ヘッセ多面体
ヘッセ多面体
正投影図（三角形の3辺は黒い辺で囲まれています）
シュレーフリ記号3 {3} 3 {3} 3 3(24)3(24)3
コクセター図
面27 3 {3} 3
辺72 3 {}
頂点27
ペトリー多角形十二角形
ファン・オス多角形12 3 {4} 2
シェパード群L 3 = 3 [3] 3 [3] 3、位数648
二重多面体自己双対
プロパティレギュラー

幾何学において、ヘッセ多面体（へッセんたにほうめん、英: Hessian polyhedron）は、正多面体3 {3} 3 {3} 3、, にあります。頂点は27個、辺は72個、面は27個あります。自己双対です。 C3{\displaystyle \mathbb {C}^{3}}

コクセターは、ルートヴィヒ・オットー・ヘッセにちなんで、ヘッセン配置 （9 4 12 3 ）（12の直線上に3つずつ並んだ9つの点と、各点を通る4本の直線）を共有していることから、この図形をヘッセンと名付けました。[ 1 ][94312]{\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}9&4\\3&12\end{smallmatrix}}\right]}

その複素反射群は3 [3] 3 [3] 3または、648番の命令で、ヘッセングループとも呼ばれる。27部ある。各頂点に24次の が存在する。24個の3次の反射を持つ。コクセター数は12で、基本不変量の次数は3、6、12であり、これは多面体の射影対称性からわかる。

ウィッティング多面体、3 {3} 3 {3} 3 {3} 3、ヘッセ多面体をセルと頂点図形として含みます。

これは2 21多面体として実数表現され、6次元空間において、27個の頂点を共有する216本の辺は、72本の3 { }辺を3本の単純な辺として表したものと見ることができます。

座標

27個の頂点には、(λ, μ = 0, 1, 2) の 座標を与えることができますC3{\displaystyle \mathbb {C}^{3}}

(0,ω λ ,−ω μ )
(−ω μ ,0,ω λ )
(ω λ ,−ω μ ,0)

どこ。 ω＝−1＋私32{\displaystyle \omega ={\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}}

構成として

三角形の3辺が黒で縁取られ、1つの面が青で縁取られたヘッセ多面体 ヘッセン多面体における 12個のヴァン・オス多面体のうちの1つ、3 {4} 2

その対称性は3 [3] 3 [3] 3または、命令648。[ 2 ]

3 {3} 3 {3} 3の構成行列は次の通りである: [ 3 ]

[278837238827]{\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}27&8&8\\3&72&3\\8&8&27\end{smallmatrix}}\right]}

k面要素（ fベクトル）の数は対角線に沿って下方向に読み取ることができます。各k面の要素の数は対角線の下の行に示されています。各k図形の要素の数は対角線の上側の行に示されています。

L 3k面f kf 0f 1f 2k -fig注記
L 2（ ） f 027883 {3} 3L 3 / L 2 = 27*4!/4! = 27
L 1 L 13 { } f 137233 { }L 3 / L 1 L 1 = 27*4!/9 = 72
L 23 {3} 3f 28827（）L 3 / L 2 = 27*4!/4! = 27

画像

これらは8つの対称正投影図で、頂点が重なり合うものもあり、色で示されています。ここでは、72本の三角形の辺が3つの独立した辺として描かれています

コクセター平面正投影図
E6 [12] 自動(E6) [18/2] D5 [8] D4 / A2 [6]
(1=赤、3=オレンジ) (1) (1, 3) (3, 9)
B6 [12/2] A5 [6] A4 [5] A3 / D3 [4]
(1, 3) (1, 3) (1,2) (1,4,7)
二重ヘッセ行列多面体
シュレーフリ記号2 {4} 3 {3} 3 2(18)3(24)3
コクセター図
面72 2 {4} 3
辺216
頂点54
ペトリー多角形18角形
ファン・オス多角形{6}
シェパード群M 3 = 3 [3] 3 [4] 2、順序1296
二重多面体修正ヘッセ多面体、3 {3} 3 {4} 2
プロパティレギュラー

ヘッセ多面体は、、＝この二重ヘッセ多面体は54個の頂点、216個の単純辺、72個の面。その頂点は頂点の和集合を表す。そしてその二重。

その複素反射群は3 [3] 3 [4] 2、または、命令1296。54部あります各頂点に24次の反射があります。24個の3次反射と9個の2次反射を持ちます。コクセター数は18で、基本不変量の次数は6、12、18であり、これは多面体の射影対称性から分かります。

コクセターは、3つの複素多面体、、正四面体に似ています（）、立方体（）、八面体（ヘッセ行列は正四面体と類似しており、立方体は二重正四面体であり、正八面体は直角正四面体である。どちらの集合においても、最初の集合の頂点は2番目の集合の2つの双対に属し、3番目の集合の頂点は2番目の集合の辺の中心に位置する。[ 4 ]

その実数表現54頂点は対称構成の2つの21多面体に含まれます。そしてその頂点は1 2 2の 双対多面体にも見られます

構造

要素は構成マトリックスで確認できます

M 3k面f kf 0f 1f 2k -fig注記
L 2（ ） f 054883 {3} 3M 3 / L 2 = 1296/24 = 54
L 1 A 1{ } f 1221633 { }M 3 /L 1 A 1 = 1296/6 = 216
M 22 {4} 3f 26972（）M 3 / M 2 = 1296/18 = 72

画像

正投影
多面体 1つの面を持つ多面体、2 {4} 3青で強調表示 54頂点の多面体、2つの交互色 そして ここで赤と青の頂点で示されているものは、正則な複合頂点を形成します。

修正ヘッセ多面体

修正ヘッセ多面体
シュレーフリ記号3 {3} 3 {4} 2 3(24)3(18)2
コクセター図または。
面54 3 {3} 3
辺216 3 {}
頂点72
ペトリー多角形18角形
ファン・オス多角形9 3 {4} 3
シェパード群M 3 = 3 [3] 3 [4] 2、位数1296 3 [3] 3 [3] 3、位数648
二重多面体二重ヘッセ行列多面体2 {4} 3 {3} 3
プロパティレギュラー

整流、正多面体として対称性が2倍になる72個の頂点、216個の辺、54個の面を持つ。頂点の数は3{4}2、対角多角形は3{4}3である。これは二重ヘッセ多面体の双対である。[ 5 ]

これは1 22多面体として実数表現され、72個の頂点を共有しています。216個の3辺は648個の単純辺として描くことができ、これは1 22の720辺より72少ない数です。

または72個の頂点、216個の3辺、54個の面 を持ち、1つの青い面を持ちます強調表示 9つのヴァン・オス多角形のうちの1つで、、3 {4} 3、強調表示

構造

要素は、正則形式と準正則形式の 2つの配置行列で見ることができます

M 3 = 3 [3] 3 [4] 2対称性
M 3k面f kf 0f 1f 2k -fig注記
M 2（ ） f 072963 {4} 2M 3 / M 2 = 1296/18 = 72
L 1 A 13 { } f 132162{ }M 3 / L 1 A 1 = 1296/3/2 = 216
L 23 {3} 3f 28854（）M 3 / L 2 = 1296/24 = 54
L 3 = 3 [3] 3 [3] 3対称性
L 3k面f kf 0f 1f 2k -fig注記
L 1 L 1（ ） f 0729333 { }× 3 { }L 3 / L 1 L 1 = 648/9 = 72
L 13 { } f 1321611{ }L 3 / L 1 = 648/3 = 216
L 23 {3} 3f 28827*（）L 3 / L 2 = 648/24 = 27
88*27

参考文献

  1. ^コクセター著『複素正多面体』p.123
  2. ^コクセター著『正凸多面体』12.5 ウィッティング多面体
  3. ^コクセター『複素正多面体』p.132
  4. ^コクセター『複素正多面体』p.127
  5. ^ Coxeter, HSM, Regular Complex Polytopes , 第2版, Cambridge University Press, (1991). p.30 and p.47
  • Coxeter, HSMおよび Moser, WOJ、「離散群の生成元と関係」（1965 年）、特に 67 ～ 80 ページ。
  • Coxeter, HSM ; Regular Complex Polytopes、ケンブリッジ大学出版局、(1974)。
  • Coxeter, HSMとShephard, GC; 複雑多面体のファミリーの肖像、Leonardo Vol 25, No 3/4、(1992)、pp 239–244、
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