フーリエ演算子
実部（コサイン）
虚数部（正弦）
フーリエ演算子のプロット

フーリエ作用素は、連続フーリエ変換を定義する第一種フレドホルム積分の核であり、1次元関数のフーリエ変換に対応する場合は2次元関数である。複素数値であり、大きさはどこでも一定（典型的には1）である。例えば教育目的などで描画する場合は、実部と虚部を別々に表現したり、位相を表すカラーホイールを用いたカラー画像として表現したりすることができる。[ 1 ] [ 2 ]

これは通常、スクリプトフォントの大文字の「F」（）で表されます。たとえば、関数のフーリエ変換は演算子を使用して と書きます。[ 3 ]F{\displaystyle {\mathcal {F}}}グラム（t）{\displaystyle g(t)}Fグラム（t）{\displaystyle {\mathcal {F}}g(t)}

これは、離散フーリエ変換のサイズが無制限に増加し、その空間解像度も無制限に増加して、連続的かつ必ずしも周期的ではなくなる 場合の限界ケースと考えることができます。

視覚化

フーリエ演算子は、時間と周波数軸に沿って4方向すべてにおいて無限に広がる連続的な2次元関数を定義します。これはDFT行列に類似していますが、この場合、連続的で範囲が無限です。関数の任意の点における値は、どこでも同じ大きさを持ちます。時間の任意の固定値に沿って、関数の値は周波数の複素指数として変化します。同様に、周波数の任意の固定値に沿って、関数の値は時間の複素指数として変化します。無限フーリエ演算子の一部を下の図に示します。

フーリエ演算子が入力矩形パルス (右端) に作用して、そのフーリエ変換 (左側) であるsinc関数を生成する様子を示しています。

フーリエ演算子を介していずれかの軸に平行なスライスは複素指数関数です。つまり、実部は余弦波で、虚部は実部と同じ周波数の正弦波です。

フーリエ演算子を対角線方向にスライスするとチャープが生じる。したがって、フーリエ演算子を回転すると分数フーリエ変換が生じ、これはチャープレット変換と関連している。[ 4 ] [ 5 ]

参照

参考文献

  1. ^マシンビジョンの進歩：戦略とアプリケーション、コリン・アーチボルドとエミル・ペトリウ編、第32巻、ワールドサイエンティフィック。（本の表紙と99～128ページ、および序文vページを参照。）
  2. ^ Mann, S. (2018年8月). シーケンシャルウェーブインプリンティングマシンによる現象学的拡張現実 (swim). 2018 IEEE Games, Entertainment, Media Conference (GEM) (pp. 1-9). IEEE.
  3. ^ Coëtmellec, S., Verrier, N., Brunel, M., & Lebrun, D. (2010). チャープレット関数との相関によるデジタルインラインホログラフィーの一般的な定式化. 欧州光学会誌：Rapid publications, 5, 10027.
  4. ^ Millioz, F., & Davies, M. (2012). チャープレット変換におけるスパース検出：FMCWレーダー信号への応用. IEEE Transactions on Signal Processing, 60(6), 2800-2813.
  5. ^ Shi, J., Zheng, J., Liu, X., Xiang, W., & Zhang, Q. (2020). 新しい短時間分数フーリエ変換：理論、実装、および応用. IEEE Transactions on Signal Processing, 68, 3280-3295.
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