| キューブ | |
|---|---|
| タイプ | ハンナー多面体、 直交多面体、 平行面体、 プラトン立体、プレシオ ヘドロン、 正多面体、 ゾノヘドロン |
| 顔 | 6平方 |
| エッジ | 12 |
| 頂点 | 8 |
| オイラー文字。 | 2 |
| 頂点構成 | |
| シュレーフリ記号 | |
| 対称群 | 八面体対称性 |
| 音量 | サイド3 |
| 二面角(度) | 90° |
| 二重多面体 | 正八面体 |
| プロパティ | 凸、 辺推移、 面推移、 非複合、 直交面、 ルパート特性:コピーで穴を通過できる、 頂点推移 |
立方体は幾何学における三次元の立体です。立方体は8つの頂点と12本の同じ長さの直線の辺を持ち、これらの辺が6つの同じ大きさの正方形の面を形成します。これは多面体の一例です。
立方体は、玩具やゲーム、芸術、錯視、建築物など、多くの大衆文化に見られます。結晶構造、科学、技術機器にも立方体は見られます。また、プラトンの著作『ティマイオス』などの古代文献にも登場します。『ティマイオス』では、現在プラトン立体と呼ばれる立体の集合が記述されており、立方体は古典的な土の要素と関連付けられています。単位長さを持つ立方体は、三次元空間における体積の標準的な単位であり、他の立体の体積を測る基準となります。
立方体は、多面体の構築、例えば切断や他の多面体との接合など、多面体の構築に関係しています。また、幾何学的な形状も表現します。立方体の面同士を接合することで、隙間なく空間を埋めることができ、ハニカム構造を形成します。
立方体は様々な方法で表現できます。例えば、グラフを描くことが挙げられます。グラフとは、グラフ理論における構造であり、辺で結ばれた頂点の集合から構成されます。このグラフは、立方体(6つの四角形面を持つ多面体)の族も表しており、立方体はその特殊なケースとして含まれています。立方体とそのグラフは、3次元の超立方体( 2次元の正方形や4次元の四次元立方体も含む多面体の族)です。
プロパティ
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立方体は、8 つの頂点と 12 の等しい長さの辺を持つ多面体で、6 つの正方形を面として形成します。立方体は直方体の特殊なケースであり、6 つの直方体面があり、各面には 1 組の反対側の等しい長さの平行な辺があります。[ 1 ]両方の多面体は、同じ二面角を持ちます。二面角は、共通の辺における 2 つの隣接する面の間の角度で、正方形の内角(その多角形内の共通点で 2 つの隣接する辺の間に形成される角度)から得られる直角または 90°です。 [ 2 ] [ 3 ]より一般的には、立方体と直方体は、6 つの四辺形(4 辺を持つ多角形) を持つ多面体である直方体の特殊なケースです。[ 4 ]すべての凸多面体と同様に、立方体は、式 に従ってオイラー特性2 を持ちます。3 つの文字は、それぞれ頂点、辺、面の数を示します。[ 5 ]
頂点を囲む3つの正方形の面はすべて互いに直交しており、つまり、平面は垂直で、隣接する2つの正方形の間が直角を形成しています。したがって、立方体は直交多面体に分類されます。[ 6 ]立方体は他の直方体の特殊なケースです。これには、6つの平行四辺形の面を持つ多面体である平行六面体が含まれます。これは、その向かい合った面のペアが合同であるためです。[ 7 ]菱形面を持つ平行六面体の特殊な例としての菱形面体。これは、すべての面の内角が直角であるためです。[ 8 ]そして、三角台形。これは、その正方形の面が菱形の特殊なケースであるため、合同な四辺形の面を持つ多面体です。[ 9 ]
立方体は非複合多面体、つまり基本多面体です。つまり、面と交差する平面が辺のみに存在せず、それによって2つ以上の凸状の正多面体に分割されます。[ 10 ]
測定
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辺の長さが の立方体を考えると、立方体の面対角線は正方形の対角線であり、立方体の空間対角線は同じ面にない 2 つの頂点を結ぶ線で、 と定式化されます。どちらの式も、ピタゴラスの定理を使用して決定できます。立方体の表面積は、正方形の面積の 6 倍です。[ 11 ] 直方体の体積は、長さ、幅、高さの積です。立方体の辺の長さはすべて等しいため、立方体の体積の式は、辺の長さの 3 乗です。[ 11 ]このことから、 「cube」という用語が動詞として使用され、任意の数を 3 乗することを意味します。[ 4 ]
立方体には3種類の閉じた測地線、つまり立方体の表面上で局所的に直線となる経路がある。言い換えれば、それらは頂点を避け、交差する面を横切る線分をたどり、交差する各辺の2つの入射面で互いに補角を形成する。1つは立方体の任意の面に平行な平面上にあり、各辺の長さの4倍の面と合同な正方形を形成する。もう1つは長対角線に垂直な平面上にあり、正六角形を形成する。その長さは辺の長さの4倍である。3つ目は非平面六角形である。[ 12 ]
内球、中球、外球
[編集]立方体の内接球とは、立方体の面の重心で接する球面である。その中球とは、立方体の辺に接する球面である。その外接球とは、立方体の頂点に接する球面である。辺の長さが のとき、それらはそれぞれ以下の式で表される:[ 13 ]
ユニットキューブ
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単位立方体は、各辺の長さが 1 単位の立方体です。したがって、各面は単位正方形であり、図形全体の体積は 1 立方単位です。[ 14 ] [ 15 ] ルパート王子の雫で知られるライン公ルパートは、同じ大きさの別の立方体に開けた穴を、ある立方体が通過できるかどうかを賭けました。1693 年にイギリスの数学者ジョン・ウォリスによって語られた話では、ウォリスの提示には多少の誤りがあったものの、通過できると答えています。およそ 1 世紀後、オランダの数学者ピーテル・ニューラントは、単位立方体の穴を通過する立方体の辺の長さが、約 1.06 単位まで大きくてもよいという、より良い解を示しました。[ 16 ] [ 17 ]この結果を得る 1 つの方法は、ピタゴラスの定理、つまり3 次元空間におけるユークリッド距離の公式を使用することです。 [ 18 ]
立方体を2倍にする古代の問題は、コンパスと定規のみを用いて、元の体積の2倍の体積を持つ立方体を構築するというものでした。これは1837年にフランスの数学者ピエール・ワンツェルによって結論づけられ、元の体積の2倍(2の立方根)の立方体は構築不可能であるため、実現不可能であることが証明されました。[ 19 ]しかし、この問題はメッサー(1986)によって折り紙で解決されました。[ 20 ]
対称
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立方体は、48 次正八面体対称性 を持つ。言い換えれば、立方体には 48個の等長変換(恒等変換を含む) があり、各等長変換により、立方体はそれ自身に変換される。これらの変換には、9 個の反射対称性(平面で切断した 2 つの半分が同一) が含まれる。そのうち 3 個は立方体を辺の中点で切断し、6 個は対角線で切断する。また、立方体には 13 個の回転対称軸(軸の周りを回転すると外観が同一になる) がある。そのうち 3 個の軸は反対側の面の重心を通り、6 個は反対側の辺の中点を通り、4 個は反対側の頂点を通る。これらの軸はそれぞれ、4 回回転対称 (0°、90°、180°、270°)、2 回回転対称 (0° と 180°)、3 回回転対称 (0°、120°、240°) である。[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]
双対多面体は、多面体の各頂点を平面に接するように配置することで得られる。これは極反転と呼ばれる。[ 25 ]双対多面体の性質の一つは、多面体とその双対多面体が三次元対称点群を共有することである。この場合、立方体の双対多面体は正八面体であり、これらの多面体は両方とも同じ八面体対称性を持つ。[ 26 ]
立方体は面推移的であり、2つの正方形の面は互いに同じであり、回転や鏡映によって対応づけることができる。[ 27 ]立方体は頂点推移的であり、すべての頂点が等しく、対称性の下で等長的に対応づけることができる。 [ 28 ]また、辺推移的であり、同じ種類の面が各頂点を同じ順序または逆の順序で囲み、隣接する面の各ペアは同じ二面角を持つ。したがって、立方体は正多面体である。[ 29 ]各頂点は3つの正方形に囲まれているため、立方体は頂点構成またはシュレーフリ記号によって表される。[ 30 ]
出演
[編集]大衆文化では
[編集]立方体は大衆文化において様々な役割で登場してきました。サイコロの最も一般的な形です。[ 27 ]ソマキューブ、[ 31 ] ルービックキューブ、スキューブ などのパズル玩具は立方体で作られています。[ 32 ] マインクラフトは立方体ブロックのサンドボックスビデオゲームの一例です。[ 33 ]屋外彫刻アラモ(1967年)は、垂直軸を中心に回転する立方体です。[ 34 ] 不可能立方体やネッカーキューブなどの錯視は、 MCエッシャーなどの芸術家によって研究されてきました。[ 35 ]立方体は、アルベルティのルネサンス建築に関する論文『建築論』(1450年)で応用されています。[ 36 ]オランダのキューブハウスは、六角形の空間対角線がメインフロアとなる立方体の家々です。[ 37 ]
自然と科学
[編集]立方体は自然科学技術の様々な分野でも見られます。立方晶系として知られる結晶の単位格子に応用されています。[ 38 ]食卓塩は、一般的に立方体の形状をした鉱物の一例です。 [ 39 ]その他の例としては、黄鉄鉱(ただし、多くのバリエーションがあります)[ 40 ]や、核計画における立方体形状のウランがあります。 [ 41 ]エルンスト・ヘッケルによって発見された放散虫リトキュバス・ジオメトリクスは、立方体の形状をしています。[ 42 ]キュバンは、立方体の角に配置された8つの炭素原子からなる合成炭化水素で、各炭素原子には1つの水素原子が結合しています。[ 43 ]
相対性理論、重力、量子力学という3つの物理学的概念を統一しようとする歴史的な試みでは、cGh立方体として知られる立方体の枠組みが使用されました。[ 44 ]
技術的な立方体には、宇宙船装置のCubeSat、[ 45 ]、 熱放射実証装置のLeslie cube、[ 46 ]、ウェブサーバーマシンCobalt Qubeなどがあります。[ 47 ]立方体のグリッドは、3次元の直交座標系でよく使用されます。[ 48 ]コンピュータグラフィックスでは、アルゴリズムによって入力ボリュームが等値面上の単位として知られる個別の立方体の集合に分割され、[ 49 ]立方体の面は形状のマッピングに使用できます。[ 50 ]交通標識やレーダーなど、さまざまな工学分野では、立方体の角がコーナーリフレクタと呼ばれる再帰反射器として役立ち、光線や波をその発生源に戻します。[ 51 ]
古代では
[編集]プラトン立体は古代から知られている5つの多面体です。この集合はプラトンにちなんで名付けられました。プラトンは対話篇『ティマイオス』の中で、これらの立体を自然界に帰属させています。そのうちの一つである立方体は、地球の基盤を構成する要素であることから、古典的な土の要素を表していました。 [ 52 ]ユークリッドの『原論』は、立方体を含むプラトン立体を定義し、外接球の直径と辺の長さの比を求める方法を示しました。[ 53 ]
プラトンが正多面体を自然の象徴として用いたのに倣い、ヨハネス・ケプラーは著書『世界の調和』の中でプラトン立体のそれぞれをスケッチし、立方体の側面を樹木で装飾した。[ 54 ]ケプラーは著書『宇宙の神秘』で、球体に内接・外接されたプラトン立体の集合を用いて太陽系の構造と地球外惑星間の関係を提唱した。球体に包まれたそれぞれの立体は、既知の6つの惑星、水星、金星、地球、火星、木星、土星に対応して6つの層を形成する。これらの立体は、最も内側から最も外側に向かって、正8面体、続いて正20面体、正12面体、正4面体、そして最終的に立方体の順で並んでいた。[ 55 ]
建設
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立方体には11個の異なるネットがあり、それぞれは辺で繋がれた正方形の配列で構成されています。正方形間の各境界を直角に折ると、正方形は立方体の面になります。[ 56 ] [ 57 ]
立方体は、6つの四角錐(それぞれの高さが辺の長さの半分)を頂点が中心で合うように接続することによって構築できます。 [ 58 ]
解析幾何学では、立方体は直交座標系を用いて作図することができる。原点を中心とし、辺が軸に平行で辺の長さが2である立方体の場合、頂点の直交座標は である。[ 59 ]その内部は、すべてのに対して となるすべての点から構成される。中心がで辺の長さが である立方体の表面は、すべての点の軌跡で あり、
立方体は3本の線分の直積で構成できるため、ハンナー多面体である。その双対多面体である正八面体は、3本の線分の直和で構成されている。 [ 60 ]
表現
[編集]グラフとして
[編集]
立方体はグラフに描くことができる。グラフはグラフ理論において、辺で接続された頂点の集合から成る構造である。これは、スタインイッツの定理に従って実現可能であり、グラフは、次の 2 つの特性を備えている限り、多面体の頂点-辺グラフとして表すことができるとしている。その 2 つの特性とは、平面性(グラフの辺が他の辺と交差することなくすべての頂点に接続されている) と3 連結性(4 つ以上の頂点があるグラフで、そのうち 2 つの頂点を削除しても、辺は連結されたままである) である。[ 61 ] [ 62 ]グラフ として表される立方体の骨格は、立方体グラフ、つまりプラトン グラフと呼ばれる。立方体と同じ数の頂点と辺、つまり 12 個の頂点と 8 個の辺がある。[ 63 ]立方体グラフは、直方体の骨格に似たプリズム グラフとしても分類される。 [ 64 ]
立方体グラフは、ハイパーキューブグラフまたは-キューブの特殊なケースであり、 と表記されます。これは、グラフの直積、つまり 2 つのグラフの頂点のペアを辺で接続して新しいグラフを作成することによって構築できるためです。[ 65 ]立方体グラフの場合、 の積であり、はグラフの直積を表します。言い換えると、立方体グラフは、2 つの正方形の各頂点を辺で接続することによって構築されます。表記上、立方体グラフは です。[ 66 ]他のハイパーキューブグラフと同様に、すべての頂点を 1 回だけ訪れるサイクルがあり、[ 67 ]また、単位距離グラフの例でもあります。[ 68 ]
立方体グラフは二部グラフであり、4つの頂点からなる独立した集合は互いに独立で、それらの集合内の辺は接続されている。[ 69 ]しかし、一方の集合内のすべての頂点がもう一方の集合内のすべての頂点を接続することはできないため、この二部グラフは完全ではない。[ 70 ]これはクラウングラフと二部クネザーグラフの両方の例である。[ 71 ] [ 69 ]
正射影では
[編集]平行光線で照らされた物体は、その光線に垂直な平面に影を落とします。この影は正射影と呼ばれます。多面体は、光線のある位置において、その正射影が正多角形となる場合、等射影的であるとみなされます。立方体は、光線が頂点と対角点を結ぶ4本の直線のいずれかに平行である場合、その投影が正六角形となるため、等射影的です。[ 72 ]
構成マトリックスとして
[編集]立方体は配置行列として表すことができます。配置行列とは、行と列が多面体の要素である頂点、辺、面に対応する行列です。行列の対角線は多面体に現れる各要素の数を表し、行列の非対角線は行の要素に現れる列の要素の数を表します。立方体の 8 つの頂点、12 の辺、6 つの面は、行列の対角線の各要素 (8、12、6) で表されます。中央の行の最初の列は、各辺に 2 つの頂点があることを示しており、2 と表記されています。また、最初の行の中央の列は、各頂点で 3 つの辺が交わることを示しており、3 と表記されています。立方体の配置行列は次のとおりです。[ 73 ]
関連トピック
[編集]多面体の構築
[編集]立方体をベースにして、多くの多面体を構築できます。例としては、以下のようなものがあります。
- 立方体をファセット加工する、つまり立方体の新しい頂点を作らずに多角形の面の一部を削除すると、結果として得られる多面体は星型八面体となる。[ 74 ]
- 立方体の面に、より不規則な多面体を取り付けることで、新たな凸多面体を構築することができる。[ 10 ]このように、立方体は2つのジョンソン立体、 すなわち細長い四角錐と細長い四角両錐の構成要素であり、後者は反対側の面に四角錐を持つ立方体である。[ 75 ]
- 立方体の各面に低いピラミッドを取り付けると、切頂八面体の双対であるクリートープ、テトラキス六面体[ 76 ]が生成されます。
- 立方体(あるいはその双対である正八面体)の重心分割は、カタラン立体である二面体十二面体である。[ 77 ]
- 立方体の角の領域は平面(例えば、隣接する3つの頂点で張られる平面)で切断することができ、その結果、三直角四面体が形成される。[ 78 ]
- スナブキューブは、立方体の面を分離し、ねじれた角度の正三角形で隙間を埋めることで構築できるアルキメデスの立体であり、このプロセスはスナブとして知られています。[ 79 ]
- 立方体の各頂点は切り詰めることができ、その結果得られる多面体はアルキメデスの立体、すなわち切り詰められた立方体である。[ 80 ]辺を切り詰めると、菱形立方八面体となる。[ 81 ]同様に、菱形立方八面体は、立方体の面を分離して広げ、その間に三角形や正方形の面を追加することでも構成できる。これは「拡張立方体」として知られている。同じ図形は、立方体の双対である正八面体からも同様に導き出される。[ 82 ]
- 面取りされた立方体は、面取りと呼ばれる切頂演算子を用いて立方体から構築される。結果として得られる多面体は、12個の六角形と6個の中心対称な正方面を持ち、ゾノヘドロンと呼ばれる。[ 83 ] [ 84 ]
- 立方体の表面の対辺の中点に位置する2つの頂点から、互いに直交する3つの黄金長方形を描き、その2つの頂点の間に線分を引き、その線分を黄金比でその中点から分割する。これらの長方形の頂点は、20個の正三角形からなる正二十面体の頂点である。 [ 85 ]
ポリキューブ
[編集]ポリキューブは、1つまたは複数の等しい立方体を面同士で繋ぎ合わせて形成される立体図形です。ポリキューブは、2次元のポリオミノの3次元版です。[ 86 ]
4 つの立方体を垂直に積み重ね、さらに上から 2 番目の立方体に他の 4 つの立方体を取り付けると、結果として得られるポリキューブはダリ十字になります。これは、スペインのシュルレアリスト芸術家サルバドール・ダリにちなんで名付けられました。ダリの絵画Corpus Hypercubus (1954) には、6 本の腕を持つ十字架に展開する四次元立方体が描かれています。同様の構成は、ロバート・A・ハインラインの短編小説「そして彼は歪んだ家を建てた」(1940) の中心にあります。[ 87 ] [ 88 ]ダリ十字は4次元で折りたたんで四次元立方体を囲むことができます。[ 89 ]立方体はハイパーキューブ(3 キューブとも呼ばれる)の 3 次元インスタンスです。2 次元ハイパーキューブ (2 キューブ) は正方形で、4 次元ハイパーキューブ (4 キューブ) は四次元立方体です。[ 90 ]
空間充填
[編集]
立方体は、三次元空間においてそのコピーを隙間なく埋めることでハニカム構造を実現できます。立方体は空間充填であり、「空間充填」とは一般化されたモザイク模様のことです。[ 91 ]立方体はプレシオヘドロン(正面体)であり、対称デローネ集合のボロノイセルとして定義できる特殊な空間充填多面体です。[ 92 ]プレシオヘドロンには平行六面体(パラレルヘドロン)が含まれます。パラレルヘドロンは、そのコピーの各面が別のコピーの同じ面に接する空間を埋めるために、回転せずに移動させることができます。平行六面体には5種類あり、そのうちの1つが平行六面体です。 [ 93 ]すべての三次元平行六面体はゾノヘドロン(中心対称多面体)であり、その面は中心対称の多角形です。[ 94 ]
立方体のみからなるハニカムの例としては、セルと呼ばれる、三次元ユークリッド空間において辺の周囲に4つの立方体がある立方ハニカムがある。 [ 95 ] [ 96 ]三次元非ユークリッド空間におけるその他の例としては、三次元球面において辺の周囲に3つの立方体があるハニカムや、双曲空間において辺の周囲に5つの立方体があるハニカムがある。[ 96 ]
立方体を含むあらゆる平行六面体は、そのデーン不変量がゼロであればハニカム構造を実現できる。[ 97 ]デーン不変量の起源は、ヒルベルトの第3問題、すなわち、2つの等しい体積の多面体は常に多面体に分解して互いに再構成できるかどうかという問題に遡る。もしできるなら、あらゆる多面体の体積は、それを再構成できる等価な立方体の体積として公理的に定義できるだろう。この問題はマックス・デーンによって解決され、彼は独自の不変量を考案し、すべての多面体が立方体に再構成できるわけではないという答えを出した。[ 98 ]これにより、等しい体積の多面体2つは、デーン不変量が異なる2つの四面体を除き、同じデーン不変量を持つはずであることが示された。[ 99 ]
雑多な
[編集]立方体が同一の中心を共有する多面体化合物は、均一多面体化合物である。つまり、構成要素が同一(おそらく鏡像異形)である均一多面体であり、配置も均一である多面体化合物である。Skilling ( 1976 ) が7番目から9番目の均一化合物として列挙した化合物のリストは、それぞれ、回転自由度のある6つの立方体、3つの立方体、および5つの立方体からなる化合物である。[ 100 ] 2つと3つの立方体からなる2つの化合物は、エッシャーの木版画「星」とマックス・ブルックナーの著書「Vielecke und Vielflache」に掲載されている。[ 101 ]
球面立方体は球面多面体を表し、大円の弧でモデル化でき、球面正方形の辺として境界を作成できます。[ 102 ] したがって、球面立方体は、各頂点の内角が120°の6つの球面正方形で構成されます。球面立方体はベクトル平衡を持ち、つまり、重心から各頂点までの距離は、重心から各辺までの距離と同じです。[ 103 ] [ 104 ]その双対は球面八面体です。[ 102 ]
位相的対象である三次元トーラスは、三つの円の直積に同相となるように定義された位相空間である。立方体の三次元モデルとして表現することができる。[ 105 ]
立方体はフラクタル形状を持つことができ、拡大率に関わらずパターンの形状が再帰的に維持されます。メンガースポンジはフラクタル形状の立方体の一例であり、2次元版であるシェルピンスキーカーペットに類似しています。[ 106 ]他にはエルサレムキューブやモーズリースノーフレークなどがあります。[ 107 ] [ 108 ]
参照
[編集]- バーガヴァ キューブは、 2 項二次形式の法則やその他の同様の形式を研究するための構成で、立方体の頂点は整数を表します。
- シャゼル多面体。立方体の反対側の面に切り込みが入ったもの。
- キュビズムは絵画と視覚芸術に革命をもたらした芸術運動です。
- ヘミキューブは、立方体の反対面を特定することによって生成される抽象的な多面体です。
- カアバ神殿はイスラム教にとって重要な立方体の建造物です。
- マジックキューブ、3次元版の魔方陣
- シュレーフリの二重六、三次元ユークリッド空間における30点と12本の直線の配置
- 正方形を二乗する三次元の類似物、立方体を三乗する
- 超楕円体、水平断面が同じ直角度を持つ立体
- ティコノフ立方体、単位立方体の一般化
参考文献
[編集]- ^ デュピュイ、ネイサン・フェローズ(1893年)『合成立体幾何学の原論』マクミラン社、68頁。
- ^ ジョンソン、ノーマン W. ( 1966). 「正則面を持つ凸多面体」 . Canadian Journal of Mathematics . 18 : 169–200 . doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 . MR 0185507. S2CID 122006114. Zbl 0132.14603 . 表IIの3行目を参照してください。
- ^ バード、ジョン(2020年)『工学のための科学と数学』(第6版)ラウトレッジ、 143~ 144頁。ISBN 9780429261701。
- ^ a b ミルズ, スティーブ; コルフ, ヒラリー (1999).数学辞典. ハイネマン. p. 16. ISBN 9780435024741。
- ^ リチェソン, DS (2008).オイラーの宝石:多面体公式と位相幾何学の誕生. プリンストン大学出版局. pp. 1–2 . ISBN 9780691126777。
- ^ ジェッセン、ボルゲ(1967)。 「直交二十面体」。ノルディスク マテマティスク ティツクリフト。15 (2): 90–96 . JSTOR 24524998。MR 0226494。
- ^ カルター、ポール、カルター、マイケル (2011).テクニカル数学.ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. p. 197. ISBN 9780470534922。
- ^ ホフマン (2020) 、 83頁 。
- ^ Chilton, BL; Coxeter, HSM (1963). 「極性ゾノヘドラ」.アメリカ数学月刊誌. 70 ( 9): 946– 951. doi : 10.1080/00029890.1963.11992147 . JSTOR 2313051. MR 0157282 .
- ^ a b Timofeenko, AV (2010). 「非複合多面体の接合」(PDF) .サンクトペテルブルク数学ジャーナル. 21 (3): 483– 512. doi : 10.1090/S1061-0022-10-01105-2 .
- ^ a b カッター、ディネシュ(2008年)『客観算数ガイド(第2版)』ピアソン・エデュケーション、377頁。ISBN 9788131716823。
- ^ フックス, ドミトリー; フックス, エカテリーナ (2007). 「正多面体上の閉測地線」(PDF) .モスクワ数学ジャーナル. 7 (2): 265– 279. 立方体の測地線 3 種類については、273 ページの図 11 を参照してください。
- ^ Coxeter (1973)表I(i)、pp. 292–293。 、、 と記された列は、それぞれCoxeterの外接半径、中半径、内接半径の表記である。また、Coxeterは辺の長さとして を使用していることにも注意されたい(p. 2参照)。
- ^ ボール、キース (2010). 「高次元幾何学とその確率的類似物」.ガワーズ、ティモシー(編). 『プリンストン数学コンパニオン』 .プリンストン大学出版局. p. 671. ISBN 9781400830398。
- ^ 幾何学:マスターの再教育. ホルト・ライナーハート&ウィンストン. 2001年. p. 74. ISBN 9780030543289。
- ^ ジェラード, リチャード・P.; ウェッツェル, ジョン・E. (2004). 「プリンス・ルパートの長方形」.アメリカ数学月刊誌. 111 (1): 22– 31. doi : 10.2307/4145012 . JSTOR 4145012. MR 2026310 .
- ^ Rickey, V. Frederick (2005). 「デューラーの魔方陣、カルダノの環、ルパート王子の立方体、そしてその他の素晴らしいもの」(PDF) 。2010年7月5日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。 「レクリエーション数学:ベンジャミン・フランクリン生誕300周年記念短期講座」ノート、アメリカ数学協会、ニューメキシコ州アルバカーキ、2005年8月2日~3日
- ^ ガードナー、マーティン(2001). 『コロッサル・ブック・オブ・マスマティクス:古典的なパズル、パラドックス、そして問題:数論、代数、幾何学、確率、位相、ゲーム理論、無限大、そしてその他のレクリエーション数学の話題』 WWノートン・アンド・カンパニー. pp. 172– 173. ISBN 9780393020236。
- ^ Lützen, Jesper (2010). 「幾何学的不可能性代数:立方体の複製と角の三等分不可能性に関するデカルトとモンチュクラ」 . Centaurus . 52 (1): 4– 37. doi : 10.1111/j.1600-0498.2009.00160.x .
- ^ ピーター・メッサー (1986)。「問題1054」(PDF)。核心数学。12 (10): 284–285 – カナダ数学協会経由。
- ^ French, Doug (1988). 「立方体の反射」.学校における数学. 17 (4): 30– 33. JSTOR 30214515 .
- ^ クロムウェル、ピーター・R. (1997). 『多面体』 ケンブリッジ大学出版局. p. 309. ISBN 9780521554329。
- ^ ゲイブ・カニンガム;ペリサー、ダニエル (2024)。「普通空間における有限3軌道多面体 II」 .ボレティン・デ・ラ・ソシエダ・マテマティカ・メキシカーナ。30 (32) 32.土井: 10.1007/s40590-024-00600-z。276ページ参照。
- ^ ケイン、リチャード (2001).反射群と不変理論. シュプリンガー. p. 16. ISBN 9780387989792。
- ^ Cundy, H. Martyn ; Rollett, AP (1961). 「3.2 双対性」.数学モデル(第2版). Clarendon Press. pp. 78– 79. MR 0124167 .
- ^ エリックソン、マーティン (2011). 『美しい数学』アメリカ数学会. p. 62. ISBN 9781614445098。
- ^ a b マクリーン、K. ロビン (1990). 「ダンジョンズ・ドラゴンズ・アンド・ダイス」. The Mathematical Gazette . 74 (469): 243– 256. doi : 10.2307/3619822 . JSTOR 3619822. S2CID 195047512 . 247ページ参照。
- ^ グリュンバウム、ブランコ(1997)。 「等角プリズマトイド」。離散幾何学および計算幾何学。18 (1): 13–52 .土井: 10.1007/PL00009307。
- ^ Senechal, Marjorie (1989). 「タイリング入門」 . Jarić, Marko (編).準結晶の数学入門. Academic Press . p. 12.
- ^ Walter, Steurer; Deloudi, Sofia (2009).準結晶の結晶学:概念、方法、構造. Springer Series in Materials Science. 第126巻. p. 50. doi : 10.1007/978-3-642-01899-2 . ISBN 9783642018985。
- ^ マサルスキー, ウィリアム J. (1977). 「ポリキューブ」.数学教師. 70 (1): 46– 50. doi : 10.5951/MT.70.1.0046 . JSTOR 27960702 .
- ^ ジョイナー、デイビッド(2008年)『群論の冒険:ルービックキューブ、マーリンの機械、その他の数学玩具』(第2版)ジョンズ・ホプキンス大学出版局、p. 76. ISBN 9780801890123。
- ^ ムーア、キンバリー (2018). 「Minecraftが算数の授業にやってくる」.中学校における数学教育. 23 (6): 334– 341. doi : 10.5951/mathteacmiddscho.23.6.0334 . JSTOR 10.5951/mathteacmiddscho.23.6.0334 .
- ^ リーヴン、マーシー、ツァイルテン、スティーブ(2006年)『Hidden New York: A Guide to Places that Matter』ラトガース大学出版局、p. 77. ISBN 9780813538907。
- ^ バロー、ジョン・D. (1999). 『不可能:科学の限界と限界の科学』 オックスフォード大学出版局. p. 14. ISBN 9780195130829。
- ^ マーチ、ライオネル (1996). 「アルベルティの『建築論』におけるルネサンス数学と建築的プロポーション」.建築研究季刊誌. 2 (1): 54– 65. doi : 10.1017/S135913550000110X . S2CID 110346888 .
- ^ アルシーナ、クラウディ、ネルセン、ロジャー・B. (2015). 『数学的宇宙の旅:21世紀の立体幾何学』第50巻、アメリカ数学会、p.85. ISBN 9781614442165。
- ^ ティサ、ミクロス (2001).エンジニアのための物理的冶金学。ASMインターナショナル。 p. 45.ISBN 9781615032419。
- ^ Chieh, Chung (2013). 「多面体と結晶構造」 . Senechal, Marjorie (編). Shaping Space: Exploring Polyhedra in Nature, Art, and the Geometrical Imagination . Springer. p. 141. doi : 10.1007/978-0-387-92714-5_10 . ISBN 9780387927138。
- ^ ホフマン、フランク (2020).結晶学入門. シュプリンガー. p. 35. doi : 10.1007/978-3-030-35110-6 . ISBN 9783030351106。
- ^ Kratz, Jens-Volker (2021).核化学と放射化学:基礎と応用. John Wiley & Sons . p. 31. doi : 10.1002/9783527831944 . ISBN 9783527831944。
- ^ ヘッケル、E. (1904)。Kunstformen der Natur (ドイツ語)。オンラインブックについては、こちらをご覧ください。
- ^ ビエガシエヴィッチ, カイル; グリフィス, ジャスティン; サベージ, G. ポール; ツァナクスティディス, ジョン; プリーファー, ロニー (2015). 「キューバネ:50年後」.化学レビュー. 115 (14): 6719– 6745. doi : 10.1021/cr500523x . PMID 26102302 .
- ^ Padmanabhan, Thanu (2015). 「理論物理学のグランドキューブ」.理論物理学における眠れる森の美女たち. Springer. pp. 1– 8. ISBN 9783319134420。
- ^ ヘルバジャン、ヘンリー、ジャンソン、ジークフリート・W.編 (2008). 『小型衛星:過去、現在、そして未来』 エアロスペース・プレス p. 159. ISBN 9781884989223。
- ^ Vollmer, Michael; Möllmann, Klaus-Peter (2011).赤外線サーマルイメージング:基礎、研究、応用. John Wiley & Sons . pp. 36– 38. ISBN 9783527641550。
- ^ Sims, Ralph (1998年10月1日). 「Cobalt Qube Microserver」 . Linux Journal.
- ^ Kov´acs, Gergely; Nagy, Benedek Nagy; Stomfai, Gergely; Turgay, Nes¸et Deni̇z; Vizv´ari, B´ela (2021). 「正方形および体心立方格子上の面取り距離について:オペレーションズ・リサーチによるアプローチ」 . Mathematical Problems in Engineering : 1– 9. doi : 10.1155/2021/5582034 . hdl : 10831/111490 .
- ^ チン、ダニエル・ジー・ユアン・チン;モハメド、アハマド・スフリル・アズラン。シャリフ、ハイル・アヌアール。石川邦夫(2021年11月23~25日)。「大きな骨欠損 CT 画像の高速 3D 再構成のための GPU アクセラレーションによる強化されたマーチング キューブ 33」。ザマンでは、ハリマ・バディオゼ。スミートン、アラン。シー、ティモシー。ベラスティン、セルジオ。多田輝敏;ヨルゲンセン、ボー・ノレガード;アリス、ハズリーン・アリス。イブラヒム、ナズリタ・イブラヒム(編)。ビジュアルインフォマティクスの進歩。第7回国際視覚情報学会議。カジャン、マレーシア。 p. 376.
- ^ Greene, N. (1986). 「環境マッピングと世界投影のその他の応用」. IEEE Computer Graphics and Applications . 6 (11): 21– 29. Bibcode : 1986ICGA....6k..21G . doi : 10.1109/MCG.1986.276658 . S2CID 11301955 .
- ^ クラウス, ジョン・D.; フライシュ, ダニエル・A. (1999).電磁気学とその応用. ボストン:マグロウヒル. p. 324. ISBN 0-07-289969-7。LCCN 98-34935。
- ^ Domokos, Gábor; Jerolmack, Douglas J.; Kun, Ferenc; Török, János (2020). 「プラトンの立方体と断片化の自然幾何学」 . Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America . 117 (31): 18178– 18185. arXiv : 1912.04628 . Bibcode : 2020PNAS..11718178D . doi : 10.1073/pnas.2001037117 . PMID 32680966 .
- ^ ヒース, トーマス・L. (1908). 『ユークリッド原論 13巻』(第3版).ケンブリッジ大学出版局. pp. 262, 478, 480.
- ^ クロムウェル(1997年) 、 55ページ 。
- ^ リヴィオ、マリオ(2003) [2002].黄金比:世界で最も驚くべき数ファイの物語(第1版).ブロードウェイ・ブックス. p. 147. ISBN 9780767908160。
- ^ Jeon, Kyungsoon (2009). 「CUBEの網に隠れた数学」.子どもに数学を教える. 15 (7): 394– 399. doi : 10.5951/TCM.15.7.0394 . JSTOR 41199313 .
- ^ Turney, Peter D. (1984–1985). 「テッセラクト展開」 .レクリエーション数学ジャーナル. 17 (1).
- ^ ジョン・バーンズ (2012).幾何学の宝石(第 2 版)。スプリンガー。 p. 82.土井:10.1007/978-3-642-30964-9。ISBN 9783642309649。
- ^ スミス、ジェームズ (2000). 『幾何学の方法』ジョン・ワイリー・アンド・サンズ392ページ. ISBN 9781118031032。
- ^ Kozachok, Marina (2012). 「完全プリズマトイドと中心対称多面体の面数に関する予想」.ヤロスラヴリ国際会議「離散幾何学」アレクサンドロフ生誕100周年記念 (ヤロスラヴリ、2012年8月13日~18日) (PDF) . PG Demidov ヤロスラヴリ国立大学、国際BN Delaunay研究所. pp. 46– 49.
- ^ グリュンバウム、ブランコ(2003)。 「13.1 シュタイニッツの定理」。凸多面体。数学の大学院テキスト。 Vol. 221(第2版)。スプリンガー・フェルラーク。235 ~ 244ページ 。ISBN 0387404090。
- ^ Ziegler, Günter M. (1995). 「第4章 3次元多面体に対するシュタイニッツの定理」.多面体に関する講義.大学院数学テキスト. 第152巻. Springer-Verlag. pp. 103– 126. ISBN 038794365X。
- ^ ルドルフ、マイケル (2022). 『有限ネットワークの数学:作用素グラフ理論入門』ケンブリッジ大学出版局. p. 25. doi : 10.1017/9781316466919 . ISBN 9781316466919。
- ^ Pisanski, Tomaž; Servatius, Brigitte (2013).グラフィカルな視点からの構成. Springer. p. 21. doi : 10.1007/978-0-8176-8364-1 . ISBN 9780817683634。
- ^ Harary, F. ; Hayes, JP; Wu, H.-J. (1988). 「ハイパーキューブグラフ理論の概説」. Computers & Mathematics with Applications . 15 (4): 277– 289. doi : 10.1016/0898-1221(88)90213-1 . hdl : 2027.42/27522 .
- ^ チャートランド、ゲイリー、チャン、ピン (2012). 『グラフ理論入門』ドーバー出版25ページ. ISBN 9780486297309。
- ^ Gross, Jonathan L.; Yellen, Yellen (2006).グラフ理論とその応用 第2版. Taylor & Francis. p. 273. ISBN 9781584885054。
- ^ Horvat, Boris; Pisanski, Tomaž (2010). 「単位距離グラフの積」 .離散数学. 310 (12): 1783– 1792. doi : 10.1016/j.disc.2009.11.035 . MR 2610282 .
- ^ a b バーマン、リア (2014). 「対称6次元構成の幾何学的構成」 . コネリー、ロバート、ワイス、アジア、ホワイトリー、ウォルター (編).剛性と対称性. フィールズ研究所コミュニケーションズ 第70巻. シュプリンガー. p. 84. doi : 10.1007/978-1-4939-0781-6 . ISBN 9781493907816。
- ^ Aldous, Joan; Wilson, Robin (2000).グラフとその応用:入門的アプローチ. Springer. ISBN 9781852332594。
- ^ キタエフ, セルゲイ; ロジン, ヴァディム (2015). 『言葉とグラフ』 . p. 171. doi : 10.1007/978-3-319-25859-1 . ISBN 9783319258591。
- ^ ハサン、マスード;ホサイン、モハマド M.ロペス・オルティス、アレハンドロ。ヌスラト、サブリナ。クアダー、サード・A.ラーマン、ナビラ (2010)。 「いくつかの新しい等射影多面体」。arXiv : 1009.2252 [ cs.CG ]。
- ^ Coxeter, HSM (1973). Regular Polytopes (第3版). ニューヨーク: Dover Publications . pp. 122–123 .§1.8 構成を参照してください。
- ^ インチボールド、ガイ (2006). 「ファセット図」.数学ガゼット. 90 (518): 253– 261. doi : 10.1017/S0025557200179653 . JSTOR 40378613 .
- ^ Rajwade, AR (2001).凸多面体と正則性条件およびヒルベルトの第三問題. 数学テキストと読書. Hindustan Book Agency. p. 84–89. doi : 10.1007/978-93-86279-06-4 . ISBN 9789386279064。
- ^ スロボダン、ミシッチ;オブラドヴィッチ、マリヤ。ユカノヴィッチ、ゴルダナ(2015)。「幾何学的および建築的形態としての複合凹面キューポラ」(PDF)。幾何学とグラフィックスのジャーナル。19 (1): 79–91 .
- ^ ランガー、ジョエル・C.; シンガー、デイヴィッド・A. (2010). 「ベルヌーイのレムニスケートに関する考察:数学の宝石の48の面」.ミラノ数学ジャーナル. 78 (2): 643– 682. doi : 10.1007/s00032-010-0124-5 .
- ^ コクセター(1973) 、 71ページ 。
- ^ Holme, A. (2010). 『幾何学:私たちの文化遺産』Springer . doi : 10.1007/978-3-642-14441-7 . ISBN 9783642144417。
- ^ クロムウェル(1997年) 、 81-82頁 。
- ^ Linti, G. (2013). 「連鎖化合物 - 第13族 [Al, Ga, In, Tl]」. Reedijk, J.; Poeppelmmeier, K. (編). 『包括的無機化学 II:元素から応用まで』. Newnes. p. 41. ISBN 9780080965291。
- ^ Viana, Vera; Xavier, João Pedro; Aires, Ana Paula; Campos, Helena (2019). 「アキラル多面体のインタラクティブな拡張」. Cocchiarella, Luigi (編). ICGG 2018 - Proceedings of the 18th International Conference on Geometry and Graphics 40th Anniversary - Milan, Italy, August 3-7, 2018 . Advances in Intelligent Systems and Computing. Vol. 809. Springer. p. 1123. doi : 10.1007/978-3-319-95588-9 . ISBN 9783319955872。図6を参照してください。
- ^ Gelişgen, Özcan; Yavuz, Serhat (2019). 「面取り立方体と面取り八面体空間の等長群」 .数学科学と応用電子ノート. 7 (2): 174– 182. doi : 10.36753/mathenot.542272 .
- ^ Deza, Antoinea; Michel, Deza; Grishukhin, Viatcheslav (1998). 「フラーレンと配位多面体対半立方体埋め込み」.離散数学. 192 ( 1–3 ): 41–80 . doi : 10.1016/S0012-365X(98)00065-X .
- ^ クロムウェル(1997年) 、 70ページ 。
- ^ Lunnon, WF (1972). 「立方体および一般ポリオミノの対称性」. Ronald C. Read (編).グラフ理論とコンピューティング. ニューヨーク:アカデミック・プレス. pp. 101– 108. ISBN 9781483255125。
- ^ ケンプ、マーティン(1998年1月1日)「ダリの次元」ネイチャー誌391 ( 27)27頁。Bibcode : 1998Natur.391 ...27K。doi:10.1038 /34063。
- ^ Fowler, David (2010). 「SFにおける数学:SFとしての数学」. World Literature Today . 84 (3): 48– 52. doi : 10.1353/wlt.2010.0188 . JSTOR 27871086. S2CID 115769478.ロバート・ハインラインの『そして彼は歪んだ家を建てた』(
1940年出版)とマーティン・ガードナーの『ノーサイド教授』(1946年出版)は、メビウスの帯、クラインの壺、超立方体(テッセラクト)を読者に紹介したSF作品の先駆けである。
- ^ Langerman, Stefan ; Winslow, Andrew (2016). 「Conwayの基準を満たすポリキューブ展開」(PDF) .第19回離散幾何学・計算幾何学・グラフ・ゲーム研究会 (JCDCG^3 2016) .
- ^ Hall, T. Proctor (1893). 「3平面上への4倍体図形の射影」. American Journal of Mathematics . 15 (2): 179– 189. doi : 10.2307/2369565 . JSTOR 2369565 .
- ^ Lagarias, JC ; Moews, D. (1995). 「合同性を満たす多面体と合同性のない多面体」 .離散幾何学と計算幾何学. 13 ( 3–4 ): 573–583 . doi : 10.1007/BF02574064 . MR 1318797 .
- ^ Erdahl, RM (1999). 「ゾノトープ、ダイシング、そして平行面体におけるボロノイ予想」 .ヨーロッパ組合せ論ジャーナル. 20 (6): 527– 549. doi : 10.1006/eujc.1999.0294 . MR 1703597 . ボロノイは、単一の凸多面体の並進による高次元空間のすべてのタイリングは、ボロノイタイリングと組合せ論的に同値であると予想し、エルダールはこれをゾノトープという特殊なケースで証明している。しかし、エルダールが述べているように(p. 429)、ボロノイ予想は高々4次元の場合については既にドロネーによって証明されている。3次元平行面体をこれらの5つのタイプに分類する方法については、Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (1980). "Tilings with congruent tiles" . Bulletin of the American Mathematical Society . New Series. 3 (3): 951– 973. doi : 10.1090/S0273-0979-1980-14827-2 . MR 0585178.を参照のこと。
- ^ ホルバス、アコス G. (1995)。「ディリクレ・ボロノイセルについて、パート I: 古典的問題」。Periodica Polytechnica 機械工学。39 (1): 25-42 .
- ^ しかし、高次元では、ゾノトープではない平行四辺形が存在します。例えば、 Shephard, GC (1974). "Space-filling Zonotopes". Mathematika . 21 (2): 261– 269. doi : 10.1112/S0025579300008652 . MR 0365332 . を参照。
- ^ コクセター, HSM (1968). 『幾何学の美:12のエッセイ』ドーバー出版. p. 167. ISBN 9780486409191。表IIIを参照してください。
- ^ a b ネルソン、ロイス;セガーマン、ヘンリー(2017年)「双曲型ハニカムの可視化」数学と芸術ジャーナル. 11 (1): 4– 39. arXiv : 1511.02851 . doi : 10.1080/17513472.2016.1263789 .
- ^ 秋山 仁;松永清子(2015) 「15.3 ヒルベルトの第 3 問題とデーンの定理」。直感的な幾何学への挑戦。スプリンガー東京。 pp. 382–388。土井:10.1007/978-4-431-55843-9。ISBN 9784431558415. MR 3380801 .
- ^ グルーバー、ピーター M. (2007)。 「第 16 章: 多面体の体積とヒルベルトの第 3 の問題」。凸型および離散型ジオメトリ。 Grundlehren der mathematischen Wissenschaften [数学科学の基本原理]。 Vol. 336. シュプリンガー、ベルリン。 pp. 280–291。土井: 10.1007/978-3-540-71133-9。ISBN 9783540711322. MR 2335496 .
- ^ Zeeman, EC (2002年7月). 「ヒルベルトの第三問題について」. The Mathematical Gazette . 86 (506): 241– 247. doi : 10.2307/3621846 . JSTOR 3621846 .
- ^ スキルリング、ジョン (1976). 「均一多面体の均一な複合物」.ケンブリッジ哲学協会数学紀要. 79 (3): 447– 457. Bibcode : 1976MPCPS..79..447S . doi : 10.1017/S0305004100052440 . MR 0397554 .
- ^ ジョージ、ハート (2019 年 7 月 16 日 - 20 日)。「マックス・ブルックナーの紙多面体のヴンダーカンマー」(PDF)。ゴールドスタインではスーザン。マッケンナ、ダグラス。フェニヴェシ、クリストフ (編)。Bridges 2019 会議議事録。オーストリア、リンツ: Tessellations Publishing、アリゾナ州フェニックス。ISBN 9781938664304。
- ^ a b ヤッケル、キャロリン (2013年7月26日~30日). 「投影されたプラトン立体による物理的な球面のマーキング」(PDF) .カプラン、クレイグ、サルハンギ、レザ (編). Bridges 2009: 数学、音楽、芸術、建築、文化 議事録.バンフ、アルバータ州、カナダ. pp. 123– 130. ISBN 9780966520200。
- ^ ポプコ、エドワード・S. (2012). 『分割された球体:測地線と球の秩序ある分割』CRCプレス. pp. 100– 101. ISBN 9781466504295。
- ^ フラー、バッキムスター(1975年)『シナジェティクス:思考の幾何学の探究』マクミラン出版、173ページ。ISBN 9780020653202。
- ^ Marat, Ton (2022). A Ludic Journey into Geometric Topology . Springer. p. 112. doi : 10.1007/978-3-031-07442-4 . ISBN 9783031074424。
- ^ Bunde, Armin; Havlin, Shlomo (2013). Fractals in Science . Springer. p. 7. ISBN 9783642779534。
- ^ Husain, Sakhlaq (2025). 「エルサレム・スクエア・フラクタルについて、その構築と特性」 . Annals of Communications in Mathematics . 8 (2): 293– 298. doi : 10.62072/acm.2025.080211 . ISSN 2582-0818 .
- ^ Regueiro, Manuel Diaz; Allegue, Luis Diaz (2023年7月7日). 「メンガー型フラクタル構造の拡張アルゴリズム」(PDF) . Hyperseeing: SMI-SCULPT 2023: Shape Modeling International 2023, Shape Creation Using Layouts, Programs, & Technology (SCULPT) Event: Twenty-second Interdisciplinary Conference of the International Society of the Arts, Mathematics, and Architecture (PDF) . pp. 55– 62. ISBN 9781387733309。
外部リンク
[編集]- ワイスタイン、エリック W. 「キューブ」。MathWorld 。
- キューブ:インタラクティブな多面体モデル*
- インタラクティブアニメーションによる立方体の体積
- Cube(ロバート・ウェッブのサイト)