されます。式のフラグメントは双対的に定義され、普遍二階論理と呼ばれます。より表現力豊かなフラグメントは、任意のk > 0 に対して相互再帰によって定義されます。は（ここでは式）の形式を持ち、同様に は （ここでは式）の形式を持ちます。（二階算術の類似した構築については、解析階層を参照してください。） ${\displaystyle \Sigma _{0}^{1}}$ ${\displaystyle \Pi _{0}^{1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{1}^{1}}$ ${\displaystyle \exists R_{0}\ldots \exists R_{m}\phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \Sigma _{1}^{1}}$ ${\displaystyle \Pi _{1}^{1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{k+1}^{1}}$ ${\displaystyle \exists R_{0}\ldots \exists R_{m}\phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \Pi _{k}^{1}}$ ${\displaystyle \Pi _{k+1}^{1}}$ ${\displaystyle \forall R_{0}\ldots \forall R_{m}\phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \Sigma _{k}^{1}}$

セマンティクス

二階論理の意味論は、各文の意味を確立する。標準的な意味論が1つしかない一階論理とは異なり、二階論理では、標準意味論とヘンキン意味論という2つの異なる意味論が一般的に用いられる。これらの意味論のいずれにおいても、一階量指定子と論理接続詞の解釈は一階論理と同じである。二階変数に対する量指定子の範囲のみが、2種類の意味論で異なる。^{[ 3 ]}

標準意味論（完全意味論とも呼ばれる）では、量指定子は適切な種類のすべての集合または関数に値域を持ちます。この条件を満たすモデルは完全モデルと呼ばれ、これは二階量指定子の値域がモデルの一階部分の冪集合となるモデルと同じです。^{[ 3 ]}このように、一階変数の定義域が確立されれば、残りの量指定子の意味は固定されます。これらの意味論こそが二階論理に表現力を与えており、本稿の残りの部分ではこれらを前提とします。

レオン・ヘンキン(1950) は、二階および高階理論に対する別の種類の意味論を定義した。この意味論では、高階領域の意味は、その範囲にある集合や関数の特性について、型理論を用いて、明示的な公理化によって部分的に決定される。ヘンキン意味論は、標準意味論のように標準モデルに意味論が固定されるのではなく、公理のモデルのクラスが存在する、多ソート一階意味論の一種である。ヘンキン意味論のモデルは、高階領域の解釈として、集合の集合または関数の集合を提供するが、これはその種類のすべての集合または関数の適切な部分集合であってもよい。ヘンキンは、この公理化によって、一階論理に成り立つゲーデルの完全性定理とコンパクト性定理が、ヘンキン意味論を持つ二階論理に引き継がれることを証明した。レーヴェンハイム・スコーレムの定理はヘンキン意味論にも当てはまるので、リンドストロームの定理はヘンキンモデルが単なる偽装された一階モデルであることを意味する。^{[ 4 ]}

二階算術のような理論において、高階領域の非標準的な解釈の存在は、ヘンキンが用いた型理論から導かれる特定の公理化の欠陥というだけでなく、ゲーデルの不完全性定理の必然的な帰結でもある。すなわち、ヘンキンの公理は、標準的な解釈が唯一の可能なモデルであることを保証するために、これ以上補足することはできない。ヘンキン意味論は、二階算術の研究でよく用いられる。

Jouko Väänänen は、第二階述語論理のヘンキン意味論と完全意味論の区別は、前者がレーヴェンハイム・スコーレム定理やコンパクト性などのモデル理論的特性に従い、後者が圏論現象を持つという点で、 ZFCの証明可能性とVの真理性の区別に類似していると主張した。 ^{[ 3 ]}例えば、「で定義されている が実際の であるかどうかを意味のある形で問うことはできない。しかし、の内部で再定式化すると、再定式化された は可算モデルを持ち、したがって圏論的ではないことがわかる。」 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathrm {ZFC} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathrm {ZFC} }$ ${\displaystyle \mathrm {ZFC} }$ ${\displaystyle \mathrm {ZFC} }$

表現力

二階述語論理は一階述語論理よりも表現力が豊かです。たとえば、定義域がすべての実数の集合である場合、一階述語論理では、各実数の加法逆 の存在を次のように記述することによって主張できますが、実数 の集合の最小上限プロパティを主張するには二階述語論理が必要です。これは、すべての有界で空でない実数集合には上限 が存在するというものです。定義域がすべての実数 の集合である場合、次の二階述語文 (2 行に分割) は最小上限プロパティを表現します。 ここで、1 行目の は、が空でない (要素 を持つ)という仮定を表します。1 行目の残りの部分は、 が上から有界であるという仮定を表します(のすべての要素以上の数が存在する)。2 行目は、最小上限 の存在を表現します。これは、 が上限 (の任意の要素以上である) であり、任意の数が上限でもある場合は である、ということを主張します。この性質を満たす任意の順序体は、実数体と同型である。一方、実数体において成立する一階文の集合は、コンパクト性定理により、任意に大きなモデルを持つ。したがって、最小上界性は一階論理におけるいかなる文の集合によっても表現できない。（実際、すべての実数閉体は、シグネチャにおいて実数体と同じ一階文を満たす。） ${\displaystyle \forall x\exists y(x+y=0)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\forall A{\biggl (}&{\bigl (}\exists w(w\in A)\wedge \exists z\forall u(u\in A\rightarrow u\leq z){\bigr )}\rightarrow \\&\exists x{\Bigl (}\forall u(u\in A\rightarrow u\leq x)\wedge \forall y\forall u{\bigl (}(u\in A\rightarrow u\leq y)\rightarrow x\leq y{\bigr )}{\Bigr )}{\biggr )}\\\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle \langle +,\cdot ,\leq \rangle }$

第二階述語論理では、「定義域は有限である」あるいは「定義域は可算濃度である」という形式文を書くことができる。定義域が有限であると述べるには、定義域からそれ自身へのすべての射影関数は単射である、という文を用いる。定義域が可算濃度であると述べるには、定義域のすべての2つの無限部分集合の間には一対一性が存在する、という文を用いる。コンパクト性定理と上方レーヴェンハイム・スコーレム定理から、第一階述語論理ではそれぞれ有限性や可算性を特徴付けることはできないことがわかる。

ESOのような二階述語論理の特定の断片は、完全な二階述語論理よりも表現力が劣るものの、一階述語論理よりも表現力が優れています。ESOはまた、ヘンキン量指定子で拡張された一階述語論理、ヒンティッカとサンドゥの独立性を考慮した論理、そしてヴァーネネンの依存性論理など、量指定子の依存関係の非線形順序付けを可能にする一階述語論理の拡張と翻訳等価性があります。

演繹システム

論理における演繹体系とは、どの論理式の列が有効な証明を構成するかを決定する推論規則と論理公理の集合である。二階述語論理にはいくつかの演繹体系が使用可能であるが、いずれも標準的な意味論（下記参照）に対して完全ではない。これらの体系はいずれも健全であり、つまり、それらを用いて証明できるあらゆる文は、適切な意味論において論理的に有効である。

使用できる最も弱い演繹システムは、一次論理（自然演繹など）の標準的な演繹システムに、二次項の置換規則を追加したものです。^{[ b ]}この演繹システムは、二次算術の研究でよく使用されます。

Shapiro (2000)とHenkin (1950)が考察した演繹体系は、拡張された一階演繹体系に、内包公理と選択公理の両方を追加している。これらの公理は、標準的な二階意味論において健全である。また、内包公理と選択公理を満たす Henkin モデルに限定された Henkin 意味論においても健全である。^{[ c ]}

一階述語論理への還元不可能性

完全な二階意味論を持つ実数の二階理論を、以下のように一階理論に縮退させようとする試みもあるだろう。まず、定義域をすべての実数の集合から、すべての実数の集合を含む二ソートされた定義域に拡張する。言語に新たな二項述語、すなわち所属関係を追加する。すると、二階であった文が一階になり、以前は二階であった量指定子が二ソートにまたがるようになる。この縮退は、一ソート理論において、要素が数か集合かを示す単項述語を追加し、定義域を実数の集合と実数の冪集合の和集合とすることで試みることができる。

しかし、領域が実数のすべての集合を含むと主張されていることに注意すべきである。この要件は、レーヴェンハイム・スコーレム定理が示すように、一階の文、あるいは一階の理論にさえ還元することはできない。この定理は、実数の可算無限部分集合（その要素を「内数」と呼ぶ）と、内数の集合の可算無限集合（その要素を「内集合」と呼ぶ）が存在し、内数と内集合からなる領域が、実数と実数集合の領域が満たすのと全く同じ一階の文を満たすことを意味する。特に、それは一種の最小上界公理を満たし、実質的には次のようなことを述べている。

内部上限を持つ空でないすべての内部集合には、最小内部上限が存在します。

すべての内数からなる集合が可算であること（およびそれらが稠密な順序集合を形成するという事実と併せて）は、その集合が最小上界公理を完全には満たさないことを意味する。すべての内数からなる集合が可算であることは、それがすべての内数からなる集合のすべての部分集合の集合ではないことを意味する（カントールの定理によれば、可算無限集合のすべての部分集合の集合は非可算無限集合である）。この構成は、スコーレムのパラドックスと密接に関連している。

このように、実数および実数集合の第一階理論には多くのモデルがあり、その中には可算なものもいくつかある。しかし、実数の第二階理論にはモデルが一つしかない。これは、アルキメデスの完全順序体は一つしか存在しないという古典定理と、アルキメデスの完全順序体の公理がすべて第二階論理で表現可能であるという事実から導かれる。これは、実数の第二階理論にはモデルが一つしかないが、それに対応する第一階理論には多くのモデルがあるという意味で、実数の第二階理論を第一階理論に還元できないことを示している。

標準的な意味論を持つ二階述語論理が一階述語論理よりも表現力に富んでいることを示す、より極端な例もある。連続体仮説が成り立つ場合には実数のみをモデルとする有限の二階述語理論が存在し、連続体仮説が成り立たない場合はモデルを持たない。^{[ 5 ]}この理論は、実数を完全なアルキメデスの順序体として特徴付ける有限理論と、その定義域が第一非可算基数であるという公理から構成される。この例は、二階述語論理における文の整合性が問題となるかどうかという問題が非常に微妙であることを示している。

2 次論理の追加の制限については、次のセクションで説明します。

メタロジカル結果

ゲーデルの不完全性定理の帰結として、2階の公式には、以下の3つの望ましい属性を同時に満たす演繹体系（つまり、証明可能性の概念）は存在しない： ^{[ d ]}

• (健全性) 証明可能なすべての 2 階文は普遍的に有効です。つまり、標準的な意味論の下ではすべてのドメインで真です。
• (完全性) 標準的な意味論のもとでは、普遍的に有効な 2 階論理式はすべて証明可能です。
• (有効性)与えられた記号列が証明であるかどうかを正しく判断できる証明確認アルゴリズムが存在します。

この系は、二階論理は完全な証明理論を許容しないという表現で表現されることがある。この点において、標準的な意味論を持つ二階論理は一階論理とは異なる。クワインは、完全な証明体系が存在しないことを、二階論理が厳密に言えば論理ではないと考える理由として指摘した。^{[ 6 ]}

前述のように、ヘンキンは、一階述語論理の標準的な演繹体系がヘンキン意味論を持つ二階述語論理に対して健全、完全、かつ効果的であること、また、理解と選択の原則を持つ演繹体系がこれらの原則を満たすモデルのみを使用してヘンキン意味論に対して健全、完全、かつ効果的であることを証明しました。

コンパクト性定理とレーヴェンハイム・スコーレム定理は、二階述語論理の完全なモデルでは成立しない。しかし、ヘンキンモデルでは成立する。^{[ 7 ]}

歴史と議論のある価値

述語論理はC.S. ピアースによって数学界に導入された。ピアースは「二階述語論理」という用語を造り出し、その記法は現代の形式に最も近い (Putnam 1982)。しかし、今日ではほとんどの論理学者はフレーゲの著作により精通している。フレーゲはピアースより数年前に著作を発表していたが、バートランド・ラッセルとアルフレッド・ノース・ホワイトヘッドによって有名になるまで、その著作はあまり知られていなかった。フレーゲは、オブジェクトに対する量化と、プロパティおよび集合に対する量化を区別するために異なる変数を使用したが、彼は2つの異なる種類の論理を行っているとは考えてはいなかった。ラッセルのパラドックスの発見後、彼の体系に何か問題があることが認識された。最終的に論理学者は、フレーゲの論理をさまざまな方法で、現在では一階述語論理と呼ばれているものに制限することで、この問題が解消されることを発見した。集合とプロパティは、一階述語論理だけでは量化できない。現在標準的な論理の階層構造はこの時期に遡る。

集合論は、一階述語論理の装置内で公理化されたシステムとして定式化できることが発見され（いくつかの種類の完全性が犠牲になるが、ラッセルのパラドックスほどひどいものではない）、これは実際に行われた（ツェルメロ＝フランケル集合論を参照）。集合は数学にとって不可欠である。 算術、メレオロジー、その他さまざまな強力な論理理論は、一階述語量化以上の論理装置に頼ることなく公理的に定式化することができ、このことと、ゲーデルとスコーレムの一階述語論理への固執が相まって、二階述語論理（またはより高階の論理）の研究は全般的に衰退した。

この否定は、一部の論理学者、特にWV Quineによって積極的に進められました。Quine は、 Fxのような述語言語の文では「x」はオブジェクトを示す変数または名前として考えるべきであり、したがって「すべてのものについて、…である」のように量化できるが、「F 」は不完全な文の略語として考えるべきであり、オブジェクトの名前 (プロパティのような抽象的なオブジェクトでさえも) ではないという見解を提唱しました。たとえば、「…は犬である」という意味かもしれません。しかし、このようなものを量化できると考えるのは意味がありません (このような立場は、概念とオブジェクトの区別に関する Frege 自身の議論と非常に一致しています)。したがって、述語を変数として使用することは、個々の変数のみが占めるべき名前の場所を述語に占めさせることです。この推論はGeorge Boolosによって却下されました。

近年、二階論理は、ブーロスによる二階量化を一階量化と同じ対象領域における複数量化と解釈した解釈（ブーロス 1984）に支えられ、ある程度の復活を遂げている。ブーロスはさらに、「批評家の中には互いにしか感心しない者もいる」や「フィアンケットの部下の中には、他の誰にも同伴せずに倉庫に入った者もいる」といった文が一階量化不可能であると主張されている点を指摘し、これらの文は二階量化の完全な力によってのみ表現できると主張する。しかしながら、一般化量化や部分的順序付け（あるいは分岐）量化は、一階量化不可能とされる特定の文を表現するのに十分であり、これらの文は二階量化の適用範囲外である。

計算の複雑さとの関係

有限構造上のさまざまな形式の第 2 階論理の表現力は、計算複雑性理論と密接に結びついています。記述複雑性の分野では、どの計算複雑性クラスがその言語 (有限文字列の集合) を表現するために必要な論理の能力によって特徴付けられるかを研究します。有限アルファベットA内の文字列w  =  w ₁ ··· w _{n は}、ドメインD  = {1,..., n }、各a  ∈  Aについて単項述語P _a ( w _i  =  aとなるインデックスiによって満たされます)、およびどのインデックスがどのインデックスであるかを一意に識別するための追加の述語 (通常は、 D上の後続関数のグラフまたは順序関係 < を取り、場合によっては他の算術述語も使用します) を持つ有限構造で表現できます。逆に、任意の有限構造 (有限シグネチャ上) のケーリー テーブルは、有限文字列でエンコードできます。

この識別により、有限構造上の第 2 階論理のさまざまなバリエーションの次のような特徴付けが導き出されます。

• REG (正規言語) は、モナドの 2 階式 ( Büchi-Elgot-Trakhtenbrot 定理、1960 年) によって定義できる言語の集合です。
• NP は、存在論的、2 階の式によって定義可能な言語の集合です ( Fagin の定理、1974)。
• co-NPは、普遍的な 2 階の式によって定義できる言語の集合です。
• PH は、2 次式で定義できる言語の集合です。
• PSPACE は、推移閉包演算子が追加された 2 次式で定義可能な言語のセットです。
• EXPTIME は、最小固定小数点演算子が追加された 2 次式で定義可能な言語のセットです。

これらのクラス間の関係は、有限構造上の論理の相対的な表現力に直接影響します。たとえば、PH  =  PSPACEの場合、2 階論理に推移閉包演算子を追加しても、有限構造上の表現力は向上しません。

参照

• 一階論理
• 高階論理
• レーヴェンハイム数
• オメガ言語
• 第二階命題論理
• モナド二階論理

注記

1. Shapiro (2000)とHinman (2005)は、この主題について完全な定義を付した完全な入門書を提供しています。
2. このようなシステムは、 Hinman (2005)によってコメントなしで使用されています。
3. これらはもともとHenkin（1950）によって研究されたモデルである。
4. この系の証明は、標準的な意味論のための健全で完全かつ効果的な演繹システムを使用して、ゲーデルの定理によって存在できないことが示されているペアノ算術の再帰的に列挙可能な完備化を生成できるということです。

参考文献

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引用文献

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さらに読む

• アンドリュース、ピーター（2002年）『数理論理学と型理論入門：証明を通して真理へ』（第2版）クルーワー・アカデミック・パブリッシャーズ。
• ブーロス、ジョージ (1984). 「存在するということは、変数の値であること（あるいは、いくつかの変数のいくつかの値であること）」.哲学ジャーナル. 81 (8): 430–50 . doi : 10.2307/2026308 . JSTOR  2026308 .. Boolos, Logic, Logic and Logic（1998年）に再掲載。
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