零点と極点

複素解析（数学の一分野）において、極（pole ）とは、複素変数の複素数値関数のある種の特異点である。これは、そのような関数の除去不可能な特異点の中で最も単純なものである（本質的特異点を参照）。技術的には、点 $z$ $0$ $が関数f$ の極であるとは、それが関数 $1/$ $f$ の零点であり、かつ $1/$ $fが$ $z$ $0$ のある近傍において正則（すなわち複素微分可能）であることを意味する。

関数 $fが$ 開集合 $U$ において有理型であるとは、 $U$ のすべての点 $z$ に対して、少なくとも $f$ と $1/$ $f$ $の 1 つが正則となるz$ の近傍が存在する場合をいいます。

$fが$ $U$ において有理型関数である場合、 $f$ の零点は $1/ f$ の極であり、 $fの極は$ $1/ f$ の零点である。これは零点と極の双対性を導き、これは有理型関数の研究において基本的な概念となる。例えば、ある関数が複素平面全体と無限遠点において有理型関数である場合、その極の重複度の総和は零点の重複度の総和に等しい。

定義

複素変数 $z$ の関数が開領域 $U$ において正則であるとは、 $U$ の任意の点において $z$ に関して微分可能であることを意味する。同様に、関数が解析的である場合、つまりそのテイラー級数が $U$ の任意の点で存在し、その点の近傍において関数に収束する場合、関数は正則であることを意味する。関数が $U$ において有理型であるとは、 $U$ の任意の点において、 $f$ と $1/$ $f$ の少なくとも一方が正則となる近傍が存在することを意味する。

有理型関数 $f$ の零点とは、 $f$ $($ $z$ $) = 0$ となる複素数 $z$ のことである。 $f$ の極とは、 $1/$ $f$ の零点のことである。

$fが$ 複素平面上の点の近傍において有理型関数であるとき、整数 $nが$ 存在し、 $z_{0}$

(z-z_{0})^{n}f(z)

は正則かつの近傍において非零である（これは解析的性質の帰結である）。n $> 0$ の場合、は $f$ の $n$ 位（または重複度）の極である。n $<$ $0$ の場合、は $f$ の位の零点である。単純零点と単純極は $、$ 位の零点と極を表す用語である。次数は位数と同義語として使われることもある。 $z_{0}$ $z_{0}$ $z_{0}$ $|n|$ $|n|=1.$

零点と極のこの特徴付けは、零点と極が分離されている、つまり、すべての零点または極には他の零点と極を含まない近傍があることを意味します。

零点と極の位数は非負数 $n$ として定義され、それらの対称性から、位数 $nの極を位数$ $- n$ の零点、位数 $n$ の零点を位数 $- n$ の極とみなすことがしばしば有用である。この場合、極でも零点でもない点は位数 0 の極（または零点）とみなされる。

有理型関数は、無限個の零点と極を持つことがあります。ガンマ関数（情報ボックスの画像を参照）がこれに該当します。ガンマ関数は複素平面全体で有理型であり、すべての非正整数に単極を持ちます。リーマンゼータ関数も複素平面全体で有理型であり、 $z = 1$ に1次の極を持ちます。リーマンゼータ関数の左半平面における零点はすべて負の偶数であり、リーマン予想とは、他のすべての零点が $Re(z) = 1/2$ に沿っているという予想です。

点の近傍において、非零有理型関数 $f$ は、最大でも有限の主部（負の指数値を持つ項）を持つローラン級数の和である。 $z_{0},$

f(z)=\sum _{k\geq -n}a_{k}(z-z_{0})^{k},

ここで、 $n$ は整数で、また、 $n$ $> 0$ (和がで始まり、主項が $n項である) の場合、$ $n$ 次数の極があり、 $n$ $\leq 0$ (和がで始まり、主項がない) の場合、次数の零点があります。 $a_{-n}\neq 0.$ $a_{-|n|}(z-z_{0})^{-|n|}$ $a_{|n|}(z-z_{0})^{|n|}$ $|n|$

無限遠

関数が無限遠有理型であるとは、関数が無限遠のある近傍（つまりある円板の外側）で有理型であり、かつ整数nが存在し $て$ $z\mapsto f(z)$

\lim _{z\to \infty }{\frac {f(z)}{z^{n}}}

存在し、ゼロ以外の複素数です。

この場合、無限遠点は、 $n$ $> 0$ の場合は $n$ 次極となり、 $n$ $< 0$ の場合は次零点となります。 $|n|$

たとえば、 $n$ 次多項式には無限遠に $n$ 次極があります。

無限遠点によって拡張された複素平面はリーマン球面と呼ばれます。

$f が$ リーマン球面全体にわたって有理型関数である場合、その関数には有限個の零点と極があり、その極の位数の合計は零点の位数の合計に等しくなります。

すべての有理関数はリーマン球面全体にわたって有理型であり、この場合、零点または極の次数の合計は分子と分母の次数の最大値になります。

例

9 次多項式には ∞ に 9 次極があり、ここではリーマン球面の領域色分けによってプロットされています。

機能

f(z)={\frac {3}{z}}

はリーマン球面全体にわたって有理型である。無限遠に1次の極、あるいは単純な極を持ち、無限遠に単純な零点を持つ。

z=0,

機能

f(z)={\frac {z+2}{(z-5)^{2}(z+7)^{3}}}

はリーマン球面全体にわたって有理型である。に2次の極を持ち、に3次の極を持つ。に単純零点を持ち、無限遠に四重零点を持つ。

z=5,

z=-7

z=-2,

機能

f(z)={\frac {z-4}{e^{z}-1}}

は複素平面全体では有理型であるが、無限遠では有理型ではない。に1次の極を持つ。これはオイラーの公式から分かる。

z=2\pi ni{\text{ for }}n\in \mathbb {Z}

機能

f(z)=z

無限遠に 1 次極が 1 つあり、原点に 1 つの零点があります。

上記の例のうち3番目を除くすべては有理関数です。このような関数の零点と極に関する一般的な議論については、極零点プロット § 連続時間システムを参照してください。

曲線上の関数

零点と極の概念は、複素曲線、すなわち（複素数上の）1次元の複素解析多様体上の関数に自然に拡張されます。このような曲線の最も単純な例は、複素平面とリーマン面です。この拡張は、解析同型であるチャートを介して構造と特性を変換することによって行われます。

より正確には、複素曲線 $M$ から複素数への関数 $fとする。この関数が$ $M$ の点 $z$ の近傍において正則（または有理型）であるとは、関数がMの近傍において正則（または有理型）であるようなグラフが存在する場合である。そして、 $z$ がn次の極または零点である場合は、同じことが次式となる $。$ $\phi$ $f\circ \phi ^{-1}$ $\phi (z).$ $\phi (z).$