超弦理論

超弦理論は、自然界のすべての粒子と基本的な力を、小さな超対称弦の振動としてモデル化することで、1つの理論で説明しようとする試みです。

「超弦理論」は超対称弦理論の略称です。ボソン弦理論とは異なり、フェルミオンとボソンの両方を考慮し、重力をモデル化するために超対称性を組み込んだ弦理論のバージョンであるためです。

第二次超弦革命以来、 5 つの超弦理論 (タイプ I、タイプ IIA、タイプ IIB、HO 、 HE ) は、暫定的にM 理論と呼ばれる単一の理論の異なる限界であると見なされています。

背景

理論物理学における最も深い未解決問題の一つは、量子重力理論の定式化である。この理論は、重力を記述し大規模構造に適用される一般相対性理論と、原子スケールで作用する他の3つの基本的な力を記述する量子力学、より具体的には場の量子論の両方を統合する。

量子場理論、特に標準模型は、現在、基本的な力を記述する上で最も成功した理論であるが、関心のある物理量を計算すると、単純に無限大の値が得られる。物理学者たちは、これらの無限大を「除去」し、実験的に検証可能な有限値を得るための繰り込みという手法を開発した。この手法は、4つの基本的な力のうち、電磁力、強い力、弱い力の3つには有効であるが、繰り込み不可能な重力には有効ではない。したがって、重力の量子理論の開発には、他の力に用いられるものとは異なる手法が必要である。[ 1 ]：4

超弦理論、あるいはより一般的に弦理論によれば、現実の基本的な構成要素はプランク長さ（約10 −33  cm）。弦理論の魅力的な特徴は、基本粒子を弦の励起として見ることができる点である。弦の張力はプランク力（10 44  N）。重力子（重力の 伝達粒子として提案されている）は、理論によれば波の振幅がゼロの弦であると予測されている。

歴史

弦理論のスペクトルにフェルミオンが含まれる可能性を研究した結果、西洋では超対称性が発明されました。[ 2 ] 1971年、JLジャーヴェイスとB・サキタは2次元の場合に「スーパーゲージ」という概念、つまりボソンとフェルミオン間の数学的変換を適用しました。[ 3 ]フェルミオン振動を含む弦理論は現在「超弦理論」として知られています。

超弦理論は、 1970 年代に始まって以来、多くのさまざまな研究者の共同の努力により、量子重力、素粒子および凝縮物質物理学、宇宙論、純粋数学とのつながりを持つ幅広く多様な主題に発展してきました。

物的証拠の欠如

超弦理論は超対称性に基づいています。超対称粒子は未だ発見されておらず、2011年に大型ハドロン衝突型加速器（LHC）で、また2006年にテバトロンで行われた初期研究では、いくつかの範囲が除外されています。[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]例えば、極小超対称標準模型のスクォークの質量制限は最大1.1 TeV、グルーイノは最大500 GeVです。[ 7 ] LHCからは、大きな余剰次元の存在を示唆する報告は出されていません。真空ランドスケープの概念において、真空の数を制限する原理は今のところ提示されていません。[ 8 ]

素粒子物理学者の中には、超対称性の実験的検証の欠如に失望した者もおり、すでに超対称性を放棄している者もいる。[ 9 ]ロンドン大学ユニバーシティ・カレッジのジョン・バターワースは、トップクォークの超対称粒子を数TeVまで除けば、高エネルギー領域においても超対称性の兆候は見られなかったと述べた。ケンブリッジ大学のベン・アラナックは、LHCでの次回の実験で新たな粒子が発見されなければ、近い将来にCERNで超対称性が発見される可能性は低いと述べている。 [ 9 ]

余分な次元

我々の物理的空間は3 つの大きな空間次元を持つことが観測されており、時間とともに、時空として知られる無限の 4 次元連続体である。しかし、理論が 4 次元以上を含むことを阻むものは何もない。弦理論の場合、一貫性を保つためには時空が 10 次元（3D の通常空間 + 1 つの時間（1 つの時間次元は必須ではなく、F 理論[ 10 ]によれば多次元でもよい）+ 6D の超空間）を持つことが必要である。D = 10 の臨界次元は、もともとJohn H. Schwarzによって発見された。[ 11 ]我々が 3 次元の空間しか見ていないという事実は、2 つのメカニズムのいずれかで説明できる。余分な次元が非常に小さなスケールでコンパクト化されているか、そうでなければ我々の世界は、重力以外のすべての既知の粒子が制限される、 ブレーンに対応する3 次元部分多様体上に存在する可能性がある。

余剰次元がコンパクト化されると、余分な6次元はカラビ・ヤウ多様体の形をとる必要がある。より完全なM理論の枠組みでは、それらはG2多様体の形を取らなければならないだろう。弦理論/M理論の特定の正確な対称性はT双対性（運動量モードを巻き数と交換し、半径Rのコンパクト次元を半径1/Rに変換する）[ 1 ]：247 によって、異なるカラビ・ヤウ多様体間のミラー対称性と呼ばれる同値性の発見につながった。

超弦理論は、余分な空間次元を提案した最初の理論ではありません。4 +1次元（5D）の重力理論を提唱したカルツァ・クラインの理論を基に構築されたものと見ることができます。円上にコンパクト化されると、余分な次元の重力は、残りの3つの大きな空間次元の観点から電磁気学を正確に記述します。したがって、元のカルツァ・クラインの理論は、少なくとも古典レベルでは、ゲージ相互作用と重力相互作用の統一のプロトタイプですが、さまざまな理由（弱い力と強い力の欠落、パリティの破れの欠如など）により、自然を記述するには不十分であることが知られています。既知のゲージ力を再現するには、より複雑なコンパクト形状が必要です。また、一貫性のある基本的な量子理論を得るには、余分な次元だけでなく、弦理論へのアップグレードが必要です。

超弦理論の数

理論物理学者たちは、5つの別々の超弦理論の存在に悩まされていました。このジレンマに対する解決策の一つは、1990年代のいわゆる第二の超弦革命の始まりに示唆されました。それは、5つの超弦理論は、M理論と呼ばれる単一の基礎理論の異なる限界である可能性を示唆しています。これは依然として仮説の域を出ません。[ 12 ]

弦理論
タイプ 時空の次元SUSYジェネレータ キラル 開放弦 ヘテロティックコンパクト化ゲージ群タキオン
ボソン（閉じた） 26 N = 0 いいえ いいえ いいえ なし はい
ボソン（オープン） 26 N = 0 いいえ はい いいえ ウ(1) はい
私 10 N = (1,0) はい はい いいえ SO(32) いいえ
IIA 10 N = (1,1) いいえ いいえ いいえ ウ(1) いいえ
IIB 10 N = (2,0) はい いいえ いいえ なし いいえ
HO 10 N = (1,0) はい いいえ はい SO(32) いいえ
彼 10 N = (1,0) はい いいえ はい 東8 ×東8いいえ
M理論 11 N = 1 いいえ いいえ いいえ なし いいえ

一貫性のある 5 つの超弦理論は次のとおりです。

カイラルゲージ理論は、異常性のために矛盾が生じる可能性があります。これは、特定の1ループファインマン図がゲージ対称性の量子力学的破れを引き起こす場合に発生します。この異常性は、グリーン・シュワルツ機構によって打ち消されました。

超弦理論は5つしかないにもかかわらず、実際の実験で詳細な予測を行うには、理論がどのような物理的構成になっているかという正確な情報が必要です。そのため、超弦理論を検証する取り組みは、天文学的な数の超弦理論が存在するため、非常に複雑になっています。10,500個以上の配置は、私たちの世界と整合するための基本要件の一部を満たしています。プランクスケールの極端に遠いことと並んで、これが超弦理論を検証するのが難しいもう一つの大きな理由です。

超弦理論の数に対するもう一つのアプローチは、合成代数と呼ばれる数学的構造を参照するものである。抽象代数の知見によれば、実数体上にはわずか7つの合成代数が存在する。1990年、オーストラリアの物理学者R.フットとGCジョシは、「7つの古典的超弦理論は、7つの合成代数と一対一に対応している」と述べた。[ 13 ]

一般相対論と量子力学の統合

一般相対性理論は、通常、かなり広い時空領域における大きな質量の物体が関わる状況を扱います（小さな距離に適用すると、しばしば量子力学と矛盾します）。一方、量子力学は、一般的に原子スケール（小さな時空領域）のシナリオに用いられます。この2つが併用されることは稀で、最も一般的に組み合わせられるのはブラックホールの研究です。ブラックホールはピーク密度、つまり空間内に存在可能な物質の最大量と非常に小さな面積を持つため、そのような場所の状況を予測するには、この2つを同期させて用いる必要があります。しかし、併用すると方程式が崩れ、虚数距離や1次元未満といった不可能な答えが導き出されます。

これらの不一致の主な問題は、プランクスケール（長さの基本的な小さな単位）の長さにおいて、一般相対性理論は滑らかで流れるような表面を予測するのに対し、量子力学はランダムで歪んだ表面を予測し、これらはまったく両立しないという点です。 超弦理論はこの問題を解決し、古典的な点粒子の概念を弦に置き換えます。これらの弦の平均直径はプランク長さで、分散は極めて小さいため、プランクスケールの長さの次元的な歪みという量子力学の予測は完全に無視されます。また、これらの表面はブレーンとしてマッピングできます。これらのブレーンは、それらの間にモルフィズムを持つオブジェクトとして見ることができます。この場合、モルフィズムはブレーンAとブレーンBの間に伸びる弦の状態になります。

特異点が回避されるのは、「ビッグクランチ」の観測結果がゼロサイズに達することは決してないからです。実際、宇宙が「ビッグクランチ」のようなプロセスを開始する場合、弦理論によれば、宇宙は弦1本分の大きさよりも小さくなることはなく、そうなった時点で宇宙は膨張し始めるはずです。

数学

Dブレーン

Dブレーンは10次元弦理論における膜状の物体である。膜を含む11次元M理論のカルツァ＝クライン・コンパクト化の結果として生じると考えられる。幾何学的理論のコンパクト化は余分なベクトル場を生成するため、弦理論の作用にU(1)ベクトル場を追加することで、Dブレーンを作用に含めることができる。

∂z→∂z+私あz（z、z¯）{\displaystyle \partial _{z}\rightarrow \partial _{z}+iA_{z}(z,{\overline {z}})}

タイプIの開弦理論では、開弦の端は常にDブレーン表面に接している。SU(2)ゲージ場のようなより多くのゲージ場を持つ弦理論は、11次元を超える高次元理論のコンパクト化に対応するが、これは現在まで不可能と考えられている。さらに、Dブレーンに接するタキオンは、それらのDブレーンが消滅に関して不安定であることを示す。タキオンの全エネルギーは、Dブレーンの全エネルギーである（あるいはそれを反映する）。

なぜ超弦理論が 5 つあるのですか?

10次​​元超対称理論では、32成分のマヨラナスピノルが許容されます。これは、16成分のマヨラナ-ワイル（カイラル）スピノルのペアに分解できます。この2つのスピノルのカイラリティが同じか反対かによって、不変量を構成する方法は様々です。

超弦モデル不変
異質性∂zXμ−私θL¯Γμ∂zθL{\displaystyle \partial _{z}X^{\mu }-i{\overline {\theta _{L}}}\Gamma ^{\mu }\partial _{z}\theta _{L}}
IIA∂zXμ−私θL¯Γμ∂zθL−私θR¯Γμ∂zθR{\displaystyle \partial _{z}X^{\mu }-i{\overline {\theta _{L}}}\Gamma ^{\mu }\partial _{z}\theta _{L}-i{\overline {\theta _{R}}}\Gamma ^{\mu }\partial _{z}\theta _{R}}
IIB∂zXμ−私θL1¯Γμ∂zθL1−私θL2¯Γμ∂zθL2{\displaystyle \partial _{z}X^{\mu }-i{\overline {\theta _{L}^{1}}}\Gamma ^{\mu }\partial _{z}\theta _{L}^{1}-i{\overline {\theta _{L}^{2}}}\Gamma ^{\mu }\partial _{z}\theta _{L}^{2}}

ヘテロティック超弦には、上で示したようにSO(32)とE8×E8の2つのタイプがあり、タイプIの超弦には開いた弦が含まれます。

超弦理論を超えて

5 つの超弦理論は、おそらく膜を含むより高次元の理論に近似できると考えられます。この作用は 4 次以上の項を含むためガウス分布ではないため、関数積分は非常に解くのが難しく、これがトップクラスの理論物理学者を困惑させてきました。エドワード・ウィッテンは、超弦理論の既知の対称性から補間する膜を含む、M 理論と呼ばれる 11 次元の理論の概念を普及させました。高次元には膜モデルやその他の非膜モデルが存在することが判明するかもしれません。これは、非可換幾何学など、自然の新しい未知の対称性が見つかったときに受け入れられる可能性があります。ただし、SO(16) は最大の例外リー群である E8 の最大部分群であり、標準モデルを含むのに十分すぎるほど大きいため、16 がおそらく最大値であると考えられています。関数を使わない 4 次積分は解くのがより簡単なので、将来に希望があります。これは級数解であり、aがゼロでなく負の場合には常に収束します。

∫−∞∞経験⁡（1つの×4+b×3+c×2+d×+f）d×＝ef∑n、メートル、p＝0∞b4n（4n）!c2メートル（2メートル）!d4p（4p）!Γ（3n+メートル+p+14）1つの3n+メートル+p+14{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\exp({ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+f})\,dx=e^{f}\sum _{n,m,p=0}^{\infty }{\frac {b^{4n}}{(4n)!}}{\frac {c^{2m}}{(2m)!}}{\frac {d^{4p}}{(4p)!}}{\frac {\Gamma (3n+m+p+{\frac {1}{4}})}{a^{3n+m+p+{\frac {1}{4}}}}}}

膜の場合、この級数は弦理論では見られないさまざまな膜相互作用の合計に対応します。

コンパクト化

高次元理論の探究には、10次元超弦理論を考察し、より難解な結果をコンパクト化された次元の観点から解釈することがしばしば含まれる。例えば、Dブレーンは11次元M理論ではコンパクト化された膜状構造として見られる。12次元F理論やそれを超える高次元理論は、U(1)よりも高いゲージ項など、他の効果をもたらす。Dブレーン作用における余剰ベクトル場(A)の成分は、隠れた余剰座標(X)と考えることができる。しかし、超対称性を含む既知の対称性により、スピノルの成分は現在32 に制限されており、次元数は 11 （時間次元を 2 つ含める場合は 12）に制限されます。一部の物理学者（例: John Baezら) は、最大直交部分群 SO(10)、SO(12)、SO(16) を持つ例外的なリー群E 6、E 7、E 8 が、10、12、16 次元の理論に関連しているのではないかと推測しています。10 次元は弦理論に対応し、12 次元と 16 次元の理論はまだ発見されていませんが、それぞれ 3 次元ブレーンと 7 次元ブレーンに基づく理論になります。ただし、これは弦理論コミュニティ内では少数派の見解です。 E 7はある意味で F 4 の四元数化、E 8は F 4 の八元数化であるため、12次元および16次元の理論が存在するとすれば、それぞれ四元数と八元数に基づく非可換幾何学を伴う可能性がある。上記の議論から、物理学者は超弦理論を現在の10次元理論を超えて拡張するための多くのアイデアを持っているが、これまでのところどれも成功していないことがわかる。

カック・ムーディ代数

弦理論は無限個のモードを持つことができるため、弦理論を記述するために使用される対称性は無限次元リー代数に基づいています。M理論の対称性として考えられてきたカッツ・ムーディ代数には、E 10と E 11 、およびそれらの超対称拡張があります。

参照

参考文献

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