常微分方程式の数値解析法

微分方程式の数値積分の図解${\displaystyle y'=y,y(0)=1.}$

  青：オイラー法

  緑：中点法

  赤: 正確な解: 。${\textstyle y=e^{t}}$

ステップサイズは です。${\displaystyle h=1.0}$

同じ図では、中点法はオイラー法よりも速く収束します。${\displaystyle h=0.25.}$ ${\displaystyle h\to 0}$

常微分方程式の数値解法は、常微分方程式（ODE）の解の数値近似を求めるために用いられる手法です。数値積分法は「数値積分」とも呼ばれますが、この用語は積分の計算を指す場合もあります。

多くの微分方程式は正確に解くことができません。しかし、工学などの実用分野では、解の数値近似値で十分な場合が多くあります。ここで紹介するアルゴリズムは、そのような近似値を計算するのに使用できます。別の方法としては、微積分の手法を用いて解の 級数展開を求める方法があります。

常微分方程式は物理学、化学、生物学、経済学など多くの科学分野で登場します。^{[ 1 ]}さらに、数値偏微分方程式のいくつかの手法では、偏微分方程式を常微分方程式に変換し、それを解く必要があります。

問題

一次微分方程式は、初期値問題（IVP）であり、^{[ 2 ]}

$${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t)),\qquad y(t_{0})=y_{0},}$$

1

ここでは関数 であり、初期条件は与えられたベクトルです。1 次とは、方程式に yの1次導関数のみが現れ、それ以上の高次の導関数は現れないことを意味します。${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:[t_{0},\infty )\times \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle y_{0}\in \mathbb {R} ^{d}}$

高階微分方程式系への一般性を失うことなく、ここでは1階微分方程式に限定します。これは、高階常微分方程式は追加の変数を導入することで、より大きな1階方程式系に変換できるためです。例えば、2階方程式y " = − yは、 y ′ = zとz ′ = − yという2つの1階方程式に書き直すことができます。

この節では、境界値問題（IVP）の数値解析手法について説明し、境界値問題（BVP）では異なるツールセットが必要であることを指摘します。BVPでは、解yの成分、つまり値（複数の点）を定義します。そのため、BVPを解くには異なる手法を用いる必要があります。例えば、シューティング法（およびその派生法）や、有限差分法^{[ 3 ]} 、ガラーキン法^{[ 4 ]}、コロケーション法などの大域的手法は、この種の問題に適しています。

ピカール・リンデレフの定理は、fがリプシッツ連続である場合、唯一の解が存在することを述べています。

方法

1 階初期値問題 (IVP) を解く数値法は、多くの場合、^{[ 5 ]}線型多段階法、またはルンゲ・クッタ法という 2 つの大きなカテゴリのいずれかに分類されます。さらに、陽的手法と陰的手法に分けることができます。たとえば、陰的線型多段階法には、アダムス・モールトン法、後方微分法(BDF)が含まれ、陰的ルンゲ・クッタ法^{[ 6 ]}には、対角陰的ルンゲ・クッタ法 (DIRK)、^{[ 7 ] [ 8 ]}単対角陰的ルンゲ・クッタ法 (SDIRK)、^{[ 9 ]}およびガウス・ラダウ法^{[ 10 ]} (ガウス求積法^{[ 11 ]}に基づく) 数値法が含まれます。線型多段階法ファミリーの明示的な例としては、アダムス・バッシュフォース法があり、下対角のブッチャー テーブルを持つルンゲ・クッタ法はすべて陽的です。大まかな経験則では、硬い微分方程式には暗黙的なスキームの使用が必要ですが、硬くない問題は明示的なスキームを使用してより効率的に解決できます。

いわゆる一般線形法（GLM）は、上記の2つの大きなクラスの手法を一般化したものである。^{[ 12 ]}

オイラー法

曲線上の任意の点から、曲線の接線に沿って短い距離を移動することで、曲線上の近くの点の近似値を見つけることができます。

微分方程式（1 ）から始めて、導関数y ′を有限差分近似 で置き換える。

$${\displaystyle y'(t)\approx {\frac {y(t+h)-y(t)}{h}},}$$

2

これを整理すると次の式が得られ 、（１）を用いると次のようになる。 $${\displaystyle y(t+h)\approx y(t)+hy'(t)}$$

$${\displaystyle y(t+h)\approx y(t)+hf(t,y(t)).}$$

3

この式は通常、次のように適用される。ステップサイズhを選択し、数列 を構築する。を厳密解の数値推定値 とする。( 3 ) に基づき、これらの推定値を以下の再帰的手法 で計算する。${\displaystyle t_{0},t_{1}=t_{0}+h,t_{2}=t_{0}+2h,\dots }$ ${\displaystyle y_{n}}$ ${\displaystyle y(t_{n})}$

$${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n}).}$$

4

これはオイラー法（または後述の後退オイラー法とは対照的に前進オイラー法）です。この法は、1768年にこの法を考案したレオンハルト・オイラーにちなんで名付けられました。

オイラー法は明示的手法の一例です。これは、新しい値y _{n +1が、} y _nのような既知の値に基づいて定義されることを意味します。

後退オイラー法

（ ２ ）の代わりに近似値を用いると、

$${\displaystyle y'(t)\approx {\frac {y(t)-y(th)}{h}},}$$

5

後退オイラー法は次のようになります。

$${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n+1},y_{n+1}).}$$

6

後退オイラー法は暗黙的な解法であり、 y _{n +1}を求めるには方程式を解く必要があります。この解を求めるには、固定小数点反復法やニュートン・ラプソン法（の修正版）がよく用いられます。

この方程式を解くには、陽解法よりも時間がかかります。使用する手法を選択する際には、このコストを考慮する必要があります。( 6 )のような陰解法の利点は、通常、硬い方程式を解く際により安定しており、より大きなステップサイズhを使用できることです。

一次指数積分法

指数積分器は、近年大きく発展した積分器の大きなクラスを表します。^{[ 13 ]} その起源は少なくとも1960年代に遡ります。

（ １ ）の代わりに、微分方程式が以下のいずれかの形式であると仮定する。

$${\displaystyle y'(t)=-A\,y+{\mathcal {N}}(y),}$$

7

あるいは、背景状態について局所的に線形化されて、線形項と非線形項が生成されます。 ${\displaystyle -Ay}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(y)}$

指数積分器は、( 7 )を で乗じて、その結果を時間間隔にわたって正確に積分することによって構築されます。ここで、 この積分方程式は正確ですが、積分を定義しません。 ${\textstyle e^{At}}$ ${\displaystyle [t_{n},t_{n+1}]}$ ${\displaystyle t_{n+1}=t_{n}{+}h}$ $${\displaystyle y_{n+1}=e^{-Ah}y_{n}+\int _{0}^{h}e^{-(h-\tau )A}{\mathcal {N}}{\left(y\left(t_{n}+\tau \right)\right)}\,d\tau .}$$

1次指数積分器は、全区間にわたって一定に保つことで実現できます。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}(y(t_{n}+\tau ))}$

$${\displaystyle y_{n+1}=e^{-Ah}y_{n}+A^{-1}\left(1-e^{-Ah}\right){\mathcal {N}}{\left(y(t_{n})\right)}\ .}$$

8

一般化

オイラー法はしばしば十分な精度を示さない。より正確に言えば、オイラー法は1階しか持たない（階数の概念については後述）。そのため、数学者たちはより高階な解法を模索するようになった。

一つの可能​​性は、 y _{n +1}を決定する際に、以前に計算された値y _nだけでなく、より多くの過去の値にも依存するようにすることです。これはいわゆるマルチステップ法となります。おそらく最も単純なのは、 2次のリープフロッグ法で、（大まかに言えば）2つの時間値に依存します。

ほとんどすべての実用的な多段階法は線形多段階法のファミリーに属し、その形式は次の通りである。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\alpha _{k}y_{n+k}+\alpha _{k-1}y_{n+k-1}+\cdots +\alpha _{0}y_{n}\\&{}\quad =h\left[\beta _{k}f(t_{n+k},y_{n+k})+\beta _{k-1}f(t_{n+k-1},y_{n+k-1})+\cdots +\beta _{0}f(t_{n},y_{n})\right].\end{aligned}}}$$

もう一つの可能​​性は、区間 内の点をより多く用いることです。これは、カール・ルンゲとマルティン・クッタにちなんで名付けられたルンゲ・クッタ法のファミリーにつながります。彼らの四次法の一つは特に人気があります。 ${\displaystyle [t_{n},t_{n+1}]}$

高度な機能

ODE を解くためのこれらの方法の 1 つを適切に実装するには、時間ステップの式以上のものが必要になります。

常に同じステップサイズを用いるのは非効率な場合が多いため、可変ステップサイズ法が開発されています。通常、ステップサイズは、ステップあたりの（局所的な）誤差が許容レベルを下回るように選択されます。つまり、これらの手法では、局所的な誤差の推定値 である誤差指標も計算する必要があります。

この考え方の拡張として、異なる順序の異なる手法を動的に選択する方法があります（これは可変順序法と呼ばれます）。リチャードソン外挿法^{[ 14 ]}に基づく手法、例えばブリルシュ・ストアーアルゴリズム^{[ 15 ] [ 16 ]}は、異なる順序の様々な手法を構築するためによく用いられます。

その他の望ましい機能は次のとおりです。

• 稠密な出力: t ₀、t ₁、t ₂、 ...の点だけでなく、積分区間全体に対する簡便な数値近似値。
• イベントの位置：例えば、特定の関数が消滅する時刻を見つけること。これには通常、根を求めるアルゴリズムの使用が必要となる。
• 並列コンピューティングのサポート。
• 時間に関して積分する場合、時間可逆性

代替方法

ここで議論されている枠組みに当てはまらない方法も数多くあります。代替方法には以下のようなものがあります。

• 多重微分法は、関数fだけでなくその導関数も用いる。このクラスには、エルミート・オブレシュコフ法やフェルバーグ法のほか、パーカー・ソチャッキ法^{[ 17 ]}やビシュコフ・シェルバコフ法といった、解yのテイラー級数の係数を再帰的に計算する手法が含まれる。
• 二階常微分方程式に対するニストローム法。すべての高階常微分方程式は(1)の形の一階常微分方程式に変換できると述べました。これは確かに正しいのですが、必ずしも最善の方法とは限りません。特に、ニストローム法は二階方程式に直接適用できます。
• 幾何学的積分法^{[ 18 ] [ 19 ]}は、特別なクラスの常微分方程式（例えば、ハミルトン方程式の解を求めるシンプレクティック積分法）のために特別に設計されている。これらの積分法は、数値解がこれらのクラスの基礎となる構造や幾何学を尊重するように配慮している。
• 量子化状態システム法は、状態量子化の考え方に基づく常微分方程式の積分法の一種です。頻繁に不連続点を持つ疎なシステムをシミュレーションする際に効果的です。

時間並列法

一部のIVPでは、非常に高い時間分解能や非常に長い時間間隔での積分が必要となるため、従来のシリアルタイムステップ法ではリアルタイム実行が計算上不可能となります（数値気象予報、プラズマモデリング、分子動力学におけるIVPの例）。これらの問題に対処するため、並列計算を用いてシミュレーション実行時間を短縮するParallel-in-Time（PinT）法が開発されました。

初期のPinT法（最も古いものは1960年代に提案された）^{[ 20 ]}は、必要とする並列コンピューティングアーキテクチャがまだ広く利用できていなかったため、研究者に当初は見過ごされていました。利用可能なコンピューティングパワーが増えるにつれて、2000年代初頭にPararealが開発されたことで関心が再燃しました。PinTアルゴリズムは、さまざまなIVPを解くのに適しています。エクサスケールコンピューティングの出現により、PinTアルゴリズムはますます研究の注目を集めており、世界で最も強力なスーパーコンピュータを利用できるように開発されています。2023年現在で最も人気のある方法には、Parareal、PFASST、ParaDiag、MGRITなどがあります。^{[ 21 ]}

分析

数値解析とは、数値手法の設計だけでなく、その解析も意味します。この解析における中心となる概念は以下の3つです。

• 収束性：方法が解を近似するかどうか
• 次数：解をどれだけ正確に近似しているか、そして
• 安定性：誤差が抑制されるかどうか。 ^{[ 22 ]}

収束

数値解がステップサイズhが0に近づくにつれて正確な解に近づくとき、数値法は収束すると言われる。より正確には、リプシッツ関数fとt ^* > 0を持つすべての常微分方程式(1)に対して 、

$${\displaystyle \lim _{h\to 0^{+}}\max _{n=0,1,\dots ,\lfloor t^{*}/h\rfloor }\left\|y_{n,h}-y(t_{n})\right\|=0.}$$

上記の方法はすべて収束的です。

一貫性と秩序

数値計算法が

$${\displaystyle y_{n+k}=\Psi (t_{n+k};y_{n},y_{n+1},\dots ,y_{n+k-1};h).\,}$$

手法の局所的（打ち切り）誤差とは、手法の1つのステップで発生する誤差のことです。つまり、それ以前のステップで誤差が発生しなかったと仮定した場合の手法によって得られる結果と、正確な解との差です。

$${\displaystyle \delta _{n+k}^{h}=\Psi {\left(t_{n+k};y(t_{n}),y(t_{n+1}),\dots ,y(t_{n+k-1});h\right)}-y(t_{n+k}).}$$

この方法は、次の 場合、 無矛盾であると言える。 この方法は、次の場合、次数 を持つ。したがって、次数が0より大きい場合、その方法は無矛盾である。上で紹介した（前進）オイラー法（4）と後退オイラー法（6）はどちらも次数が1であるため、無矛盾である。実際に使用されているほとんどの方法は、より高い次数を達成している。無矛盾は収束の必要条件だが、十分条件ではない。方法が収束するためには、無矛盾かつ零点安定性の両方を満たしていなければならない。 $${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\delta _{n+k}^{h}}{h}}=0.}$$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle \delta _{n+k}^{h}=O(h^{p+1})\quad {\text{as }}h\to 0.}$$

関連する概念として、大域誤差（打ち切り誤差）があります。これは、固定された時刻 に到達するために必要なすべてのステップで発生する誤差です。明示的には、時刻 における大域誤差は となります。階のワンステップ法の大域誤差は です。特に、このような方法は収束します。ただし、この記述はマルチステップ法では必ずしも当てはまりません。 ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle y_{N}-y(t)}$ ${\displaystyle N=(t-t_{0})/h}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle O(h^{p})}$

安定性と剛性

一部の微分方程式では、オイラー法、陽的ルンゲ・クッタ法、多段階法（例えばアダムス・バッシュフォース法）などの標準的な手法を適用すると、解が不安定になるが、他の手法では安定した解が得られる場合がある。方程式におけるこの「困難な挙動」（それ自体は必ずしも複雑ではない）は剛性として記述され、多くの場合、基礎にある問題に異なる時間スケールが存在することによって引き起こされる。^{[ 23 ]}例えば、衝突振動子のような機械システムにおける衝突は、通常、物体の運動の時間よりもはるかに短い時間スケールで発生する。この不一致により、状態パラメータの曲線に非常に「急激な変化」が生じる。

硬い問題は、化学反応速度論、制御理論、固体力学、気象予報、生物学、プラズマ物理学、電子工学など、あらゆる分野で広く見られる。この硬直性を克服する一つの方法は、微分方程式の概念を微分包含の概念に拡張することである。これは、非滑らかさを許容し、モデル化する。^{[ 24 ] [ 25 ]}

歴史

以下はこの分野におけるいくつかの重要な進展のタイムラインです。 ^{[ 26 ] [ 27 ]}

• 1768年 -レオンハルト・オイラーが自身の方法を発表。
• 1824年 -オーギュスタン＝ルイ・コーシーがオイラー法の収束を証明した。この証明において、コーシーは暗黙的オイラー法を用いた。
• 1855年 -フランシス・バッシュフォースが書いた手紙の中で、ジョン・カウチ・アダムスの多段階法が初めて言及された。
• 1895年 -カール・ルンゲが最初のルンゲ・クッタ法を発表。
• 1901年 -マルティン・クッタが人気の4次ルンゲ・クッタ法を説明。
• 1910年 -ルイス・フライ・リチャードソンが外挿法「リチャードソン外挿法」を発表。
• 1952年 -チャールズ・F・カーティスとジョセフ・オークランド・ヒルシュフェルダーが「スティッフ方程式」という用語を作り出した。
• 1963年 -ゲルムンド・ダールキストが積分法のA安定性を導入。

2次1次元境界値問題の数値解

境界値問題（BVP）は通常、元のBVPを離散化することで得られる近似的に等価な行列問題を解くことで数値的に解かれる。^{[ 28 ]} 1次元のBVPを数値的に解くために最も一般的に用いられる方法は、有限差分法と呼ばれる。^{[ 3 ]} この方法は、点の値の線形結合を利用して、関数の導関数を記述する有限差分係数を構築する。例えば、1次導関数の2次中心差分近似は次のように表される。

$${\displaystyle u'(x_{i})={\frac {u_{i+1}-u_{i-1}}{2h}}+{\mathcal {O}}(h^{2}),}$$

そして2次導関数の2次中心差分は次のように与えられる。

$${\displaystyle u''(x_{i})={\frac {u_{i+1}-2u_{i}+u_{i-1}}{h^{2}}}+{\mathcal {O}}(h^{2}).}$$

これらの式の両方において、は離散化領域上の隣接するx値間の距離です。次に、標準的な行列法で解ける線形連立方程式を構築します。例えば、解くべき方程式が次の式であるとします。 ${\displaystyle h=x_{i}-x_{i-1}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}=u,\\[1ex]&u(0)=0,\\&u(1)=1.\end{aligned}}}$$

次のステップは、問題を離散化し、次のような線形微分近似を使用することです。

$${\displaystyle u''_{i}={\frac {u_{i+1}-2u_{i}+u_{i-1}}{h^{2}}}}$$

得られた連立一次方程式を解きます。すると、次のような方程式が得られます。

$${\displaystyle {\frac {u_{i+1}-2u_{i}+u_{i-1}}{h^{2}}}-u_{i}=0,\quad \forall i={1,2,3,\dots ,n-1}.}$$

一見すると、この連立方程式は、変数が乗じられていない項を含まないという事実に関連する難しさがあるように見えますが、実際にはそうではありません。i = 1 およびn − 1 には境界値とを含む項があり、これら2つの値は既知であるため、この方程式に代入するだけで、結果として非自明な解を持つ非同次線形連立方程式が得られます。 ${\displaystyle u(0)=u_{0}}$ ${\displaystyle u(1)=u_{n}}$

参照

• クーラント・フリードリヒス・レヴィ条件
• エネルギードリフト
• 一般線形法
• 数値解析トピック一覧#常微分方程式の数値解析法
• 可逆参照システム伝播アルゴリズム
• Modelica言語とOpenModelicaソフトウェア

注記

1. Chicone, C. (2006). 常微分方程式とその応用 (第34巻). Springer Science & Business Media.
2. ブレイディ（2006年、533～655ページ）
3. LeVeque, RJ (2007). 常微分方程式と偏微分方程式の有限差分法：定常問題と時間依存問題（第98巻）. SIAM.
4. Slimane AdjeridとMahboub Baccouch（2010）「ガラーキン法」Scholarpedia、5（10）：10056。
5. Griffiths, DF, & Higham, DJ (2010). 常微分方程式の数値解析：初期値問題. Springer Science & Business Media.
6. ハイラー、ノーセット、ワナー (1993、pp. 204–215)
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9. Ferracina, L., & Spijker, MN (2008). 単対角陰的ルンゲ・クッタ法の強安定性. 応用数値数学, 58(11), 1675-1686.
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16. Kirpekar, S. (2003). Bulirsch Stoer外挿法の実装. カリフォルニア大学バークレー校/カリフォルニア大学機械工学部.
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26. Brezinski, C., Wuytack, L. (2012). 数値解析：20世紀における歴史的発展. エルゼビア.
27. Butcher, JC (1996). ルンゲ・クッタ法の歴史. 応用数値数学, 20(3), 247-260.
28. Ascher, UM, Mattheij, RM, & Russell, RD (1995). 常微分方程式の境界値問題の数値解法. Society for Industrial and Applied Mathematics.

参考文献

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• JC Butcher著『常微分方程式の数値解析』ISBN 0-471-96758-0
• Hairer, E.; Nørsett, SP; Wanner, G. (1993).常微分方程式の解法 I. 非剛性問題. Springer Series in Computational Mathematics. 第8巻（第2版）. Springer-Verlag, Berlin. ISBN 3-540-56670-8. MR  1227985 .
• エルンスト・ヘアラー、ゲルハルト・ワナー共著『常微分方程式の解法 II：スティフ問題と微分代数問題』第2版、シュプリンガー・フェアラーク、ベルリン、1996年。ISBN 3-540-60452-9（この 2 巻のモノグラフでは、この分野のあらゆる側面が体系的に取り上げられています。）
• Hochbruck, Marlis ; Ostermann, Alexander (2010年5月). 「指数積分器」. Acta Numerica . 19 : 209– 286. Bibcode : 2010AcNum..19..209H . CiteSeerX  10.1.1.187.6794 . doi : 10.1017/S0962492910000048 . S2CID  4841957 .
• アリエ・イザーレス著『微分方程式の数値解析入門』ケンブリッジ大学出版局、1996年。ISBN 0-521-55376-8（ハードカバー）、ISBN 0-521-55655-4（ペーパーバック）。 （数学の上級学部生および大学院生を対象とした教科書で、数値偏微分方程式についても解説しています。）
• ジョン・デンホルム・ランバート著『常微分システムの数値解析法』 John Wiley & Sons, Chichester, 1991年。ISBN 0-471-92990-5（教科書。Iserles の本よりも少し難易度が高い。）

外部リンク

• Joseph W. Rudmin、「パーカー・ソチャッキ法の天体力学への応用」、 1998年、ポルトガルウェブアーカイブに2016年5月16日にアーカイブ。
• Dominique Tournès、L'intégration approchée des équations différentielles ordinaires (1671–1914)、パリ大学博士課程 7 - Denis Diderot、1996 年。ヴィルヌーヴ・ダスク : Presses universitaires du Septentrion、1997 年、468 ページ。 (ODE 数値解析の歴史に関する広範なオンライン資料。ODE 数値解析の歴史に関する英語資料については、たとえば、彼が引用した Chabert と Goldstine による紙の本を参照してください。)
• Pchelintsev, AN (2020). 「カオス系の解を構築するための正確な数値解析法とアルゴリズム」. Journal of Applied Nonlinear Dynamics . 9 (2): 207– 221. arXiv : 2011.10664 . doi : 10.5890/JAND.2020.06.004 . S2CID  225853788 .
• GitHubのkv (厳密な ODE ソルバーを備えたC++ライブラリ)
• INTLAB （ MATLAB / GNU Octaveで作成された厳密なODEソルバーを含むライブラリ）