ユニタリ演算子

関数解析において、ユニタリ作用素とは、ヒルベルト空間上の内積を保存する射影有界作用素である。自明でない例としては、回転、鏡映、フーリエ作用素などが挙げられる。ユニタリ作用素はユニタリ行列を一般化する。ユニタリ作用素は通常、ヒルベルト空間上で作用素とみなされるが、同じ概念がヒルベルト空間間の同型性の概念を定義する際にも用いられる。

意味

定義 1.ユニタリ演算子は、U * U = UU * = Iを満たすヒルベルト空間H上の有界線型演算子U  : H → Hです。ここで、U *はUの随伴演算子であり、I  : H → Hは恒等演算子です。

より弱い条件U * U = I は等長変換を定義する。もう1つのより弱い条件UU * = Iは余等長変換を定義する。したがって、ユニタリ作用素とは、等長変換と余等長変換の両方である有界線型作用素である^{[ 1 ]} 。あるいは、同値に、射影的等長変換である^{[ 2 ]}。

同等の定義は次のとおりです。

定義2.ユニタリ演算子とは、ヒルベルト空間H上の有界線型演算子U  : H → Hであり、以下が成り立つものである。

• Uは射影的であり、
• U はヒルベルト空間Hの内積を保存します。言い換えれば、Hのすべてのベクトルxとyに対して、次の関係が成り立ちます。

  ${\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle _{H}=\langle x,y\rangle _{H}.}$

この定義において定義域と値域が異なることを許容すれば、ヒルベルト空間の圏における同型性の概念が捉えられる。等長写像はコーシー列を保存するため、ヒルベルト空間の完全性は保存される^{[ 3 ]。}

一見弱いように見える次の定義も同等です。

定義3.ユニタリ演算子とは、ヒルベルト空間H上の有界線型演算子U  : H → Hであり、以下が成り立つものである。

• Uの値域はHに稠密であり、
• U はヒルベルト空間Hの内積を保存します。言い換えれば、Hのすべてのベクトルxとyに対して、次の関係が成り立ちます。

  ${\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle _{H}=\langle x,y\rangle _{H}.}$

定義1と定義3が同値であることを確認するために、U が内積を保存するということは、 Uが等長変換（つまり、有界線型作用素）であることを意味することに留意してください。U が稠密な値域を持つという事実は、Uの有界逆作用素 U −1 が存在することを保証しています^{。U −1} = ^U *であることは明らかです。

したがって、ユニタリ作用素はヒルベルト空間の自己同型に過ぎず、すなわち作用素が作用する空間の構造（ベクトル空間構造、内積、ひいては位相）を保存する。与えられたヒルベルト空間Hからそれ自身へのすべてのユニタリ作用素の成す群は、 Hのヒルベルト群と呼ばれ、Hilb( H )またはU ( H )と表記される。

例

• 恒等関数は明らかにユニタリ演算子です。
• R ²における回転は、ユニタリ演算子の最も単純で非自明な例です。回転はベクトルの長さや2つのベクトル間の角度を変えません。この例はR ³に拡張できます。さらに高次元では、ギブンズ回転に拡張できます。
• ハウスホルダー変換のような反射。
• ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}}$ アダマール行列の倍数です。
• 一般に、ヒルベルト空間において正規直交基底を置換する作用素はユニタリである。有限次元の場合、そのような作用素は置換行列である。
• 複素数のベクトル空間Cにおいて、絶対値1の数、すなわちθ ∈ Rに対してe ^iθの形の数との乗算はユニタリ演算子である。θは位相と呼ばれ、この乗算は位相による乗算と呼ばれる。θのmodulo 2 πの値は乗算の結果に影響を与えないことに注意する。したがって、C上の独立ユニタリ演算子は円によって媒介変数化される。対応する群は集合として円であり、 U(1)と呼ばれる。
• フーリエ演算子はユニタリ演算子、すなわち（適切な正規化を伴った）フーリエ変換を実行する演算子である。これはパーセバルの定理から導かれる。
• 量子論理ゲートはユニタリ演算子です。すべてのゲートがエルミート演算子であるわけではありません。
• より一般的には、ユニタリ行列は有限次元ヒルベルト空間上のユニタリ作用素と全く同じであるため、ユニタリ作用素の概念はユニタリ行列の概念の一般化である。 直交行列は、すべての要素が実数であるユニタリ行列の特殊なケースである。^{[ 4 ]}これらはR ⁿ上のユニタリ作用素である。
• 整数でインデックスされたシーケンス空間ℓ ²上の左右シフトはユニタリです。
• 一方向シフト(右シフト) は等長変換であり、共役シフト (左シフト) は共等長変換です。
• ユニタリ演算子はユニタリ表現で使用されます。
• ユニタリ元はユニタリ作用素の一般化である。ユニタリ代数において、代数の元Uは、 U * U = UU * = I （ Iは乗法単位元）のとき、ユニタリ元と呼ばれる。^{[ 5 ]}
• 上記のいずれかの構成。

直線性

ユニタリ演算子の定義における線形性の要件は、スカラー積の線形性と正定値性から導き出されるため、意味を変えることなく削除できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\|\lambda U(x)-U(\lambda x)\|^{2}&=\langle \lambda U(x)-U(\lambda x),\lambda U(x)-U(\lambda x)\rangle \\[5pt]&=\|\lambda U(x)\|^{2}+\|U(\lambda x)\|^{2}-\langle U(\lambda x),\lambda U(x)\rangle -\langle \lambda U(x),U(\lambda x)\rangle \\[5pt]&=|\lambda |^{2}\|U(x)\|^{2}+\|U(\lambda x)\|^{2}-{\overline {\lambda }}\langle U(\lambda x),U(x)\rangle -\lambda \langle U(x),U(\lambda x)\rangle \\[5pt]&=|\lambda |^{2}\|x\|^{2}+\|\lambda x\|^{2}-{\overline {\lambda }}\langle \lambda x,x\rangle -\lambda \langle x,\lambda x\rangle \\[5pt]&=0\end{aligned}}}$

同様にして、

${\displaystyle \|U(x+y)-(Ux+Uy)\|=0.}$

プロパティ

• ユニタリ演算子Uのスペクトルは単位円上にあります。つまり、スペクトル内の任意の複素数λに対して、 | λ | = 1が成り立ちます。これは、正規演算子のスペクトル定理の結果として見ることができます。定理によれば、U は、ある有限の測度空間( X、μ )に対して、 L ² ( μ )上のボレル測定可能なfによる乗算とユニタリに等価です。ここで、UU * = Iであるので、 | f ( x )| ² = 1、μ -ae が成り立ちます。これは、 fの本質的な範囲、つまりUのスペクトルが単位円上に存在することを示しています。
• 線型写像は、射影的かつ等長的である場合にユニタリ写像となります。（「only if」の部分を示すには、分極恒等式を使用してください。）

参照

• 反ユニタリー – 2つの複素ヒルベルト空間間の全単射反線型写像Pages displaying short descriptions of redirect targets
• しわのある弧
• 量子論理ゲート – 量子コンピューティングの基本回路
• ユニタリ行列 – 共役転置がその逆行列に等しい複素行列
• ユニタリ変換 – 内積を保存する準同型

脚注

1. ハルモス 1982、セクション。 127、69ページ
2. コンウェイ 1990、命題 I.5.2
3. コンウェイ 1990、定義 I.5.1
4. ローマン 2008、p. 238 §10
5. ドラン＆ベルフィ 1986、55ページ

参考文献

• コンウェイ, JB (1990).関数解析コース. 大学院数学テキスト. 第96巻.シュプリンガー出版. ISBN 0-387-97245-5。

• ロバート・S・ドーラン;ベルフィ、ビクター A. (1986)。C*-代数の特徴付け: ゲルファント・ナイマルクの定理。ニューヨーク：マーセル・デッカー。ISBN 0-8247-7569-4。

• ハルモス、ポール(1982).ヒルベルト空間問題集. 大学院数学テキスト. 第19巻 (第2版). シュプリンガー出版. ISBN 978-0387906850。

• ラング、セルジュ(1972).微分多様体. マサチューセッツ州レディング–ロンドン–オンタリオ州ドン・ミルズ: アディソン・ウェスリー出版. ISBN 978-0387961132。

• ローマン、スティーブン（2008年）、上級線形代数、数学大学院テキスト（第3版）、シュプリンガー、ISBN 978-0-387-72828-5