双曲空間

数学において、n次元の双曲空間（そうごうかん、英: hyperbolic space ）は、単連結でn次元のリーマン多様体であり、その曲率は負の値をとり、単純化のためしばしば−1とされる。^[¹^]これは同次であり、対称空間であるというより強い性質を満たす。明示的にリーマン計量で表されたの開部分集合としてこれを構築する方法は数多くあり、そのような構築はモデルと呼ばれる。最初に研究された例である双曲的2次元空間H ^2は、双曲平面とも呼ばれる。 $\mathbb {R} ^{n}$

双曲幾何学に関する最初の論文を発表した著者の名にちなんで、ロバチェフスキー空間またはボヤイ＝ロバチェフスキー空間と呼ばれることもあります。複素双曲空間と区別するために「実」という修飾語が付加されることもあります。

双曲的空間はグロモフ双曲的空間の原型となる。グロモフ双曲的空間は、負の曲率への総合的アプローチを介した微分幾何学的空間だけでなく、より組合せ論的な空間も含む広範な概念である。もう一つの一般化はCAT(−1)空間の概念である。

正式な定義とモデル

意味

-次元双曲空間または双曲的-空間は、通常と表記され、 -次元の単連結な完全リーマン多様体で、負の断面曲率が定数で -1 である唯一のものである。^[¹^]単一性とは、これらの性質を満たす任意の2つのリーマン多様体が互いに等長であることを意味する。これはキリング・ホップの定理の結果である。 $n$ $n$ $\mathbb {H} ^{n}$ $n$

双曲空間のモデル

上記のような空間の存在を証明するには、例えば、リーマン計量が簡単な式で与えられるの開部分集合として明示的に構成することができます。双曲空間には、このような構成やモデルが数多く存在し、それぞれが研究の異なる側面に適しています。前段落で述べたように、それらは互いに等長であり、いずれの場合も明示的に等長変換を与えることができます。以下に、それぞれの論文でより詳細に説明されている、よく知られたモデルの一覧を示します。 $\mathbb {R} ^{n}$

ポアンカレ半空間モデル：これは計量を持つ上半空間である $\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}:x_{n}>0\}$ ${\tfrac {dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{n}^{2}}{x_{n}^{2}}}$
ポアンカレ円板モデル：これは計量を持つの単位球体です。半空間モデルとの等長変換は、単位球面上の点を無限遠に送るホモグラフィーによって実現できます。 $\mathbb {R} ^{n}$ $4{\tfrac {dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{n}^{2}}{(1-(x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}))^{2}}}$
双曲面モデル: 前の 2 つのモデルとは対照的に、これは- 次元ミンコフスキー空間(リーマン多様体ではなくローレンツ多様体)の内部に等長的に埋め込まれた双曲面 - 空間を実現します。より正確には、上の二次形式を見ると、によって与えられる双曲面の上側シートの接空間への制限は定正であり、したがって、定曲率 -1 となるリーマン計量を与えます。前のモデルとの等長変換は、双曲面から平面への立体射影によって実現でき、球の場合、投影する頂点をとし、半空間の場合、射影空間内の円錐内の無限遠点をとります。 $n$ $(n+1)$ $q(x)=x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}-x_{n+1}^{2}$ $\mathbb {R} ^{n+1}$ $q(x)=-1$ $\{x_{n+1}=0\}$ $(0,\ldots,0,1)$ $q(x)=0$
ベルトラミ・クラインモデル: これはの単位球上に実現される別のモデルです。明示的な計量として与えられるのではなく、通常はミンコフスキー空間の双曲面モデルから原点からの水平接線平面 (つまり ) への立体射影を使用して得られるとして表されます。 $\mathbb {R} ^{n}$ $x_{n+1}=1$ $(0,\ldots,0)$
対称空間：双曲的-空間は、単純リー群（正の行列式を持つ二次形式の等長変換群）の対称空間として実現できる。集合として後者は剰余類空間である。双曲面モデルへの等長変換は、の連結成分を双曲面上に作用させることによって直接得られる。 $n$ $\mathrm {SO} (n,1)$ $q$ $\mathrm {SO} (n,1)/\mathrm {O} (n)$ $\mathrm {SO} (n,1)$

幾何学的特性

平行線

双曲空間は、ニコライ・ロバチェフスキー、ヤーノシュ・ボヤイ、カール・フリードリヒ・ガウスによって独立に発展した、ユークリッド空間に類似した幾何学的空間であるが、ユークリッドの平行線公理が成立しないことが前提とされている。その代わりに、平行線公理は次の代替（2次元）に置き換えられる。

任意の直線LとL上にない点Pが与えられた場合、 P を通り Lと交差しない異なる直線が少なくとも 2 つ存在します。

すると、 Pを通るそのような直線は無限に存在するという定理が成立する。この公理は、等長変換を除いて双曲平面を一意に特徴付けるものではない。曲率K < 0という追加の定数を指定しなければならない。しかし、相似性、つまり距離の概念を全体の定数分だけ変化させる全単射を除いては、双曲平面を一意に特徴付ける。適切な長さのスケールを選択すれば、一般性を失うことなくK = −1と仮定することができる。

ユークリッド埋め込み

ヒルベルトの定理によれば、双曲平面はユークリッド3次元空間に等長的に埋め込むことはできない。一方、ナッシュ埋め込み定理によれば、双曲n次元空間はより大きな次元のユークリッド空間（双曲平面の場合はナッシュ埋め込み定理により5次元）に等長的に埋め込むことができる。

ユークリッド空間に等長的に埋め込まれると、双曲空間のすべての点は鞍点になります。

体積増加と等周不等

双曲空間における球の体積は、ユークリッド空間のように多項式的に増加するのではなく、球の半径に対して指数関数的に増加します。つまり、が内の半径を持つ任意の球である場合、は半径1のユークリッド-球の全体積です。 $B(r)$ $r$ $\mathbb {H} ^{n}$ $\mathrm {Vol} (B(r))=\mathrm {Vol} (S^{n-1})\int _{0}^{r}\sinh ^{n-1}(t)dt$ $S^{n-1}$ $(n-1)$

双曲空間は線型等周不等式も満たす。つまり、境界の長さがである埋め込み円板の面積が最大となるような定数が存在する。これは、等周不等式が2乗となるユークリッド空間とは対照的である。 $i$ $r$ $i\cdot r$

その他のメトリックプロパティ

双曲的空間には、ユークリッド空間とは異なる計量的性質が数多く存在します。そのいくつかはグロモフ双曲的空間の設定に一般化できます。これは、負の曲率の概念を、大規模な性質のみを用いて一般計量空間に一般化したものです。より精緻な概念はCAT(−1)-空間です。

双曲多様体

負の定曲率 −1 を持つ任意の完備で連結な単連結多様体は、実双曲型空間 H n に等長である。結果として、負の定曲率⁻¹を持つ任意の閉多様体M、すなわち双曲型多様体の普遍被覆はH ⁿである。したがって、そのようなM はすべてH ⁿ ‍ / ‍ Γと表記できる。ここで Γ はH ⁿ上の等長写像の捩れのない離散群である。つまり、 Γ はSO ⁺ ( n , 1)内の格子である。

リーマン面

2次元双曲面は、リーマン面の言語に従って理解することもできます。均一化定理によれば、すべてのリーマン面は楕円面、放物面、または双曲面のいずれかです。ほとんどの双曲面には、非自明な基本群π ₁ = Γがあります。このようにして生じる群は、フックス群として知られています。基本群を法とする上半平面の商空間H ² ‍ / ‍ Γ は、双曲面のフックスモデルとして知られています。ポアンカレ半平面も双曲面ですが、単連結で非コンパクトです。これは、他の双曲面の普遍被覆です。

3 次元双曲面の類似した構成は、クラインのモデルです。

参照

参考文献

脚注

^ ^a ^bグリゴリアン、アレクサンダー；野口正一（1998）「双曲的空間上の熱核」ロンドン数学会誌、30（6）：643–650、doi：10.1112/S0024609398004780、MR 1642767

参考文献

ラトクリフ、ジョン・G.、「双曲多様体の基礎」、ニューヨーク、ベルリン、シュプリンガー・フェアラーク、1994年。
レイノルズ、ウィリアム F. (1993)「双曲面上の双曲幾何学」アメリカ数学月刊100:442–455。
ウルフ、ジョセフ A.定曲率空間、1967 年。67 ページを参照。

[gn98-1] グリゴリアン、アレクサンダー；野口正一（1998）「双曲的空間上の熱核」ロンドン数学会誌、30（6）：643–650、doi：10.1112/S0024609398004780、MR 1642767

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