線（幾何学）

幾何学において、直線（直線、通常は線と略される）は、幅、深さ、曲率を持たない無限に長い物体である。これは曲線の特殊なケースであり、定規、ぴんと張られた糸、光線といった物理的な物体の理想化である。直線は1次元の空間であり、 2次元、3次元、あるいはそれ以上の次元の空間に埋め込まれることもある。日常生活において、 「線」という言葉は、2点（端点）で区切られた直線の一部である線分を指すこともある。

ユークリッドの『原論』は、直線を「幅のない長さ」で「それ自身の点に関して一様に存在する」ものと定義し、幾何学の残りの部分が確立される、証明不可能な基本的な性質としていくつかの公理を導入しました。ユークリッド直線とユークリッド幾何学は、19世紀末以降に導入された非ユークリッド幾何学、射影幾何学、アフィン幾何学といった一般化との混同を避けるために導入された用語です。

性質

ユークリッドの 『原論』におけるギリシャの演繹幾何学では、一般直線（現在は曲線と呼ばれる）は「幅のない長さ」と定義され、直線（現在は線分と呼ばれる）は「それ自身の点と一直線に並ぶ」直線と定義されました。^[¹^]^：291これらの定義は、読者の物理的な経験に訴えかけるものであり、それ自体が定義されていない用語に依存しており、本文の残りの部分では定義が明示的に参照されることはありません。現代幾何学では、直線は通常、公理によって与えられた性質を持つ基本的な概念として捉えられるか、^[¹^]^：95、あるいは線形関係に従う点の集合として定義されます。例えば、実数を基本概念とし、幾何学を数値座標によって解析的に確立する場合などです

ユークリッド幾何学の公理的定式化、例えばヒルベルト（現代の数学者がユークリッドの公理に、認識された論理的欠落を埋めるために付け加えた）では、^{[ 1 ]}^{: 108}直線は、他の直線や点と関連する特定の特性を持つと述べられている。例えば、任意の 2 つの異なる点については、それらを含む唯一の直線が存在し、任意の 2 つの異なる直線は最大でも 1 つの点で交差する。^{[ 1 ]}^{: 300} 2次元（すなわち、ユークリッド平面）では、交差しない 2 直線は平行と呼ばれる。より高次元では、交差しない 2 直線は、平面に含まれる場合は平行であり、含まれない場合は斜めである。

ユークリッド平面上では、直線は2つの領域の境界として表すことができます。^{[ 2 ]}^：104有限個の直線の集合は、平面を凸多角形（無限の場合もある）に分割します。この分割は直線の配置として知られています。

高次元では

3次元空間では、変数x、y、zの1次方程式は平面を定義します。したがって、2つのそのような方程式は、それらが生み出す平面が平行でない限り、平面の交点である直線を定義します。より一般的には、n次元空間では、 n個の座標変数に関するn -1個の1次方程式は、適切な条件下で直線を定義します

より一般的なユークリッド空間R ⁿ（および他のすべてのアフィン空間）では、2つの異なる点aとbを通る直線Lは部分集合 $L=\left\{(1-t)\,a+tb\mid t\in \mathbb{R} \right\}.$ 上記の有向直線（または有向線）の方向は、基準点a ( t = 0 ) から目標点b ( t = 1 ) への方向、つまり相対ベクトルb − aの方向です。有向線は、特に回転軸など特別な役割を果たす場合は軸とも呼ばれます。^[³^]点aと点bを入れ替えると、反対の有向線が得られます。

同一線上の点

3点以上が同一直線上にある場合、それらは同一線上にあると言われます。3点が同一線上にない場合、それらを含む平面は1つだけ存在します

アフィン座標では、n次元空間の点X = ( x ₁、x ₂、...、x _n )、Y = ( y ₁、y ₂、...、y _n )、およびZ = ( z ₁、z ₂、...、z _n ) は、行列の階数が3 未満の場合、共線になります。特に、平面 ( n = 2) の 3 つの点の場合、上記の行列は正方であり、その行列式が 0 の場合に限り、点は共線になります。 ${\begin{bmatrix}1&x_{1}&x_{2}&\cdots &x_{n}\\1&y_{1}&y_{2}&\cdots &y_{n}\\1&z_{1}&z_{2}&\cdots &z_{n}\end{bmatrix}}$

同様に、平面上の3点についても同様、ある2点間の傾きが他の任意の2点間の傾きと等しい場合、かつその場合に限り、それらの点は同一直線上にあると言える（この場合、残りの2点間の傾きは他の2点間の傾きと等しくなる）。拡張すると、平面上のk点が同一直線上にある場合、かつその場合に限り、任意の( k -1)点間の傾きが同じであると言える。

ユークリッド幾何学では、2点aとb間のユークリッド距離d ( a , b )は、3点間の共線性を表すために次のように使われる。^[⁴^]^[⁵^]

点a、b、cが同一線上にあるのは、d ( x、a ) = d ( c、a ) かつd ( x、b ) = d ( c、b ) がx = cを意味する場合のみです。

ただし、この特性が当てはまらない距離の概念 (マンハッタン距離など) もあります。

一部の合成幾何学の場合のように、直線の概念が基本的な概念である幾何学では、共線性を決定する他の方法が必要になります。

他の人物との関係

ユークリッド幾何学では、すべての直線は合同であり、特定の直線を移動させることですべての直線が得られることを意味します。しかし、直線は他の幾何学的対象に対して特別な役割を果たす場合があり、その関係性に基づいて分類することができます。

たとえば、円錐曲線(円、楕円、放物線、双曲線) の場合、線は次のようになります。

接線は、円錐曲線に一点で接します。
円錐と2点で交わり、円錐の内部を通る割線^{[ 6 ]}
ユークリッド平面のどの点でも円錐曲線と交わらない外線、または
準線。点からその距離によって、その点が円錐曲線上にあるかどうかが判定されます。
座標線、線形座標次元

ユークリッド幾何学において平行性を決定する文脈では、横断線は互いに平行である場合もそうでない場合もある 2 本の線と交差する線です。

より一般的な代数曲線の場合、直線は次のようになります。

i本の割線がi点で曲線と交わり、重複なしで数えられる、または
漸近線とは、曲線が接触することなく任意に近づく線である。^{[ 7 ]}

三角形に関しては次のようになります。

オイラー線、
シムソン線、そして
中央線。

最大で2つの平行辺を持つ凸四辺形の場合、ニュートン線は2つの対角線の中点を結ぶ線です。^{[ 8 ]}

頂点が円錐上にある六角形の場合、パスカルの線が存在し、円錐が 2 本の線である特殊なケースではパップスの線が存在します。

平行線とは、同一平面上に存在する、決して交わらない直線のことです。交差する直線は、共通点を一つだけ持ちます。一致線は互いに重なり合います。つまり、一方の直線上にあるすべての点は、もう一方の直線上にも存在します。

垂直線は直角に交差する線である。^{[ 9 ]}

3 次元空間では、斜線は同じ平面上になく、したがって互いに交差しない線です。

公理的なシステムでは

総合幾何学では、直線の概念はしばしば原始的な概念とみなされ、^{[ 1 ]}^：95それは他の概念を用いて定義されるのではなく、それが満たさなければならない公理と呼ばれる特性によって定義されることを意味する。^{[ 10 ]}

しかし、直線の公理的な定義は概念の関連性を説明しておらず、初心者には抽象的すぎる場合が多い。そのため、直線とは何かを理解できるように、心のイメージや直感的な説明によって定義が置き換えられたり、補完されたりすることが多い。このような説明は定義と呼ばれることもあるが、数学的な証明には使用できないため、真の定義ではない。ユークリッドの『原論』における直線の「定義」はこれに該当し、^{[ 1 ]}^{: 95}定理の証明には決して使用されない。

定義

一次方程式

デカルト平面、あるいはより一般的にはアフィン座標系における直線は、線形方程式によって特徴付けられます。より正確には、すべての直線（垂直線を含む）は、座標（x、y）が線形方程式を満たすすべての点の集合です。つまり、 a 、 b 、 cは、 aとbがともにゼロにならないような固定された実数（係数）です。この形式を用いると、垂直線はb = 0となる方程式に対応します。 $L$ $L=\{(x,y)\mid ax+by=c\},$

さらに、ゼロでない場合はすべてを $c$ で割ることで、 $c = 1$ または $c = 0$ のいずれかを想定できます。

直線の方程式の書き方には様々な方法があり、代数的な操作によって互いに変換できます。上記の形式は標準形と呼ばれることもあります。定数項を左辺に置くと、方程式はとなり、これは方程式の一般形と呼ばれることもあります。しかし、この用語は広く受け入れられているわけではなく、多くの著者がこの2つの形式を区別していません。 $ax+by-c=0,$

これらの形は、一般的に、その形を記述するために必要な直線に関する情報（データ）の種類によって命名されます。直線に関する重要なデータには、傾き、x切片、直線上の既知の点、y切片などがあります。

2 つの異なる点を通る直線の方程式は、次のように表すことができます。 $x$ $0$ $\neq$ $x$ $1$ の場合、この方程式は次のように書き直すことができます。 2 次元では、垂直でない直線の方程式は、傾きと切片の形式で表されることが多いです。 $P_{0}(x_{0},y_{0})$ $P_{1}(x_{1},y_{1})$ $(y-y_{0})(x_{1}-x_{0})=(y_{1}-y_{0})(x-x_{0}).$ $y=(x-x_{0})\,{\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}+y_{0}$ $y=x\,{\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}+{\frac {x_{1}y_{0}-x_{0}y_{1}}{x_{1}-x_{0}}}\,.$

$y=mx+b$ ここで：

mは直線の傾きまたは勾配です
bは直線のy 切片です。
xは関数 $y$ $=$ $f$ $($ $x$ $)の$ 独立変数です。

点とを通る直線の傾きは、のとき、で与えられ、この直線の方程式はと書くことができます。 $A(x_{a},y_{a})$ $B(x_{b},y_{b})$ $x_{a}\neq x_{b}$ $m=(y_{b}-y_{a})/(x_{b}-x_{a})$ $y=m(x-x_{a})+y_{a}$

なお、三次元における直線は、2つの線形方程式の同時解として記述されることもあり、その場合、とは比例しません（関係式からが成り立ちます）。これは、三次元において、1つの線形方程式は通常、平面を記述し、直線は2つの異なる交差平面に共通するものであることから導き出されます。 $a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z-d_{1}=0$ $a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z-d_{2}=0$ $(a_{1},b_{1},c_{1})$ $(a_{2},b_{2},c_{2})$ $a_{1}=ta_{2},b_{1}=tb_{2},c_{1}=tc_{2}$ $t=0$

媒介変数方程式

媒介変数方程式は、特に3次元以上の線を指定するためにも使用されます。2次元以上の線は単一の線形方程式では記述 できないためです

3 次元では、線は多くの場合、媒介変数方程式によって記述されます。ここで、 ${\begin{aligned}x&=x_{0}+at\\y&=y_{0}+bt\\z&=z_{0}+ct\end{aligned}}$

x、y、zはすべて、実数にわたる独立変数tの関数です。
( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) は直線上の任意の点です。
a、b、cは直線の傾きと関連しており、方向ベクトル( a、b、c ) は直線に平行になります。

高次元の直線に対する媒介変数方程式は、直線上の 1 つの点と方向ベクトルの指定に基づいている点で似ています。

ヘッセ正規形

正規形（ドイツの数学者ルートヴィヒ・オットー・ヘッセにちなんでヘッセ^正規形^{とも呼ばれる}^）は、与えられた直線の正規セグメントに基づいています。正規セグメントは、原点からその直線に垂直に引かれた線分として定義されます。この線分は、原点と、その直線上の原点に最も近い点を結びます。平面上の直線の方程式の正規形は次のように与えられます。ここで、は正規セグメントの傾斜角（ $x$ 軸の単位ベクトルからこのセグメントに向かう角度）、 $p$ は正規セグメントの（正の）長さです。正規形は、すべての係数をで割り、さらにを掛け合わせることで標準形から導き出すことができます。 $x\cos \varphi +y\sin \varphi -p=0,$ $\varphi$ $ax+by=c$ ${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.$ $-1$ $c<0.$

傾き-切片形式や切片形式とは異なり、この形式は任意の直線を表すことができますが、2つの有限パラメータpと $p$ のみを指定する必要があります。 $p$ $> 0$ の場合、は $2$ $π$ を法として一意に定義されます。一方、直線が原点を通る場合（ $c$ $=$ $p$ $= 0$ ）、とを計算する際に $c$ $/|$ $c$ $|$ の項を省略すると、は $π$ を法としてのみ定義されることがわかります。 $\varphi$ $\varphi$ $\sin \varphi$ $\cos \varphi$ $\varphi$

その他の表現

ベクトル

点Aと点Bを通る直線のベクトル方程式は（λはスカラー）で与えられます $\mathbf {r} =\mathbf {OA} +\lambda \,\mathbf {AB}$

aがベクトルOA、bがベクトルOBである場合、直線の方程式は次のように表すことができます。 $\mathbf {r} =\mathbf {a} +\lambda (\mathbf {b} -\mathbf {a} )$

点Aから始まる光線は、λを極限として記述されます。一方の光線はλ ≥ 0のときに得られ、もう一方の光線はλ ≤ 0のときに得られます。

極座標

デカルト平面では、極座標 $（ r 、 θ ）$ は媒介変数方程式によってデカルト座標と関連付けられる： ^{[ 12 ]} $x=r\cos \theta ,\quad y=r\sin \theta .$

極座標では、原点(座標 $(0, 0)の点) を通らない直線の方程式は、$ $r$ $> 0$ およびと表すことができます。ここで、 $p$ は直線に垂直で、原点と直線で区切られた線分の (正の) 長さであり、は $x$ 軸からこの線分までの (方向付けられた) 角度です。 $r={\frac {p}{\cos(\theta -\varphi )}},$ $\varphi -\pi /2<\theta <\varphi +\pi /2.$ $\varphi$

$この式をx$ 軸と直線の間の角度で表すと便利な場合があります。この場合、 $r$ $> 0$ で式は次のようになります。 $\alpha =\varphi +\pi /2$ $r={\frac {p}{\sin(\theta -\alpha )}},$ $0<\theta <\alpha +\pi .$

これらの方程式は、直線方程式の通常の形式から、およびを設定し、次に正弦または余弦の角度差恒等式を適用することによって導くことができます。 $x=r\cos \theta ,$ $y=r\sin \theta ,$

これらの方程式は、直線の点と原点を頂点とし、直線と原点を通る垂線を辺とする直角三角形に、正弦と余弦の直角三角形の定義を適用することで幾何学的に証明することもできます。

$原点を通る直線には前述の形式は適用されないが、より簡単な式で表すことができる。原点を通りx$ 軸と角度をなす直線上の点の極座標は、次の式で表される。 $(r,\theta )$ $\alpha$ $(r,\theta )$ $r\geq 0,\qquad {\text{and}}\quad \theta =\alpha \quad {\text{or}}\quad \theta =\alpha +\pi .$

一般化

現代数学では、多様な幾何学が存在するため、直線の概念は幾何学の記述方法と密接に結びついています。例えば、解析幾何学では、平面上の直線は、与えられた線形方程式を満たす座標を持つ点の集合として定義されることがよくありますが、入射幾何学などのより抽象的な設定では、直線は、その直線上にある点の集合とは異なる独立したオブジェクトである場合があります

幾何学が公理の集合によって記述される場合、直線の概念は通常未定義のままとされる（いわゆるプリミティブオブジェクト）。直線の特性は、それらを参照する公理によって決定される。このアプローチの利点の1つは、幾何学の利用者に柔軟性を与えることである。例えば、微分幾何学では直線は測地線（2点間の最短経路）として解釈されるが、一部の射影幾何学では直線は2次元ベクトル空間（2つの独立したベクトルのすべての線形結合）である。この柔軟性は数学の域を超え、例えば物理学者は光線の進路を直線として考えることができる。

射影幾何学

射影幾何学の多くのモデルでは、直線の表現がユークリッド幾何学で視覚化される「直線」の概念に沿うことは稀である。楕円幾何学には、その典型的な例が見られる。^{[ 1 ]}^：108楕円幾何学の球面表現では、直線は正反対の点が特定された球面の大円で表現される。楕円幾何学の別のモデルでは、直線は原点を通るユークリッド平面で表現される。これらの表現は視覚的には異なるものの、この幾何学における直線の適切な表現となるすべての特性（例えば、2点が一意の直線を決定するなど）を満たしている。

直線の「短さ」と「直線性」は、直線上の任意の 2 点間の距離が最小化されるという特性として解釈され (三角不等式を参照)、一般化することができ、距離空間における測地線の概念につながります。

参照

注釈

^始点のない光線を考える場合があります。このような光線は、閉じた光線と言われる典型的な光線とは対照的に、開いた光線と呼ばれます

参考文献

^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^gリチャード・L.フェイバー（1983年）『ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学の基礎』ニューヨーク：マルセル・デッカー、ISBN 0-8247-1748-1
^フォスター、コリン（2010年）、数学指導のためのリソース、14～16ページ、ニューヨーク：コンティニュアム・インターナショナル・パブリッシング・グループ、ISBN 978-1-4411-3724-1、OCLC 747274805
^ Vialar Thierry (2023-08-22)、『数学ハンドブック』、 2026-01-20取得
^パドア、アレッサンドロ(1900)、Un nouveau système de définitions pour la géométrie euclidienne (フランス語)、国際数学者会議
^ラッセル、バートランド、『数学原理』、410ページ
^ Protter, Murray H. ; Protter, Philip E. (1988) 『解析幾何学による微積分』 Jones & Bartlett Learning, p. 62, ISBN 9780867200935
^ Nunemacher, Jeffrey (1999)、「漸近線、三次曲線、射影平面」、Mathematics Magazine、72 (3): 183– 192、CiteSeerX 10.1.1.502.72、doi : 10.2307/2690881、JSTOR 2690881
^アルシーナ、クラウディ、ネルセン、ロジャー・B.（2010）、チャーミング・プルーフ：エレガントな数学への旅、MAA、pp. 108– 109、ISBN 9780883853481（オンライン版、108ページ、Googleブックス）
^ケイ、デイビッド・C.（1969年）、カレッジジオメトリ、ニューヨーク：ホルト、ライナーハート、ウィンストン、p.114、ISBN 978-0030731006、LCCN 69-12075、OCLC 47870
^ Coxeter, HSM (1969), Introduction to Geometry (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, p. 4, ISBN 0-471-18283-4
^ボッチャー、マキシム（1915年）、平面解析幾何学：微分積分入門章付き、H.ホルト、44ページ、2016年5月13日時点のオリジナルからアーカイブ
^ Torrence, Bruce F.; Torrence, Eve A. (2009年1月29日) 『MATHEMATICA入門：微積分学、微積分学、線形代数のハンドブック』、ケンブリッジ大学出版局、314ページ、ISBN 9781139473736
^ワイリー・ジュニア、CR（1964年）、幾何学の基礎、ニューヨーク：マグロウヒル、59ページ、定義3、ISBN 0-07-072191-2{{citation}}: ISBN / Date incompatibility (help)
^ペドー、ダン（1988年）『幾何学：総合講座』、ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー、2ページ、ISBN 0-486-65812-0
^シドロフ、LA (2001) [1994]、「角度」、数学百科事典、EMSプレス
^スチュワート、ジェームズ・B. ; レドリン、ローター; ワトソン、サリーム (2008) 『大学代数（第5版）』ブルックス・コール、pp. 13– 19、ISBN 978-0-495-56521-5
^パターソン、BC (1941)、「反転平面」、アメリカ数学月刊誌、48 (9): 589–599、doi : 10.2307/2303867、JSTOR 2303867、MR 0006034

外部リンク

「直線（曲線）」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
結び目を切る直線の方程式

[13] 始点のない光線を考える場合があります。このような光線は、閉じた光線と言われる典型的な光線とは対照的に、開いた光線と呼ばれます

[:0-1] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^gリチャード・L.フェイバー（1983年）『ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学の基礎』ニューヨーク：マルセル・デッカー、ISBN 0-8247-1748-1

[2] フォスター、コリン（2010年）、数学指導のためのリソース、14～16ページ、ニューヨーク：コンティニュアム・インターナショナル・パブリッシング・グループ、ISBN 978-1-4411-3724-1、OCLC 747274805

[i624-3] Vialar Thierry (2023-08-22)、『数学ハンドブック』、 2026-01-20取得

[4] パドア、アレッサンドロ(1900)、Un nouveau système de définitions pour la géométrie euclidienne (フランス語)、国際数学者会議

[5] ラッセル、バートランド、『数学原理』、410ページ

[cag-6] Protter, Murray H. ; Protter, Philip E. (1988) 『解析幾何学による微積分』 Jones & Bartlett Learning, p. 62, ISBN 9780867200935

[7] Nunemacher, Jeffrey (1999)、「漸近線、三次曲線、射影平面」、Mathematics Magazine、72 (3): 183– 192、CiteSeerX 10.1.1.502.72、doi : 10.2307/2690881、JSTOR 2690881

[Alsina-8] アルシーナ、クラウディ、ネルセン、ロジャー・B.（2010）、チャーミング・プルーフ：エレガントな数学への旅、MAA、pp. 108– 109、ISBN 9780883853481（オンライン版、108ページ、Googleブックス）

[9] ケイ、デイビッド・C.（1969年）、カレッジジオメトリ、ニューヨーク：ホルト、ライナーハート、ウィンストン、p.114、ISBN 978-0030731006、LCCN 69-12075、OCLC 47870

[10] Coxeter, HSM (1969), Introduction to Geometry (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, p. 4, ISBN 0-471-18283-4

[11] ボッチャー、マキシム（1915年）、平面解析幾何学：微分積分入門章付き、H.ホルト、44ページ、2016年5月13日時点のオリジナルからアーカイブ

[12] Torrence, Bruce F.; Torrence, Eve A. (2009年1月29日) 『MATHEMATICA入門：微積分学、微積分学、線形代数のハンドブック』、ケンブリッジ大学出版局、314ページ、ISBN 9781139473736

[14] ワイリー・ジュニア、CR（1964年）、幾何学の基礎、ニューヨーク：マグロウヒル、59ページ、定義3、ISBN 0-07-072191-2{{citation}}: ISBN / Date incompatibility (help)

[15] ペドー、ダン（1988年）『幾何学：総合講座』、ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー、2ページ、ISBN 0-486-65812-0

[16] シドロフ、LA (2001) [1994]、「角度」、数学百科事典、EMSプレス

[17] スチュワート、ジェームズ・B. ; レドリン、ローター; ワトソン、サリーム (2008) 『大学代数（第5版）』ブルックス・コール、pp. 13– 19、ISBN 978-0-495-56521-5

[18] パターソン、BC (1941)、「反転平面」、アメリカ数学月刊誌、48 (9): 589–599、doi : 10.2307/2303867、JSTOR 2303867、MR 0006034

[

[ 2 ]

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[ 7 ]

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[ 9 ]

[ 10 ]

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