球面定理（3次元多様体）

数学において、3次元多様体の位相幾何学において、クリストス・パパキリアコプロス （1957年）の球面定理は、3次元多様体の第2ホモトピー群の要素が埋め込まれた球面によって表現されるための条件を与える。

一例として次のものが挙げられます。

が自明群ではないような向き付け可能な3次元多様体とする。すると、埋め込みである代表を持つの非零元が存在する。この記述は、埋め込みが区分線形であることを示すことで強化される可能性がある（Lickorish 1997、p. 133）。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi _{2}(M)}$ ${\displaystyle \pi _{2}(M)}$ ${\displaystyle S^{2}\to M}$

このバージョンの定理の証明は横断法に基づいて行うことができます。Jean-Loïc Batude ( 1971 )を参照してください。

もう 1 つのより一般的なバージョン (射影平面定理とも呼ばれ、David BA Epsteinによる) は次のとおりです。

を任意の3次元多様体とし、の-不変部分群とする。が一般位置写像であって、 が特異集合 の任意の近傍であるとき、を満たす 写像が存在する。${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \pi _{1}(M)}$ ${\displaystyle \pi _{2}(M)}$ ${\displaystyle f\colon S^{2}\to M}$ ${\displaystyle [f]\notin N}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \Sigma (f)}$ ${\displaystyle g\colon S^{2}\to M}$

1. ${\displaystyle [g]\notin N}$ 、
2. ${\displaystyle g(S^{2})\subset f(S^{2})\cup U}$ 、
3. ${\displaystyle g\colon S^{2}\to g(S^{2})}$ は被覆地図であり、
4. ${\displaystyle g(S^{2})}$ は の2 辺部分多様体 ( 2 球面または射影平面)です。${\displaystyle M}$

( Hempel 1976、p.54 より引用)

参考文献

• バチュード、ジャン＝ロイック（1971）。「2 球体と 3 種類の差異によるアプリケーションの差異化の単一性」(PDF)。フーリエ研究所の分析。21 (3): 151–172 .土井: 10.5802/aif.383。MR  0331407。

• エプスタイン、デイヴィッド BA (1961). 「3次元多様体における射影平面」.ロンドン数学会報. 第3シリーズ. 11 (1): 469–484 . doi : 10.1112/plms/s3-11.1.469 .

• ヘンペル、ジョン (1976). 3次元多様体. Annals of Mathematics Studies. 第86巻. プリンストン、ニュージャージー州:プリンストン大学出版局. MR  0415619 .

• パパキリアコプロス, クリストス(1957). 「デーンの補題と結び目の非球面性について」 . Annals of Mathematics . 66 (1): 1– 26. doi : 10.2307/1970113 . JSTOR  1970113. PMC  528404 .

• ホワイトヘッド, JHC (1958). 「3次元多様体における2次元球面について」アメリカ数学会報. 64 (4): 161– 166. doi : 10.1090/S0002-9904-1958-10193-7 .

• Lickorish, WBR (1997). 『結び目理論入門』 .大学院数学テキスト. 第175巻. ニューヨーク: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98254-X。