ゼータ関数（演算子）

数学演算子のゼータ関数 は次のように定義される関数である。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

${\displaystyle \zeta _{\mathcal {O}}(s)=\operatorname {tr} \;{\mathcal {O}}^{-s}}$

この式が存在するsの値についてはs の解析接続として、他のsの値についてはこの関数の解析接続として、それぞれ成り立つ。ここで「tr」は関数のトレースを表す。

ゼータ関数は、スペクトルゼータ関数^[1]として、演算子の固有値を 用いて次の ように表すこともできる。${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

${\displaystyle \zeta _{\mathcal {O}}(s)=\sum _{i}\lambda _{i}^{-s}}$ 。

これは、演算子の 機能行列式を厳密に定義する際に使用され、次のように表されます。

${\displaystyle \det {\mathcal {O}}:=e^{-\zeta '_{\mathcal {O}}(0)}\;.}$

ミナクシシュンダラム・プレイジェルのゼータ関数は、演算子がコンパクトリーマン多様体のラプラシアンである場合の例です。

アラケロフ理論の最も重要な動機の一つは、代数幾何学的に一般化された熱核法を用いた演算子のゼータ関数である。^[2]

参照

• キレンメトリック

参考文献

1. ラピダスとヴァン・フランケンハイセン (2006) p.23
2. Soulé, C.; D. Abramovich、J.-F. Burnol、J. Kramerとの共同研究 (1992)、「Lectures on Arakelov geometry」、Cambridge Studies in Advanced Mathematics、第33巻、Cambridge: Cambridge University Press、pp. viii+177、ISBN 0-521-41669-8、MR  1208731

• ラピダス、ミシェル・L.; ファン・フランケンホイセン、マキエル (2006)、「フラクタル幾何学、複素次元、ゼータ関数。フラクタル弦の幾何学とスペクトル」、Springer Monographs in Mathematics、ニューヨーク、NY: Springer-Verlag、ISBN 0-387-33285-5、Zbl  1119.28005
• フルサエフ、ドミトリ; ヴァシレヴィッチ、ドミトリ (2011)、「演算子、幾何学、量子：量子場の理論におけるスペクトル幾何学の方法」、理論数理物理学、シュプリンガー・フェアラーク、p. 98、ISBN 978-94-007-0204-2