打ち切り誤差（数値積分）

数値積分における打ち切り誤差には2 種類あります。

• 局所的切り捨て誤差– 1回の反復で発生する誤差、および
• グローバル切り捨て誤差– 多くの反復によって発生する累積誤差。

定義

連続微分方程式があるとする

${\displaystyle y'=f(t,y),\qquad y(t_{0})=y_{0},\qquad t\geq t_{0}}$

離散時間ステップにおける真の解の近似値を計算したいと思う。簡単のため、時間ステップは等間隔であると仮定する。 ${\displaystyle y_{n}}$ ${\displaystyle y(t_{n})}$ ${\displaystyle t_{1},t_{2},\ldots ,t_{N}}$

${\displaystyle h=t_{n}-t_{n-1},\qquad n=1,2,\ldots ,N.}$

次のような1ステップ法で シーケンスを計算すると仮定する。${\displaystyle y_{n}}$

${\displaystyle y_{n}=y_{n-1}+hA(t_{n-1},y_{n-1},h,f).}$

この関数は増分関数と呼ばれ、傾きの推定値として解釈できます。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\frac {y(t_{n})-y(t_{n-1})}{h}}}$

ローカル切り捨てエラー

ローカル切り捨て誤差は 、前回の反復における真の解が完全にわかっていると仮定して、増分関数 が 1 回の反復中に引き起こす 誤差です。${\displaystyle \tau_{n}}$ ${\displaystyle A}$

より正式には、ステップ における局所的打ち切り誤差 は、増分 の方程式の左側と右側の差から計算されます。 ${\displaystyle \tau_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle y_{n}\approx y_{n-1}+hA(t_{n-1},y_{n-1},h,f)}$

${\displaystyle \tau _{n}=y(t_{n})-y(t_{n-1})-hA(t_{n-1},y(t_{n-1}),h,f)。}$ ^{[ 1 ] [ 2 ]}

数値法は、局所打ち切り誤差が であるとき矛盾しない（これは、任意の に対して が存在し、すべての に対してとなることを意味する。小文字の o 表記を参照）。増分関数が連続である場合、 、 のときのみ、この方法は矛盾しない。^{[ 3 ]}${\displaystyle o(h)}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle |\tau _{n}|<\varepsilon h}$ ${\displaystyle h<H}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A(t,y,0,f)=f(t,y)}$

さらに、初期値問題の十分に滑らかな解に対して局所打ち切り誤差が（つまり、すべての に対して となる定数と が存在する）であるとき、数値法は順序${\displaystyle p}$ を持つという。 ^{[ 4 ]}${\displaystyle O(h^{p+1})}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle |\tau_{n}|<Ch^{p+1}}$ ${\displaystyle h<H}$

グローバル切り捨てエラー

グローバル切り捨て誤差は、初期時間ステップでの真の解が完全にわかっていると仮定して、すべての反復にわたる ローカル切り捨て誤差の累積です。

より正式には、時刻におけるグローバル切り捨て誤差 は次のように定義されます。 ${\displaystyle e_{n}}$ ${\displaystyle t_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{n}&=y(t_{n})-y_{n}\\&=y(t_{n})-{\Big (}y_{0}+hA(t_{0},y_{0},h,f)+hA(t_{1},y_{1},h,f)+\cdots +hA(t_{n-1},y_{n-1},h,f){\Big )}.\end{aligned}}}$ ^{[ 5 ]}

ステップサイズがゼロに近づくにつれて大域的打ち切り誤差がゼロに近づく場合、数値法は収束する。言い換えれば、数値解は正確な解に収束する。^{[ 6 ]}${\displaystyle \lim _{h\to 0}\max _{n}|e_{n}|=0}$

局所的および全体的な切り捨て誤差の関係

局所的な切り捨て誤差が既に分かっている場合、全体的な切り捨て誤差の上限を計算できる場合があります。これには、増分関数が十分に適切に動作することが必要です。

大域的切り捨て誤差は再帰関係を満たす：

${\displaystyle e_{n+1}=e_{n}+h{\Big (}A(t_{n},y(t_{n}),h,f)-A(t_{n},y_{n},h,f){\Big )}+\tau _{n+1}.}$

これは定義から直ちに導かれる。ここで、増分関数が第二引数においてリプシッツ連続であると仮定する。つまり、すべてのおよびに対して、次式を満たす定数が存在するとする。 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle y_{1}}$ ${\displaystyle y_{2}}$

${\displaystyle |A(t,y_{1},h,f)-A(t,y_{2},h,f)|\leq L|y_{1}-y_{2}|.}$

すると、グローバル誤差は境界を満たす。

${\displaystyle |e_{n}|\leq {\frac {\max _{j}\tau _{j}}{hL}}\left(\mathrm {e} ^{L(t_{n}-t_{0})}-1\right).}$ ^{[ 7 ]}

上記のグローバル誤差の境界から、微分方程式の関数が第1引数で連続し、第2引数でリプシッツ連続（ピカール・リンデレフの定理からの条件）であり、増分関数がすべての引数で連続し、第2引数でリプシッツ連続である場合、ステップサイズがゼロに近づくにつれてグローバル誤差はゼロに近づく（言い換えれば、数値法は正確な解に収束する）ことがわかる。^{[ 8 ]}${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle h}$

線形多段階法への拡張

ここで、次の式で表される 線形多段階法を考える。

${\displaystyle {\begin{aligned}&y_{n+s}+a_{s-1}y_{n+s-1}+a_{s-2}y_{n+s-2}+\cdots +a_{0}y_{n}\\&\qquad {}=h{\bigl (}b_{s}f(t_{n+s},y_{n+s})+b_{s-1}f(t_{n+s-1},y_{n+s-1})+\cdots +b_{0}f(t_{n},y_{n}){\bigr )},\end{aligned}}}$

したがって、数値解の次の値は次のように計算される。

$y_{n+s}=-\sum _{k=0}^{s-1}a_{k}y_{n+k}+h\sum _{k=0}^{s}b_{k}f(t_{n+k},y_{n+k}).$

線形多段階法の次の反復は、前の反復に依存します。したがって、局所打ち切り誤差の定義では、前の反復がすべて正確な解に対応すると仮定します。

${\displaystyle \tau _{n}=y(t_{n+s})+\sum _{k=0}^{s-1}a_{k}y(t_{n+k})-h\sum _{k=0}^{s}b_{k}f(t_{n+k},y(t_{n+k}))。}$ ^{[ 9 ]}

繰り返しますが、この方法は の場合に一貫しており、の場合にpの位数を持ちます。グローバル切り捨て誤差の定義も変更されていません。 ${\displaystyle \tau _{n}=o(h)}$ ${\displaystyle \tau _{n}=O(h^{p+1})}$

局所的および大域的打ち切り誤差の関係は、より単純なワンステップ法の場合とは少し異なります。線形多段階法では、局所的および大域的打ち切り誤差の関係を説明するために、ゼロ安定性と呼ばれる追加の概念が必要です。ゼロ安定性の条件を満たす線形多段階法では、ワンステップ法と同じ局所的誤差と大域的誤差の関係があります。言い換えれば、線形多段階法がゼロ安定かつ一貫性がある場合、収束します。また、線形多段階法がゼロ安定かつ局所的誤差 を持つ場合、その大域的誤差は を満たします。^{[ 10 ]}${\displaystyle \tau _{n}=O(h^{p+1})}$ ${\displaystyle e_{n}=O(h^{p})}$

参照

• 精度の順序
• 数値積分
• 数値常微分方程式
• 切り捨てエラー

注記

1. Gupta, GK; Sacks-Davis, R.; Tischer, PE (1985年3月). 「常微分方程式の解法における最近の進歩のレビュー」. Computing Surveys . 17 (1): 5– 47. CiteSeerX  10.1.1.85.783 . doi : 10.1145/4078.4079 .
2. Süli & Mayers 2003、p. 317では、切り捨て誤差と呼ばれています。${\displaystyle \tau_{n}/h}$
3. Süli & Mayers 2003、pp. 321 & 322
4. イゼルレス、1996 年、p. 8; Süli & Mayers 2003、p. 323
5. Süli & Mayers 2003、p. 317
6. イザールズ 1996、5ページ
7. Süli & Mayers 2003、p. 318
8. Süli & Mayers 2003、p. 322
9. Süli & Mayers 2003 、p. 337では、これを基本的にhで割るという異なる定義を使用している。
10. Süli & Mayers 2003、p. 340

参考文献

• Iserles, Arieh (1996), 『微分方程式の数値解析入門』Cambridge University Press , Bibcode : 1996fcna.book.....I , ISBN 978-0-521-55655-2。
• Süli, Endre; Mayers, David (2003), 『数値解析入門』 , Cambridge University Press , ISBN 0521007941。

外部リンク

• 切り捨て誤差とルンゲ・クッタ法に関する注記
• オイラー法の打ち切り誤差