パラリアル

Pararealは数値解析における並列アルゴリズムであり、初期値問題の解法として用いられる。[ 1 ] 2001年にLions 、Maday、Turinici によって導入された。それ以来、最も広く研究されている並列時間積分法の一つとなっている。

Pararealの最初の反復の図解（オリジナル版[ 2 ]から改変）。

時間並列積分法

例えばルンゲ・クッタ法やマルチステップ法とは異なり、Parareal での計算の一部は並列​​に実行できるため、Parareal は時間並列積分法の一例です 。歴史的には、偏微分方程式の数値解を並列化する取り組みのほとんどは空間離散化に重点を置いていましたが、エクサスケールコンピューティングの課題を考慮すると、時間離散化の並列手法が数値ソフトウェアの同時実行性を向上させる可能性のある方法として認識されています。[ 3 ] Parareal は複数の時間ステップの数値解を並列に計算するため、ステップ間並列法 に分類されます。[ 4 ]これは、独立したステージを並列に計算したり、波形緩和法などのシステム間並列法を実行したりできる並列ルンゲ・クッタ法や外挿法などの手法全体での並列性 を使用するアプローチとは対照的です。[ 5 ] [ 6 ]

歴史

パラリアルは、時間軸に沿った多重グリッド法、または多重射撃法として導出することができる。 [ 7 ] 時間軸における多重グリッド法と時間積分における多重射撃法の採用というアイデアは、どちらも1980年代と1990年代に遡る。[ 8 ] [ 9 ] パラリアルは広く研究されている手法であり、様々な用途に使用および修正されてきた。[ 10 ] 初期値問題の解を並列化するアイデアはさらに遡り、時間軸における並列積分法を提案した最初の論文は1964年に発表された。[ 11 ]

アルゴリズム

問題

目標は、次のような初期値問題を解くことです。

dあなたdt＝f（t、あなた）以上t∈[t0、T]とあなた（t0）＝あなた0。{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=f(t,u)\quad {\text{over}}\quad t\in [t_{0},T]\quad {\text{with}}\quad u(t_{0})=u^{0}.}

右辺は滑らかな（非線形の場合もある）関数であると仮定されます。これは、直線法による偏微分方程式の空間離散化にも相当します。この問題を、等間隔の点（ および）からなる時間メッシュ上で解きます。この離散化を実行すると、の時間スライスからなる分割された時間間隔が得られます。 f{\displaystyle f}北+1{\displaystyle N+1}（t0、t1、…、t北）{\displaystyle (t_{0},t_{1},\ldots,t_{N})}tj+1＝tj+ΔT{\displaystyle t_{j+1}=t_{j}+\Delta T}ΔT＝（T−t0）/北{\displaystyle \Delta T=(T-t_{0})/N}[tj、tj+1]{\displaystyle [t_{j},t_{j+1}]}j＝0、…、北−1{\displaystyle j=0,\ldots,N-1}

目的は、高い数値精度（したがって計算コストも高い）を有する逐次時間ステップ法（例えばルンゲ・クッタ法）を用いて、厳密解の数値近似値を計算することである。この手法をファインソルバーと呼ぶ。これは、時刻 における初期値を時刻における終端値へと伝播させる。目標は、次式を得るための 解を（高い数値精度で）計算することである。あなたj{\displaystyle U_{j}}あなた（tj）{\displaystyle u(t_{j})}F{\displaystyle {\mathcal {F}}}あなたj{\displaystyle U_{j}}tj{\displaystyle t_{j}}あなたj+1{\displaystyle U_{j+1}}tj+1{\displaystyle t_{j+1}}F{\displaystyle {\mathcal {F}}}

あなたj+1＝F（tj、tj+1、あなたj）、どこあなた0＝あなた0。{\displaystyle U_{j+1}={\mathcal {F}}(t_{j},t_{j+1},U_{j}),\quad {\text{where}}\quad U_{0}=u^{0}.}

このソリューションの問題 (そしてそもそも並列で解決しようとした理由) は、リアルタイムで計算することが計算上不可能なことです。

仕組み

初期値問題を解くために単一のプロセッサを使用する（従来のタイムステップ法のように）のではなく、Pararealは複数のプロセッサを活用します。Pararealの目的は、プロセッサを用いて、より小さな初期値問題（各タイムスライスに1つずつ）を並列に解くことです。例えば、MPIベースのコードではプロセス数が になりますが、OpenMPベースのコードではスレッド数が になります。 北{\displaystyle N}北{\displaystyle N}北{\displaystyle N}北{\displaystyle N}北{\displaystyle N}

Pararealは、この初期値問題を並列に解くために、粗ソルバと呼ばれる2つ目の時間ステップ法を使用します。粗ソルバは、細ソルバと同様に動作し、長さ の時間間隔にわたって初期値を伝播させますが、数値精度は細ソルバよりもはるかに低くなります（したがって、計算コストもはるかに低くなります）。細ソルバよりもはるかに計算コストの低い粗ソルバを使用することが、Pararealで並列処理の高速化を実現する鍵となります。 G{\displaystyle {\mathcal {G}}}ΔT{\displaystyle \Delta T}F{\displaystyle {\mathcal {F}}}

今後は、時刻と反復におけるパラリアル解を で表します。 tj{\displaystyle t_{j}}け{\displaystyle k}あなたjけ{\displaystyle U_{j}^{k}}

ゼロ回目の反復

まず、粗いソルバーを時間間隔全体にわたって連続的に実行し、解のおおよその初期推定値を計算します。 [t0、T]{\displaystyle [t_{0},T]}

あなたj+10＝G（tj、tj+1、あなたj0）、j＝0、…、北−1.{\displaystyle U_{j+1}^{0}={\mathcal {G}}(t_{j},t_{j+1},U_{j}^{0}),\quad j=0,\ldots ,N-1.}

後続の反復

次に、最新のソリューション値から、各タイムスライスに対して並行して細かいソルバーを実行します。

あなたj+11＝F（tj、tj+1、あなたj0）、j＝0、…、北−1.{\displaystyle U_{j+1}^{1}={\mathcal {F}}(t_{j},t_{j+1},U_{j}^{0}),\quad j=0,\ldots ,N-1.}

次に、予測子修正子を使用して、準実数解の値を順番に更新します。

あなたj+1け＝G（tj、tj+1、あなたjけ）+F（tj、tj+1、あなたjけ−1）−G（tj、tj+1、あなたjけ−1）、j＝0、…、北−1、け＝2、3、…{\displaystyle U_{j+1}^{k}={\mathcal {G}}(t_{j},t_{j+1},U_{j}^{k})+{\mathcal {F}}(t_{j},t_{j+1},U_{j}^{k-1})-{\mathcal {G}}(t_{j},t_{j+1},U_{j}^{k-1}),\quad j=0,\ldots ,N-1,k=2,3,\ldots }

この段階では、解の値が反復ごとに変化しなくなったかどうかを判断するための停止基準を用いることができる。例えば、以下の式でこれを検証することができる。

|Ujk−Ujk−1|<ε∀ j≤N,{\displaystyle |U_{j}^{k}-U_{j}^{k-1}|<\varepsilon \quad \forall \ j\leq N,}

そして、ある程度の許容範囲があります。この基準が満たされない場合、後続の反復計算は、まずファインソルバーを並列に適用し、次に予測修正器を適用することで実行できます。しかし、この基準が満たされると、アルゴリズムは反復計算で収束したとみなされます。なお、他の停止基準も存在し、Pararealでテスト済みです。 ε>0{\displaystyle \varepsilon >0}k≤N{\displaystyle k\leq N}

備考

Pararealは、ファインソルバーを連続的に適用することで得られる解を再現し、最大反復回数で収束するはずです。[ 7 ] しかし、Pararealで高速化を実現するには、タイムスライスの数よりも大幅に少ない反復回数、つまり で収束する必要があります。 N{\displaystyle N}k≪N{\displaystyle k\ll N}

Parareal反復法では、計算コストの高い の評価を、処理ユニット上で並列に実行できます。一方、が に依存するため、粗補正は逐次的に計算する必要があります。 F(tj,tj+1,Ujk−1){\displaystyle {\mathcal {F}}(t_{j},t_{j+1},U_{j}^{k-1})}N{\displaystyle N}Uj+1k{\displaystyle U_{j+1}^{k}}G(tj,tj+1,Ujk){\displaystyle {\mathcal {G}}(t_{j},t_{j+1},U_{j}^{k})}

通常、粗い積分器と細かい積分器の両方に何らかのルンゲ・クッタ法が選択されますが、は低次で よりも大きな時間ステップを使用する場合があります。初期値問題が偏微分方程式の離散化に起因する場合、 はより粗い空間離散化を使用することもできますが、高次の補間を使用しない限り、収束に悪影響を与える可能性があります。[ 12 ]G{\displaystyle {\mathcal {G}}}F{\displaystyle {\mathcal {F}}}G{\displaystyle {\mathcal {G}}}

パラリアルアルゴリズムの視覚化。ここでは粗いプロパゲーターにはラベルが付いており、細かいプロパゲーターにはラベルが付いてます。φ¯{\displaystyle {\bar {\varphi }}}φ{\displaystyle \varphi }

スピードアップ

いくつかの仮定の下で、Pararealの高速化に関する単純な理論モデルを導くことができる。[ 13 ] 応用場面ではこれらの仮定は制限が厳しすぎる可能性があるが、それでもこのモデルはPararealで高速化を得る際に生じるトレードオフを説明するのに有用である。

まず、すべてのタイムスライスが、精密積分器のステップと粗積分器のステップで構成されていると仮定します。特に、すべてのタイムスライスの長さが同じであること、および粗積分器と精密積分器の両方がシミュレーション全体を通して一定のステップサイズを使用することを前提とします。次に、精密法と粗法のそれぞれ1ステップに必要な計算時間を 、それぞれと表し、どちらも一定であると仮定します。ただし、暗黙法を使用する場合、これは通常厳密には当てはまりません。なぜなら、その場合、実行時間は反復ソルバーに必要な反復回数に応じて変化するためです。 [tj,tj+1]{\displaystyle [t_{j},t_{j+1}]}Nf{\displaystyle N_{f}}Nc{\displaystyle N_{c}}τf{\displaystyle \tau _{f}}τc{\displaystyle \tau _{c}}

これら2つの仮定の下で、時間スライスにわたって積分するfine法の実行時間は次のようにモデル化できる。 P{\displaystyle P}

cfine=PNfτf.{\displaystyle c_{\text{fine}}=PN_{f}\tau _{f}.}

処理ユニットを使用して反復を実行するPararealの実行時間は P{\displaystyle P}k{\displaystyle k}

cparareal=(k+1)PNcτc+kNfτf.{\displaystyle c_{\text{parareal}}=(k+1)PN_{c}\tau _{c}+kN_{f}\tau _{f}.}

パラリアルのスピードアップは

Sp=cfinecparareal=1(k+1)NcNfτcτf+kP≤min{NfτfNcτc,Pk}.{\displaystyle S_{p}={\frac {c_{\text{fine}}}{c_{\text{parareal}}}}={\frac {1}{(k+1){\frac {N_{c}}{N_{f}}}{\frac {\tau _{c}}{\tau _{f}}}+{\frac {k}{P}}}}\leq \min \left\{{\frac {N_{f}\tau _{f}}{N_{c}\tau _{c}}},{\frac {P}{k}}\right\}.}

これら2つの境界は、粗い手法を選択する際に考慮すべきトレードオフを示しています。一方では、最初の境界を可能な限り大きくするために、コストを安く抑えるか、あるいはより大きな時間ステップを使用する必要があり、他方では、2番目の境界を大きく保つために反復回数を少なく抑える必要があります。特に、Pararealの並列効率は、 k{\displaystyle k}

Ep=SpP≤1k,{\displaystyle E_{p}={\frac {S_{p}}{P}}\leq {\frac {1}{k}},}

つまり、必要な反復回数の逆数になります。

虚数固有値の不安定性

Parareal の標準バージョンは、虚数固有値 の問題で問題を抱えている。[ 7 ]通常、 がに近づくにつれて、一番最後の反復でのみ収束し、高速化は常に 1 未満になる。そのため、反復回数が少なく Parareal が不安定になるか、 がParareal を安定させるのに十分大きい場合は高速化が不可能である。これはまた、双曲型方程式では Parareal が通常不安定であることを意味する。[ 14 ] Gander と Vandewalle による形式的解析は定数係数の線形問題のみをカバーしているが、粘性係数が小さすぎてレイノルズ数が大きくなりすぎる場合にParareal を非線形ナビエ-ストークス方程式に適用した場合にも、問題が生じる。 [ 15 ] Parareal を安定させるにはさまざまなアプローチがあり、[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]その 1 つが Krylov 部分空間拡張 Parareal である。 k{\displaystyle k}N{\displaystyle N}Sp{\displaystyle S_{p}}k{\displaystyle k}

変種

オリジナルの Parareal アルゴリズムを直接ベースにしている、または少なくともそれにインスピレーションを受けているアルゴリズムは複数あります。

クリロフ部分空間強化パラリアル

線形問題では、細かい手法によって得られる情報を利用して粗い手法の精度を向上できることが早くから認識されていました。[ 17 ]もともとこのアイデアは、並列暗黙的時間積分器PITA [ 19 ]のために考案されました。PITAはPararealと密接に関連していますが、補正方法がわずかに異なります。各反復において、の値に対する結果が計算されます。この情報に基づいて、部分空間Fδt{\displaystyle {\mathcal {F}}_{\delta t}}GΔt{\displaystyle {\mathcal {G}}_{\Delta t}}k{\displaystyle k}Fδt(Ujk){\displaystyle {\mathcal {F}}_{\delta t}(U_{j}^{k})}ujk∈Rd{\displaystyle u_{j}^{k}\in \mathbb {R} ^{d}}j=0,…,N−1{\displaystyle j=0,\ldots ,N-1}

Sk:={Ujk′:0≤k′≤k,j=0,…,N−1}{\displaystyle S_{k}:=\left\{U_{j}^{k'}:0\leq k'\leq k,j=0,\ldots ,N-1\right\}}

は定義され、パラリアル反復ごとに更新される。[ 20 ]を からへの直交射影として表す。次に、粗い方法を改善された積分器 に置き換える。 Pk{\displaystyle P_{k}}Rd{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}Sk{\displaystyle S_{k}}KΔt(u)=Fδt(Pku)+GΔt((I−Pk)u){\displaystyle {\mathcal {K}}_{\Delta t}(u)={\mathcal {F}}_{\delta t}(P_{k}u)+{\mathcal {G}}_{\Delta t}((I-P_{k})u)}

反復回数が増えるにつれて、空間は拡大し、修正されたプロパゲーターはより正確になります。これにより収束が速くなります。このバージョンのPararealは、線形双曲型偏微分方程式を安定して積分することもできます。[ 21 ]縮小基底法に基づく非線形問題への拡張も存在します。[ 18 ]Sk{\displaystyle S_{k}}KΔt{\displaystyle {\mathcal {K}}_{\Delta t}}

ハイブリッドパラリアルスペクトル遅延補正

パラリアル法とスペクトル遅延補正（SDC） [ 22 ]を組み合わせた並列効率を改善した手法がM. Minionによって提案されている[ 23 ] 。この手法では、粗い積分器と細かい積分器の選択がSDCに限定され、並列効率を改善するための柔軟性が犠牲になっている。このハイブリッド法における並列効率の限界は、 の限界ではなく、1/k{\displaystyle 1/k}

Ep≤kskp{\displaystyle E_{p}\leq {\frac {k_{s}}{k_{p}}}}

ここで、 はシリアルSDCベース法の反復回数であり、並列ハイブリッド法の反復回数は通常それよりも多い。パラリアルSDCハイブリッドは、非線形マルチグリッド で使用される完全近似スキームの追加によってさらに改良された。これは、空間と時間における並列完全近似スキーム（PFASST）の開発につながった。[ 24 ] PFASSTの性能は、ユーリッヒスーパーコンピューティングセンターで開発されたBarnes-Hutツリーコードベースの粒子ソルバーであるPEPCについて研究された。IBM BlueGene /PシステムJUGENEの262,144個のコアすべてを使用したシミュレーションは、PFASSTが空間ツリー並列化の飽和を超えてさらなる高速化を生み出せることを示していた。[ 25 ]ks{\displaystyle k_{s}}kp{\displaystyle k_{p}}

マルチグリッド時間短縮（MGRIT）

マルチグリッド時間縮約法（MGRIT）は、Pararealをマルチグリッド時間アルゴリズムとして解釈し、異なるスムージング器を用いて複数のレベルに一般化します。[ 26 ]これはより一般的なアプローチですが、特定のパラメータを選択した場合、Pararealと同等になります。MGRITを実装したXBraidライブラリ（Wayback Machineに2016年4月23日アーカイブ）は、ローレンス・リバモア国立研究所によって開発されています。

パラエクスプ

ParaExpはParareal内で指数積分器を使用する。[ 27 ]線形問題に限定されているが、ほぼ最適な並列高速化を実現できる。

参考文献

  1. ^ライオンズ、ジャック＝ルイ;マデイ、イヴォン。トゥリニチ、ガブリエル (2015)。 [ライオンズマデイ「偏微分方程式の時間離散化における「パラリアル」」]。Comptes Rendus de l'Académie des Sciences、Série I。332 (7): 661–668。書誌コード: 2001CRASM.332..661L。土井：10.1016/S0764-4442(00)01793-6。{{cite journal}}:値を確認する|url=(ヘルプ)
  2. ^ Pentland, Kamran; Tamborrino, Massimiliano; Samaddar, Debasmita; Appel, Lynton (2022). 「確率的パラリアル：確率的手法の時間並列化への応用」（PDF） . SIAM Journal on Scientific Computing . 45 (3): S82– S102. doi : 10.1137/21M1414231 . S2CID 235485544 . 
  3. ^ Jack Dongarra、Jeffrey Hittinger、John Bell、Luis Chacon、Robert Falgout、Michael Heroux、Paul Hovland、Esmond Ng、Clayton Webster、Stefan Wild（2014年3月）。エクサスケールコンピューティングのための応用数学研究（PDF）（レポート）。米国エネルギー省。 2015年8月29日閲覧。
  4. ^ Burrage, Kevin (1997). 「常微分方程式の並列解法」.計算数学の進歩. 7 ( 1–2 ): 1– 31. doi : 10.1023/A:1018997130884 . S2CID 15778447 . 
  5. ^ Iserles, A.; NøRSETT, SP (1990-10-01). 「並列ルンゲ・クッタ法の理論について」. IMA Journal of Numerical Analysis . 10 (4): 463– 488. doi : 10.1093/imanum/10.4.463 . ISSN 0272-4979 . 
  6. ^ Ketcheson, David; Waheed, Umair bin (2014-06-13). 「直列および並列における高次陽的ルンゲ・クッタ法、外挿法、および遅延補正法の比較」. Communications in Applied Mathematics and Computational Science . 9 (2): 175– 200. arXiv : 1305.6165 . doi : 10.2140/camcos.2014.9.175 . ISSN 2157-5452 . S2CID 15242644 .  
  7. ^ a b c Gander, Martin J.; Vandewalle, Stefan (2007). 「パラリアル時間並列時間積分法の解析」. SIAM Journal on Scientific Computing . 29 (2): 556– 578. CiteSeerX 10.1.1.154.6042 . doi : 10.1137/05064607X . 
  8. ^ Hackbusch, Wolfgang (1985).放物線型マルチグリッド法. pp.  189– 197. ISBN 9780444875976. 2015年8月29日閲覧。{{cite book}}:|journal=無視されました (ヘルプ)
  9. ^ Kiehl, Martin (1994). 「初期値問題の解法のための並列多重射撃法」.並列コンピューティング. 20 (3): 275– 295. doi : 10.1016/S0167-8191(06)80013-X .
  10. ^ Gander, Martin J. (2015). 50 years of Time Parallel Time Integration . 数学および計算科学への貢献. 第9巻（第1版）. Springer International Publishing. doi : 10.1007/978-3-319-23321-5 . ISBN 978-3-319-23321-5。
  11. ^ Nievergelt, Jürg (1964). 「常微分方程式の積分のための並列法」 . Communications of the ACM . 7 (12): 731– 733. doi : 10.1145/355588.365137 . S2CID 6361754 . 
  12. ^ Ruprecht, Daniel (2014-12-01). 「空間粗大化によるパラリアルの収束」(PDF) . Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics . 14 (1): 1031– 1034. doi : 10.1002/pamm.201410490 . ISSN 1617-7061 . S2CID 26356904 .  
  13. ^ミニオン、マイケル・L. (2010). 「ハイブリッド・パラリアル・スペクトル遅延補正法」 .応用数学・計算科学通信. 5 (2): 265– 301. doi : 10.2140/camcos.2010.5.265 .
  14. ^スタッフ、グンナー・アンドレアス;ロンクイスト、アイナー M. (2005-01-01)。バース、ティモシー J.マイケル、グリーベル。キーズ、デイビッド E.ニーミネン、リスト M.ルース、ダーク。テイマー・シュリック。コルンフーバー、ラルフ。ホッペ、ロナルド。ジャック・ペリオ（編）。パラリアル アルゴリズムの安定性。計算科学と工学の講義ノート。シュプリンガー ベルリン ハイデルベルク。 pp.  449–456。土井: 10.1007/3-540-26825-1_46。ISBN 9783540225232。
  15. ^ Steiner, Johannes; Ruprecht, Daniel; Speck, Robert; Krause, Rolf (2015-01-01). 「レイノルズ数に依存するナビエ・ストークス方程式のパラリアル収束」 Abdulle, Assyr; Deparis, Simone; Kressner, Daniel ; Nobile, Fabio; Picasso, Marco (編).数値数学と高度応用 - ENUMATH 2013 . 計算科学と工学の講義ノート. 第103巻. Springer International Publishing. pp.  195– 202. CiteSeerX 10.1.1.764.6242 . doi : 10.1007/978-3-319-10705-9_19 . ISBN  9783319107042。
  16. ^ Dai, X.; Maday, Y. (2013-01-01). 「1次および2次双曲型システムにおける安定パラリアルインタイム法」. SIAM Journal on Scientific Computing . 35 (1): A52– A78. arXiv : 1201.1064 . Bibcode : 2013SJSC...35A..52D . doi : 10.1137/110861002 . ISSN 1064-8275 . S2CID 32336370 .  
  17. ^ a b Farhat, Charbel; Cortial, Julien; Dastillung, Climène; Bavestrello, Henri (2006-07-30). 「線形構造動的応答の準リアルタイム予測のための時間並列暗黙積分器」. International Journal for Numerical Methods in Engineering . 67 (5): 697– 724. Bibcode : 2006IJNME..67..697F . doi : 10.1002/nme.1653 . ISSN 1097-0207 . S2CID 121254646 .  
  18. ^ a b Chen, Feng; Hesthaven, Jan S.; Zhu, Xueyu (2014-01-01). 「縮約基底法を用いたパラリアル法の高速化と安定化について」. Quarteroni, Alfio ; Rozza, Gianluigi (編).モデリングと計算縮約のための縮約次数法. MS&A - モデリング、シミュレーション、アプリケーション. Springer International Publishing. pp.  187– 214. doi : 10.1007/978-3-319-02090-7_7 . ISBN 9783319020891。
  19. ^ Farhat, Charbel; Chandesris, Marion (2003-11-07). 「時間分解並列時間積分器：流体、構造、および流体構造アプリケーションにおける理論と実現可能性調査」. International Journal for Numerical Methods in Engineering . 58 (9): 1397– 1434. Bibcode : 2003IJNME..58.1397F . doi : 10.1002/nme.860 . ISSN 1097-0207 . S2CID 61667246 .  
  20. ^ Gander, M.; Petcu, M. (2008). 「線形問題に対するクリロフ部分空間拡張パラリアルアルゴリズムの解析」 ESAIM : Proceedings . 25 : 114–129 . doi : 10.1051/proc:082508 .
  21. ^ Ruprecht, D.; Krause, R. (2012-04-30). 「線形音響移流システムの明示的並列時間積分」. Computers & Fluids . 59 : 72– 83. arXiv : 1510.02237 . doi : 10.1016/j.compfluid.2012.02.015 . S2CID 15703896 . 
  22. ^ Dutt, Alok; Greengard, Leslie; Rokhlin, Vladimir (2000-06-01). 「常微分方程式のスペクトル遅延補正法」. BIT Numerical Mathematics . 40 (2): 241– 266. doi : 10.1023/A:1022338906936 . ISSN 0006-3835 . S2CID 43449672 .  
  23. ^ミニオン, マイケル (2011-01-05). 「ハイブリッドパラリアルスペクトル遅延補正法」 .応用数学・計算科学通信. 5 (2): 265– 301. doi : 10.2140/camcos.2010.5.265 . ISSN 2157-5452 . 
  24. ^エメット, マシュー; ミニオン, マイケル (2012年3月28日). 「偏微分方程式のための効率的な並列時間法に向けて」 .応用数学・計算科学通信. 7 (1): 105– 132. doi : 10.2140/camcos.2012.7.105 . ISSN 2157-5452 . 
  25. ^ Speck, R.; Ruprecht, D.; Krause, R.; Emmett, M.; Minion, M.; Winkel, M.; Gibbon, P. (2012-11-01). 「大規模時空間並列N体ソルバー」. 2012 International Conference for High Performance Computing, Networking, Storage and Analysis . pp.  1– 11. doi : 10.1109/SC.2012.6 . ISBN 978-1-4673-0805-2. S2CID  1620219 .
  26. ^ Falgout, R.; Friedhoff, S.; Kolev, T.; MacLachlan, S.; Schroder, J. (2014-01-01). 「マルチグリッドによる並列時間積分」. SIAM Journal on Scientific Computing . 36 (6): C635– C661. Bibcode : 2014SJSC...36C.635F . CiteSeerX 10.1.1.701.2603 . doi : 10.1137/130944230 . ISSN 1064-8275 .  
  27. ^ Gander, M.; Güttel, S. (2013-01-01). 「PARAEXP: 線形初期値問題のための並列積分器」. SIAM Journal on Scientific Computing . 35 (2): C123– C142. Bibcode : 2013SJSC...35C.123G . CiteSeerX 10.1.1.800.5938 . doi : 10.1137/110856137 . ISSN 1064-8275 .  
「 https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Parareal&oldid=1307736457」から取得