ヘッセン構成
ヘッセン構成
ヘッセ配置は、その4本の線（3×3の点の配列の4本の破線対角線）が曲線として描かれている。
名前の由来オットー・ヘッセ
頂点9
エッジ12
直径1
自己同型432
表記（9 4 12 3）
グラフとパラメータの表

幾何学において、ヘッセ配置とは、9点と12直線からなる配置であり、各直線には3点、各点を通る直線は4本である。これは(9 4 12 3 )または配置行列と表記される。対称性（点と直線は推移的）を持ち、432個の自己同型が存在する。 [94312]{\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}9&4\\3&12\\\end{smallmatrix}}\right]}

これは複素射影平面上では楕円曲線の変曲点の集合として実現できるが、ユークリッド平面上では実現できない。コリン・マクローリンによって導入され、ヘッセ （1844年）によって研究された[ 1 ]。また、ヤング幾何学[ 2 ]としても知られる。これは、ジョン・ウェスリー・ヤングの有限幾何学に関する後年の業績にちなんで名付けられた。[ 3 ] [ 4 ]

説明

ヘッセ配置は、 3元体上のアフィン平面上の直線および点と同じ接続関係を持つ。つまり、ヘッセ配置の点は3を法とする数の対で表すことができ、配置の直線は、線形方程式ax + by = c (mod 3)を満たす3点の組( x , y )で表すことができる。あるいは、配置の点は三目並べのマス目で表し、直線は盤面の 直線および破線対角線で表すこともできる。

各点は4本の線に属します。配置を三目並べで解釈すると、1本の線は水平、1本の線は垂直、2本の線は対角線または破線対角線です。各線には3つの点が含まれます。配置の言語では、ヘッセ配置は(9 4 12 3 )と表記されます。これは、9つの点、1つの点につき4本の線、12本の線、1本の線につき3つの点があることを意味します。

3x3グリッド内のポイントに1～9のインデックスを付けて、構成テーブルを作成できます。列はポイントのインデックスとなる線です。

水平垂直診断1診断2
147123123123
258456564645
369789978897

ヘッセ配置には 18×4! = 432 個の自己同型があり、関連するヘッセ群の対称性が 2 倍になります。

すべての点のペアは1本の線で結ばれています。これは、その完全な隣接行列で確認できます。

[011111111101111111110111111111011111111101111111110111111111011111111101111111110]{\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&1&1&1&1&1&1&1\\1&0&1&1&1&1&1&1&1\\1&1&0&1&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&0&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&0&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1&0&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1&1&0&1&1\\1&1&1&1&1&1&1&0&1\\1&1&1&1&1&1&1&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]}
自己同型写像​​に関連する構成
デュアル構成

デュアル構成（12 3 9 4）では、インデックスが1...12のポイントは構成テーブルを持つことができます。

111223344
258575667
36989109810
4710111212111211
メビウス・カントール配置

ヘッセ配置から任意の1点とその4本の入射線を除去すると、自己双対配置(8 3 ) 、つまりメビウス・カントール配置が生成されます。[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]これには48個の自己同型があります。 [8338]{\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}8&3\\3&8\\\end{smallmatrix}}\right]}

（8 3 ）は、1つの生成行が{ 0,1,3 } 8として定義され、それに続く行は8を法として増分されたインデックスを持つ 巡回構成です。

（8 3）構成表
0 1234567
1 2345670
3 4567012

パプス構成

ヘッセ配置では、12本の直線は4つの3本の平行線（交差しない線）にグループ化されます（9 3 3 3 +3 3 +3 3 +3 3）。これは、水平線、垂直線、および2組の対角線として表されます。

ヘッセ配置から単一の三つ組に属する三つの直線を取り除くと、自己双対配置（9 3）またはパップス配置が生成されます。[ 6 ] [ 7 ]パップス配置には18×3! = 108個の自己同型があります。 [9339]{\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}9&3\\3&9\\\end{smallmatrix}}\right]}

パパス（9 3）構成
水平垂直診断1
147123123
258456564
369789978
K 3,3グラフの双対
構成 (9 2 6 3 )

ヘス配置から三つ組の半分を除去すると、(9 2 6 3 ) または となり、これは正複素多角形3{4}2 で表現され、頂点数は 9 個、3-辺数は 6 個である。これはまた、完全二部グラフの双対配置K 3,3でもあり、ユーティリティグラフ（またはトムセングラフ）とも呼ばれ、(6 3 9 2 ) またはとなり、2×(3!) 2 = 72 個の自己同型を持つ。 [9236]{\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}9&2\\3&6\\\end{smallmatrix}}\right]}[6329]{\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}6&3\\2&9\\\end{smallmatrix}}\right]}

(9 2 6 3 ) 構成
水平垂直
147123
258456
369789

PG(2,3)

（13 4）配置、PG（2,3）とも呼ばれる

ヘッセ配置は、交差しない直線の3つ組ごとに1つずつ、合計4つの点と、その4つの新しい点を含む1本の線を追加することで拡張され、自己双対配置(13 4 )またはを形成することができる。 [134413]{\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}13&4\\4&13\\\end{smallmatrix}}\right]}

これは、 ３元体上の射影平面上の点と直線の集合であるPG(2,3)と同型である。 [ 8 ] [ 9 ]

PG(2, k )には素数kを持つ( k 3 -1)( k 3 - k )( k 3 - k 2 )/( k -1)個の自己同型があり、ここでは(3 3 -1)(3 3 -3)(3 3 -3 2 )/(2-1)=26⋅24⋅18/2 = 5616個の自己同型があり、ヘッセ構成の13倍にあたります。

（13 4）構成
診断1水平診断2垂直新しい
12314712312310
64525856445611
89736997878912
10101011111112121213131313

(13 4 ) も巡回的な構成であり、生成「直線」は { 0,1,4,6 } 13である。(連続する直線は頂点インデックスを13を法として1ずつ増加させる。)

（13 4）環状構成
0 123456789101112
1 234567891011120
4 567891011120123
6 789101112012345

実現可能性

ヘッセ配置は、楕円曲線の 9つの変曲点と、変曲点の3つ組を通る12本の直線として複素射影平面上で実現できる。 [ 3 ]複素平面上の9点の集合が楕円曲線Cの変曲点の集合である場合、それはCとCのヘッセ曲線によって生成される曲線束内のすべての曲線の変曲点の集合、すなわちヘッセ線束でもある。[ 10 ]

ヘッセ多面体は、ヘッセ配置を複素平面で表現したものです。

ヘッセ配置は、メビウス・カントール配置と同様に、ユークリッド平面上では複素実現はできるものの、点や直線では実現できないという性質を持つ。ヘッセ配置では、どの2点も配置の直線で結ばれている（シルベスター・ガライ配置の定義的性質）ため、その2点を通る直線には必ず3つ目の点が含まれる。しかしユークリッド平面では、どの有限の点集合も同一線上にあるか、その直線に集合の他の点が含まれない2点の組が含まれている。これがシルベスター・ガライの定理である。ヘッセ配置はシルベスター・ガライの定理に従わないため、ユークリッド実現はできない。この例は、シルベスター・ガライの定理を複素射影平面には一般化できないことも示している。しかし、複素空間では、ヘッセ配置とすべてのシルベスター・ガライ配置は2次元平坦部分空間内に存在する必要がある。[ 11 ]

参考文献

  1. ^ Hesse, O. (1844)、「Über die Elimination der Variabeln aus drei algebraischen Gleichungen vom zweiten Grade mit zwei Variabeln」(PDF)、Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (ドイツ語)、28 : 68–96、doi : 10.1515/crll.1844.28.68、ISSN  0075-4102。
  2. ^ウォレス、エドワード・C.; ウェスト、スティーブン・F. (2015) 『幾何学への道』（第3版）、ウェーブランド・プレス、  23～ 24ページ、ISBN 9781478632047
  3. ^ a b MacNeish, HF (1942)、「4つの有限幾何学」、アメリカ数学月刊誌、49 : 15–23、doi : 10.2307/2303772、MR 0005625 
  4. ^ヴェブレン、オズワルド；ヤング、ジョン・ウェスレー（1910年）『射影幾何学』第1巻、ギン・アンド・カンパニー、249ページ
  5. ^ドルガチェフ、イゴール・V. ( 2004)、「代数幾何学における抽象構成」、ファノ会議、トリノ大学、トリノ、pp.  423– 462、arXiv : math.AG/0304258、MR 2112585 。
  6. ^ a b Coxeter, HSM (1950)、「自己双対構成と正則グラフ」、アメリカ数学会報、56 (5): 413– 455、doi : 10.1090/S0002-9904-1950-09407-5。
  7. ^ a b Cullinane, Steven H. (2011) 「構成と正方形」。
  8. ^バッテン、リン・マーガレット（1997年）、有限幾何学の組合せ論、第2版、ケンブリッジ大学、p.41-42
  9. ^点線配置のレヴィグラフについて、ジェシカ・ハウスチャイルド、ジャズミン・オルティス、オスカー・ベガ（2015）
  10. ^アルテバニ、ミケーラ; Dolgachev、Igor (2009)、「平面 3 次曲線のヘッセ鉛筆」、L'Enseignement Mathématique、2e Série、55 (3): 235–273、arXiv : math/0611590、doi : 10.4171/lem/55-3-3、MR 2583779 。
  11. ^ Elkies, Noam ; Pretorius, Lou M.; Swanepoel, Konrad J. (2006)、「複素数と四元数に関するシルベスター・ガライ定理」、Discrete and Computational Geometry、35 (3): 361– 373、arXiv : math/0403023、doi : 10.1007/s00454-005-1226-7、MR 2202107 。
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