ソクル（数学）

数学において、 「socle」という用語には関連する意味がいくつかあります。

グループの台座

群論の文脈において、群Gの基底（socle ）は soc( G ) と表記され、Gの極小正規部分群によって生成される部分群である。群が極小の非自明正規部分群を持たない場合（すなわち、すべての非自明正規部分群が別のそのような部分群を適切に含める場合）もあり、その場合、基底は恒等群によって生成される部分群と定義される。基底は極小正規部分群の直積である。^{[ 1 ]}

例として、生成元uを持つ巡回群Z ₁₂を考えてみましょう。この群には2つの極小正規部分群があり、1つはu ⁴によって生成され（3つの元を持つ正規部分群を与える）、もう1つはu ^{6によって生成され（2つの元を持つ正規部分群を与える）、したがって、} Z ₁₂の基底はu ⁴とu ⁶によって生成される群であり、これはu ²によって生成される群と全く同じです。

台は特性部分群であり、したがって正規部分群である。しかし、必ずしも推移的に正規であるとは限らない。

群Gが有限可解群である場合、その基底は基本アーベルp群の積として表すことができます。したがって、この場合、基底は様々なpに対するZ / p Zのコピーの積に過ぎず、同じp が積の中に複数回出現することもあります。

モジュールの台座

加群論および環論の文脈において、環上の加群の基底は、 の最小非零部分加群の和として定義される。これは、加群の根基の概念と双対であると考えられる。集合記法では、 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \mathrm {soc} (M)=\sum _{N{\text{ は }}M}N の単純な部分加群である。}$

同様に、

${\displaystyle \mathrm {soc} (M)=\bigcap _{E{\text{ は }}M}E の本質的サブモジュールである。}$

環の底は、 環内の2つの集合のうちの1つを指します。を右-加群として考えるとが定義され、 を左-加群として考えるとが定義されます。これらの底はどちらも環イデアルであり、必ずしも等しくないことが知られています。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathrm {soc} (R_{R})}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathrm {soc} (_{R}R)}$

• がアルティン加群である場合、自体はの本質的部分加群です。${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathrm {soc} (M)}$ ${\displaystyle M}$

実際、が半アルティニアン加群である場合、 はそれ自体がの本質的部分加群です。さらに、が左半アルティニアン環上の非零加群 である場合、 はそれ自体がの本質的部分加群です。これは、左半アルティニアン環 上の任意の非零加群が半アルティニアン加群であるためです。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathrm {soc} (M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathrm {soc} (M)}$ ${\displaystyle M}$

• モジュールが半単純である場合、かつその場合に限ります 。すべてのモジュールに対してとなる環は、正確に半単純環です。${\displaystyle \mathrm {soc} (M)=M}$ ${\displaystyle \mathrm {soc} (M)=M}$ ${\displaystyle M}$
• ${\displaystyle \mathrm {soc} (\mathrm {soc} (M))=\mathrm {soc} (M)}$ 。
• ${\displaystyle M}$ が有限生成加群である場合、かつ が有限生成であり、が の本質部分加群である場合に限ります。${\displaystyle \mathrm {soc} (M)}$ ${\displaystyle \mathrm {soc} (M)}$ ${\displaystyle M}$
• 半単純モジュールの和は半単純であるため、モジュールの基底は唯一の最大半単純サブモジュールとして定義することもできます。
• の定義から、 がを消滅させることは容易に分かる。が有限次元単位代数であり有限生成-加群である場合、のヤコブソン根号によって消滅する要素から、 のソクルが正確に構成される。^{[ 2 ]}${\displaystyle \mathrm {rad} (R)}$ ${\displaystyle \mathrm {rad} (R)}$ ${\displaystyle \mathrm {soc} (R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

嘘代数の底

リー代数の文脈では、対称リー代数の基底とは、その構造自己同型の固有空間であり、固有値−1に対応する 。（対称リー代数は、その基底と余基の直和に分解される。）^{[ 3 ]}

参照

• 入射包
• モジュールの根号
• コソクル

参考文献

1. ロビンソン 1996、p.87。
2. JL Alperin ; Rowen B. Bell, Groups and Representations , 1995, ISBN 0-387-94526-1、136ページ
3. ミハイル・ポストニコフ『幾何学 VI: リーマン幾何学』 2001年、 ISBN 3540411089、98ページ

• Alperin, JL ;ベル、ローウェン B. (1995)。グループと表現。スプリンガー・フェルラーグ。 p.  136．ISBN 0-387-94526-1。
• アンダーソン、フランク・ワイリー著、フラー、ケント・R.著 (1992). 『環と加群の圏』シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 978-0-387-97845-1。
• ロビンソン、デレク・JS（1996）、群論講座、数学大学院テキスト、第80巻（第2版）、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、pp. xviii+499、doi：10.1007/978-1-4419-8594-1、ISBN 0-387-94461-3、MR  1357169