トネリの定理（関数解析）

数学において、関数解析におけるトネリの定理は、L ^p空間上の非線型関数の弱下半連続性に関する基本的な結果である。そのため、関数解析と変分法に大きな意味を持つ。大まかに言えば、積分関数の弱下半連続性が積分核の凸性と同値であることを示す。この結果は、イタリアの数学者レオニダ・トネリに帰せられる。

定理の記述

を-次元ユークリッド空間の有界領域とし、を連続拡張実数値関数とする。関数上の非線形関数を次のように 定義する。${\displaystyle \オメガ}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle u:\Omega \to \mathbb {R} ^{m}}$ $${\displaystyle F[u]=\int _{\Omega }f(u(x))\,\mathrm {d} x.}$$

すると、は の空間上で順次弱下半連続であり、 が凸 である場合に限り、上で弱∗ 下半連続である。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}(\オメガ )}$ ${\displaystyle 1<p<+\infty }$ ${\displaystyle L^{\infty }(\Omega )}$ ${\displaystyle f}$

参照

• 不連続線形関数

参考文献

• マイケル・レナルディ＆ロバート・C・ロジャース（2004年）『偏微分方程式入門』応用数学テキスト13（第2版）ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、347頁。ISBN 0-387-00444-0。（定理10.16）