構造主義（数学の哲学）

構造主義は数学の哲学における理論であり、数学理論は数学的対象の構造を記述すると主張する。数学的対象は、そのような構造における位置によって網羅的に定義される。したがって、構造主義は、数学的対象は固有の特性を持たず、システムにおける外部関係によって定義されると主張する。たとえば、構造主義は、数 1 は自然数論の構造において 0 の後継数として網羅的に定義されると主張し、この例を一般化すると、あらゆる自然数はその理論におけるそれぞれの位置によって定義される。数学的対象の他の例としては、幾何学における直線や平面、抽象代数における元や演算などがあげられる。

構造主義は、数学的命題は客観的真理値を持つという点で、認識論的に実在的な見解である。しかし、その中心的な主張は、数学的対象がどのような実体であるかという点にのみ関係しており、数学的対象や構造がどのような存在を持つか（すなわち、それらの存在論）には関係していない。数学的対象がどのような存在を持つかは、それらが埋め込まれている構造の存在の種類に依存する。この点に関して、構造主義の様々な亜種は異なる存在論的主張を行っている。[ 1 ]

数学の哲学における構造主義は、特にポール・ベナセラフ、ジェフリー・ヘルマン、マイケル・レスニック、スチュワート・シャピロ、ジェームズ・フランクリンと関連しています。

歴史的動機

構造主義の発展の歴史的動機は、存在論の根本的な問題に由来する。中世以来、哲学者たちは数学の存在論が抽象的対象を含むかどうかについて議論してきた。数学哲学において、抽象的対象は伝統的に以下の条件を満たす実体として定義される。

（１）心から独立して存在する。 （２）経験的世界から独立して存在する。 （３）永遠で不変の性質を持つ。

伝統的な数学プラトン主義は、自然数、実数、関数、関係、体系といった数学的要素の集合がそのような抽象的対象であると主張する。これに対し、数学的唯名論は、数学の存在論においてそのような抽象的対象の存在を否定する。

19世紀後半から20世紀初頭にかけて、反プラトン主義的なプログラムが数多く普及しました。これには直観主義、形式主義、述語主義などが含まれます。しかし、20世紀半ばまでに、これらの反プラトン主義理論はそれぞれ独自の問題点を抱えるようになりました。これが後にプラトン主義への関心の復活につながりました。このような歴史的背景の中で、構造主義の動機が生まれました。1965年、ポール・ベナセラフは「数にはあり得ないもの」と題する影響力のある論文を発表しました。 [ 2 ]ベナセラフは、2つの主要な議論に基づき、集合論的プラトン主義は数学の哲学理論として成功し得ないと 結論付けました。

まず、ベナセラフはプラトン的なアプローチは存在論的テストに合格しないと主張した。[ 2 ] 彼は集合論的プラトン主義の存在論に反論する議論を展開したが、これは歴史的にはベナセラフの同一視問題と呼ばれている。ベナセラフは、自然数を純粋集合に関係付ける集合論的な方法には、要素的に同値なものが存在すると指摘した。しかし、自然数を純粋集合に関係付けるための「真の」同一性宣言を求めると、これらの要素的に同値な集合を互いに関連付ける際に、異なる集合論的方法は矛盾した同一性宣言を生み出すことになる。[ 2 ] これは集合論的な誤りを生み出す。その結果、ベナセラフは、この集合論的な誤りは、数を集合に還元して抽象的な対象を明らかにするプラトン的な方法は存在しないことを示していると推論した。

第二に、ベナセラフはプラトン的なアプローチは認識論のテストに合格しないと主張した。ベナセラフは、抽象的な対象にアクセスするための経験的または合理的な方法は存在しないと主張した。数学的対象が空間的または時間的ではない場合、ベナセラフはそのような対象は知識の因果理論を通じてアクセスできないと推論する。[ 3 ] したがって、プラトン主義者にとって、限られた経験的な心を持つ数学者が、心に依存しない、世界に依存しない永遠の真理に正確にアクセスできる方法について、もっともらしい説明を提供するという根本的な認識論的問題が生じる。これらの考察、つまり存在論的議論と認識論的議論から、ベナセラフの反プラトン主義的批判が数学哲学における構造主義の発展の動機となった（ただし、後者のプラトン主義的変種については後述）。

品種

スチュワート・シャピロは構造主義を3つの主要な学派に分類しています。[ 4 ]これらの学派は、アンテ・レム、イン・レム、ポスト・レムと呼ばれています。

  • アンテ・レム構造主義[ 5 ]（「事物以前」）、あるいは抽象構造主義[ 4 ]、あるいは抽象主義[ 6 ] [ 7 ] （特にマイケル・レスニック[ 4 ] 、スチュワート・シャピロ[ 4 ] 、エドワード・N・ザルタ[ 8 ]、オイステイン・リンネボと関連） [ 9 ]は、プラトン主義（様相新論理主義も参照）と同様の存在論を持つ。構造は現実的ではあるが抽象的で非物質的な存在であるとされる。そのため、ベナセラフが指摘するように、そのような抽象構造と生身の数学者との相互作用を説明するという標準的な認識論的問題に直面する。 [ 3 ]この課題を解決するためのいくつかの試みがなされてきた。例えば、レスニックとシャピロは、抽象的な数学的構造に関する必要な知識は、関連する構造の暗黙的な定義を提供する公理体系を構築するだけで得られると提唱しており、それによって精神と抽象概念との接触の必要性を排除する。あるいは、おそらく最も成功したのは、リンスキーとザルタ（共同研究）、そしてバラゲール（それぞれ独立して）が、しばしば充足プラトン主義（「純血の」または「原理的な」プラトン主義とも呼ばれる）と呼ばれるアプローチを展開した。このアプローチでは、存在し得るすべての数学的対象は実際に存在すると仮定され、したがって、前述の抽象概念との接触は必ずしも必要ではない。すべての（内部的に一貫性のある）数学理論は、（実際に存在する）数学的対象の集合を正確に記述する。 [ 10 ]
  • 再構造主義[ 5 ]（「物において」） [ 5 ] 、あるいは様相構造主義[ 4 ] （特にジェフリー・ヘルマンと関連） [ 4 ]は、アリストテレス的実在論[ 11 ]（真理値においては実在論だが、存在論における抽象的対象については反実在論）に相当する。構造は、何らかの具体的なシステムがそれを例示する限りにおいて存在するとされる。 [ 12 ]これには、完全に正当な構造が偶然存在しない可能性や、有限の物理世界が他の正当な構造を収容するのに「十分に大きく」ない可能性があるという、よくある問題が生じる。ジェームズ・フランクリンのアリストテレス的実在論も再構造主義であり、対称性などの構造的特性は物理世界に具体化されており、したがって知覚可能であると主張する。 [ 13 ]物理世界に収まらないほど大きな非具体化構造の問題に対して、フランクリンは、他の科学でも非具体化普遍性を扱うことができるという事実を指摘している。例えば、色彩の科学では、現実の物体には存在しない青の色合いを扱うことができる。 [ 14 ]
  • ポスト・レム構造主義[ 15 ]（「事物の後」）、あるいは排除的構造主義[ 4 ]（特にポール・ベナセラフと関連） [ 4 ]は、構造に関して反実在論的であり、その点は名目論に似ている。名目論と同様に、ポスト・レム・アプローチは、関係構造における位置以外の特性を持つ抽象的な数学的対象の存在を否定する。この見解によれば、数学的システムが存在し、共通の構造的特徴を持っている。ある構造について真であるならば、その構造を例示するすべてのシステムについても真である。しかし、システム間で構造が「共通に保持されている」と語るのは単なる手段に過ぎず、実際には構造は独立して存在しない。

参照

先駆者

参考文献

  1. ^ブラウン、ジェームズ (2008). 『数学の哲学』 ラウトレッジ. p  . 62. ISBN 978-0-415-96047-2。
  2. ^ a b cベナセラフ、ポール(1965). 「数にはあり得ないもの」.哲学評論. 74 (1): 47– 73. doi : 10.2307/2183530 . JSTOR 2183530 . 
  3. ^ a bベナセラフ, ポール(1983). 「数学的真理」 . Putnam, HW; ベナセラフ, P. (編). 『数学の哲学：選集』（第2版）. ケンブリッジ大学出版局. pp.  403– 420. ISBN 978-0-521-29648-9。
  4. ^ a b c d e f g hシャピロ、スチュワート（1996年5月）「数学的構造主義」『哲学数学』4（2）：81-82。doi ： 10.1093 / philmat/4.2.81。
  5. ^ a b c d Shapiro 1997、p. 9引用エラー: 名前付き参照「Shapiro1997」が異なる内容で複数回定義されています (ヘルプ ページを参照してください)。
  6. ^ Tennant, Neil (2017)、「Logicism and Neologicism」、Zalta, Edward N. (ed.)、The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2017 ed.)、Metaphysics Research Lab、Stanford University 、 2022年7月10日閲覧。。
  7. ^抽象主義プラトン主義と混同しないでください。
  8. ^ザルタ、エドワード・N.；ノーデルマン、ウリ（2011年2月）「論理的に首尾一貫したアンテ・レム構造主義」（PDF）オントロジー的依存ワークショップブリストル大学
  9. ^リンネボ、オイステイン（2018年）『薄いオブジェクト：抽象主義的考察』オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-255896-1。
  10. ^バラゲル、マーク（2025）、ザルタ、エドワード・N.、ノーデルマン、ウリ（編）、「形而上学におけるプラトニズム：プラトニズムに対する認識論的議論」、スタンフォード哲学百科事典（2025年春版）、スタンフォード大学形而上学研究室、2025年9月10日閲覧。
  11. ^ da Silva, Jairo José (2017). 『数学とその応用：超越論的観念論的視点』 Springer. p. 265. ISBN 978-3-319-63073-1。
  12. ^あるいは、このアプローチの特に様相的なバージョンでは、それらがそのように存在できる限りにおいて、これは本文で言及された後者の問題、つまり世界はある（有限の）大きさを超える構造を収容できないかもしれないという問題には左右されるが、前者の問題には左右されない（様相構造主義者にとっては、インスタンス化の可能性だけで十分であるから）。 [ 5 ]
  13. ^フランクリン 2014、48～59ページ
  14. ^フランクリン、ジェームズ (2015). 「非例示的性質と半プラトン主義的アリストテレス主義」 . 『形而上学評論』. 69 (1): 25– 45. JSTOR 24636591. 2021年6月29日閲覧。 
  15. ^ネフト、ライアン・M. (2018). 「推論主義と構造主義：二つの理論の物語」 . Logique et Analyse . 244 : 489–512 . doi : 10.2143/LEA.244.0.3285352 .

参考文献

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