幾何学的ラングランズ対応

数学において、幾何学的ラングランズ対応（げんけいれんラングランズたいりょく）は代数幾何学と表現論を関連付ける。これは、ラングランズ対応を、元の数論的バージョンに現れる数体を函数体に置き換え、代数幾何学の手法を適用することで再定式化したものである。^{[ 1 ]}この対応は、1960年代後半に元の形を定式化したカナダの数学者ロバート・ラングランズ にちなんで名付けられた。

幾何学的ラングランズ予想は、幾何学的ラングランズ対応の存在を主張します。

背景

数学において、古典ラングランズ対応（らんぐらんずたい）は、数論と表現論を関連付ける結果と予想の集合である。1960年代後半にロバート・ラングランズによって定式化されたラングランズ対応は、フェルマーの最終定理を特別なケースとして含む谷山・志村予想など、数論における重要な予想と関連している。 ^{[ 1 ]}

ラングランズ対応は、大域体（および局所体）に対して定式化することができ、大域体は数体または大域関数体に分類されます。数体に対する古典的なラングランズ対応を確立することは非常に困難であることが証明されています。その結果、一部の数学者は、ある意味で扱いやすいことが証明されている、大域関数体に対する幾何学的なラングランズ対応を提唱しました。^{[ 2 ]}

関数体上の一般線型群 に対する幾何学的ラングランズ予想は、1987年にウラジミール・ドリンフェルドとジェラール・ローモンによって定式化された。^{[ 3 ] [ 4 ]}${\displaystyle GL(n,K)}$ ${\displaystyle K}$

状態

幾何学的ラングランズ予想は1983年にピエール・ドリーニュによって証明され、ドリンフェルドによって証明された。 ^{[ 5 ] [ 6 ]}${\displaystyle GL(1)}$ ${\displaystyle GL(2)}$

2024年5月6日、デニス・ゲイツゴリーを含む数学者チームによって、圏論的非分岐幾何学的ラングランズ予想の証明が発表された。^{[ 7 ] [ 8 ]}この証明は5本の論文に渡る1,000ページ以上に及び、「非常に複雑で、ほとんど誰も説明できない」と評されている。ドリンフェルドは、この結果の重要性を他の数学者に伝えることさえ「非常に困難で、ほぼ不可能」と評した。^{[ 9 ]}

物理学とのつながり

2007年の論文で、アントン・カプースチンとエドワード・ウィッテンは、幾何学的ラングランズ対応と特定の量子場の理論の特性であるS双対性との間の関連性について説明した。^{[ 10 ]}

2018年にアーベル賞を受賞した際、ラングランズは彼のオリジナルのラングランズ対応に似たツールを使って幾何学計画を再定式化した論文を発表しました。^{[ 11 ] [ 12 ]}ラングランズのアイデアはエティンゴフ、フレンケル、カジュダンによってさらに発展させられました。^{[ 13 ]}

注記

1. フレンケル 2007、3ページ。
2. フレンケル 2007、3,24頁。
3. フレンケル 2007、46ページ。
4. ローモン、ジェラール(1987)。 「Correspondance de Langlands géométrique pour les corps de fonctions」。デューク数学ジャーナル。54 (2): 309–359。土井: 10.1215/S0012-7094-87-05418-4。
5. フレンケル 2007、31、46ページ。
6. Drinfeld, Vladimir G. (1983). 「有限体上の曲線の基本群の2次元ℓ進表現とGL(2)上の保型形式」. American Journal of Mathematics . 105 (1): 85– 114. doi : 10.2307/2374382 . JSTOR 2374382 . 
7. 「幾何学的ラングランズ予想の証明」 people.mpim-bonn.mpg.de . 2024年7月9日閲覧。
8. Klarreich, Erica (2024年7月19日). 「記念碑的な証明が幾何学的ラングランズ予想を解決」 . Quanta Magazine . 2024年7月20日閲覧。
9. ウィルキンス、アレックス（2024年5月20日）「信じられないほど複雑な数学の証明は、ほとんど誰も説明できない」ニューサイエンティスト誌。2024年7月9日閲覧。
10. カプースチンとウィッテン 2007
11. 「あなたが聞いたことのない最も偉大な数学者」 The Walrus 2018年11月15日2020年2月17日閲覧。
12. ロバート・ラングランズ (2018). 「Об аналитическом виде геометрической теории автоморфных форм1」(PDF)。高等研究所。
13. エティンゴフ, パベル; フレンケル, エドワード; カズダン, デイヴィッド (2021-04-12). 「複素曲線に対するラングランズ対応の解析的バージョン」. ノビコフ, セルゲイ; クリチェヴァー, イゴール; オギエヴェツキー, オレグ; シュロスマン, セニャ (編).積分可能性、量子化、幾何学: II. 量子理論と代数幾何学. プロビデンス, ロードアイランド: アメリカ数学協会. pp.  137– 202. arXiv : 1908.09677 . ISBN 978-1-4704-5592-7。

参考文献

• フレンケル、エドワード(2007). 「ラングランズ・プログラムと共形場理論に関する講義」.数論、物理学、幾何学のフロンティア II . シュプリンガー. pp.  387– 533. arXiv : hep-th/0512172 . Bibcode : 2005hep.th...12172F . doi : 10.1007/978-3-540-30308-4_11 . ISBN 978-3-540-30307-7. S2CID  119611071 .
• カプースチン, アントン; ウィッテン, エドワード (2007). 「電磁双対性と幾何学的ラングランズ・プログラム」. Communications in Number Theory and Physics . 1 (1): 1– 236. arXiv : hep-th/0604151 . Bibcode : 2007CNTP....1....1K . doi : 10.4310/cntp.2007.v1.n1.a1 . S2CID  30505126 .

外部リンク

• ウィキクォートにおける幾何学的ラングランズ対応に関する引用
• nLabにおける量子幾何学的ラングランズ対応