論理積

論理積

そして
意味	${\displaystyle xy}$
真理値表	${\displaystyle (1000)}$
論理ゲート
正規形
分離的	${\displaystyle xy}$
接続詞	${\displaystyle xy}$
ジェガルキン多項式	${\displaystyle xy}$
ポストの格子
0保存	はい
1保存	はい
単調	はい
アフィン	いいえ
自己双対	いいえ
v t e

ベン図${\displaystyle A\wedge B\land C}$

論理学、数学、言語学において、and ( ) は接続詞または論理積の真理関数演算子です。この演算子の論理接続詞は通常、 ^{[ 1 ]}またはor (接頭辞) またはor ^{[ 2 ]}と表され、最も現代的で広く使用されています 。${\displaystyle \wedge}$ ${\displaystyle \wedge}$ ${\displaystyle \&}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \cdot}$ ${\displaystyle \wedge}$

オペランド セットの and は、そのオペランドがすべて true の場合に限り true になります。つまり、が真でありが真である場合に限り、は真になります。 ${\displaystyle A\land B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

接続詞のオペランドは接続詞である。^{[ 3 ]}

論理を超えて、「接続詞」という用語は、他の分野の同様の概念も指します。

• 自然言語では、英語の「 」や「 」などの表現の意味。
• プログラミング言語における短絡と制御構造。
• 集合論では、交差。
• 格子理論における論理積（最大下限）。

表記

ANDは通常、挿入演算子で表されます。数学と論理学では「くさび」（Unicode U+2227 ∧ LOGICAL AND）^{[ 1 ]}または; で表されます。電子工学では; 、プログラミング言語では、、または です。Jan Łukasiewiczによる論理の前置記法では、演算子は（ポーランド語のkoniunkcja ）です。^{[ 4 ]}${\displaystyle \wedge}$ ${\displaystyle \&}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \cdot}$ &&&and${\displaystyle K}$

数学では、任意の数の要素の論理積は、「大きなくさび」⋀（Unicode U+22C0 ⋀ N-ARY LOGICAL AND）を使用した反復二項演算として表すことができます。 ^{[ 5 ]}${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$

${\displaystyle \bigwedge _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}\wedge a_{2}\wedge \ldots a_{n-1}\wedge a_{n}}$

意味

古典論理では、論理積は2つの論理値（通常は2つの命題の値）に対する演算であり、両方のオペランドが真である場合にのみ（iffとも呼ばれる）真の値を生成します。^{[ 2 ] [ 1 ]}

連言的恒等式は真です。つまり、式と true の AND 演算を行っても、式の値は変化しません。空虚な真理値の概念に従い、連言が任意の引数を持つ演算子または関数として定義される場合、空連言（空のオペランド集合に対する AND 演算）は、結果が true となるように定義されることがよくあります。

真理値表

左側の引数の論理積 —真のビットは、シェルピンスキーの三角形を形成します。

真理値表：^{[ 1 ] [ 2 ]}${\displaystyle A\land B}$

${\displaystyle A}$	${\displaystyle B}$	${\displaystyle A\land B}$
F	F	F
F	T	F
T	F	F
T	T	T

他の演算子によって定義される

論理積が基本語ではないシステムでは、次のように定義されることがある^{[ 6 ]}

${\displaystyle A\land B=\neg (A\to \neg B)}$

これは次の真理値表で確認できます (最後の 2 つの列を比較してください)。

${\displaystyle A}$	${\displaystyle B}$	${\displaystyle \neg B}$	${\displaystyle A\rightarrow\negB}$	${\displaystyle \neg (A\rightarrow \neg B)}$	${\displaystyle A\land B}$
F	F	T	T	F	F
F	T	F	T	F	F
T	F	T	T	F	F
T	T	F	F	T	T

または

${\displaystyle A\land B=\neg (\neg A\lor \neg B).}$

これは次の真理値表で確認できます (最後の 2 つの列を比較してください)。

${\displaystyle A}$	${\displaystyle B}$	${\displaystyle \neg A}$	${\displaystyle \neg B}$	${\displaystyle \neg A\lor \neg B}$	${\displaystyle \neg (\neg A\lor \neg B)}$	${\displaystyle A\land B}$
F	F	T	T	T	F	F
F	T	T	F	T	F	F
T	F	F	T	T	F	F
T	T	F	F	F	T	T

導入と排除のルール

推論の規則として、連言導入は古典的に妥当で単純な論証形式である。この論証形式には2つの前提とがある。直感的に、これらの前提の連言を推論することができる。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle A}$ 、

${\displaystyle B}$ 。

したがって、AとB。

または論理演算子表記では、 証明可能性を表します。 ${\displaystyle \vdash}$

${\displaystyle \vdash A,}$

${\displaystyle \vdash B}$

${\displaystyle \vdash A\land B}$

以下は接続詞導入の形式に適合する議論の例です。

ボブはリンゴが好きです。

ボブはオレンジが好きです。

したがって、ボブはリンゴが好きで、ボブはオレンジが好きです。

連言消去法は、古典的に妥当で単純な論証形式の一つです。直感的に言えば、連言のどちらの要素からでも、任意の連言から推論することが可能です。

${\displaystyle A}$ そして。${\displaystyle B}$

したがって、。${\displaystyle A}$

...あるいは、

${\displaystyle A}$ そして。${\displaystyle B}$

したがって、。${\displaystyle B}$

論理演算子表記法:

${\displaystyle \vdash A\land B}$

${\displaystyle \vdash A}$

...あるいは、

${\displaystyle \vdash A\land B}$

${\displaystyle \vdash B}$

否定

意味

論理積は、またはのいずれかを証明することによって偽であることが証明される。目的語で言えば、これは次のように読める。 ${\displaystyle A\land B}$ ${\displaystyle \neg A}$ ${\displaystyle \neg B}$

${\displaystyle \neg A\to \neg (A\land B)}$

この式は、

${\displaystyle (A\to C)\to ((A\land B)\to C)}$

は誤った命題である とき。${\displaystyle C}$

その他の証明戦略

が を意味する場合、 と の両方が結合が偽であることを証明します。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \neg B}$ ${\displaystyle \neg A}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle (A\to \neg {}B)\to \neg (A\land B)}$

言い換えれば、接続詞が実際に偽であると証明するには、その接続詞の関係を知るだけでよく、必ずしもその真理値を知る必要はありません。

この式は、

${\displaystyle (A\to (B\to C))\to ((A\land B)\to C)}$

は誤った命題である とき。${\displaystyle C}$

上記のどちらも、背理法による構成的に有効な証明です。

プロパティ

交換性：はい

${\displaystyle A\land B}$	${\displaystyle \Leftrightarrow }$	${\displaystyle B\land A}$
	${\displaystyle \Leftrightarrow }$

連想性：あり^{[ 7 ]}

${\displaystyle ~A}$	${\displaystyle ~~~\land ~~~}$	${\displaystyle (B\land C)}$	${\displaystyle \Leftrightarrow }$			${\displaystyle (A\land B)}$	${\displaystyle ~~~\land ~~~}$	${\displaystyle ~C}$
	${\displaystyle ~~~\land ~~~}$		${\displaystyle \Leftrightarrow }$		${\displaystyle \Leftrightarrow }$		${\displaystyle ~~~\land ~~~}$

分配法則：さまざまな演算、特にまたは

${\displaystyle ~A}$	${\displaystyle \land }$	${\displaystyle (B\lor C)}$	${\displaystyle \Leftrightarrow }$			${\displaystyle (A\land B)}$	${\displaystyle \lor }$	${\displaystyle (A\land C)}$
	${\displaystyle \land }$		${\displaystyle \Leftrightarrow }$		${\displaystyle \Leftrightarrow }$		${\displaystyle \lor }$

その他

排他的論理和の場合： ${\displaystyle ~A}$ ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle (B\oplus C)}$     ${\displaystyle \Leftrightarrow }$      ${\displaystyle (A\land B)}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle (A\land C)}$ ${\displaystyle \land }$     ${\displaystyle \Leftrightarrow }$          ${\displaystyle \Leftrightarrow }$      ${\displaystyle \oplus }$ 実質的な影響なし： ${\displaystyle ~A}$ ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle (B\nrightarrow C)}$     ${\displaystyle \Leftrightarrow }$      ${\displaystyle (A\land B)}$ ${\displaystyle \nrightarrow }$ ${\displaystyle (A\land C)}$ ${\displaystyle \land }$     ${\displaystyle \Leftrightarrow }$          ${\displaystyle \Leftrightarrow }$      ${\displaystyle \nrightarrow }$ それ自体と： ${\displaystyle ~A}$ ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle (B\land C)}$     ${\displaystyle \Leftrightarrow }$      ${\displaystyle (A\land B)}$ ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle (A\land C)}$ ${\displaystyle \land }$     ${\displaystyle \Leftrightarrow }$          ${\displaystyle \Leftrightarrow }$      ${\displaystyle \land }$

冪等性：はい

${\displaystyle ~A~}$	${\displaystyle ~\land ~}$	${\displaystyle ~A~}$	${\displaystyle \Leftrightarrow }$	${\displaystyle A~}$
	${\displaystyle ~\land ~}$		${\displaystyle \Leftrightarrow }$

単調性：はい

${\displaystyle A\rightarrow B}$	${\displaystyle \Rightarrow }$			${\displaystyle (A\land C)}$	${\displaystyle \rightarrow }$	${\displaystyle (B\land C)}$
	${\displaystyle \Rightarrow }$		${\displaystyle \Leftrightarrow }$		${\displaystyle \rightarrow }$

真理保持: はいすべての入力が真の場合、出力も真になります。

${\displaystyle A\land B}$	${\displaystyle \Rightarrow }$	${\displaystyle A\land B}$
	${\displaystyle \Rightarrow }$
		（テスト対象）

falsehood-preserving: yesすべての入力が false の場合、出力は false になります。

${\displaystyle A\land B}$	${\displaystyle \Rightarrow }$	${\displaystyle A\lor B}$
	${\displaystyle \Rightarrow }$
（テスト対象）

ウォルシュスペクトル: (1,-1,-1,1)

非線形性：1（関数が曲がっている）

真 (1) と偽 (0) にバイナリ値を使用する場合、論理積は通常の算術乗算とまったく同じように機能します。

コンピュータ工学における応用

AND論理ゲート

高水準コンピュータプログラミングやデジタルエレクトロニクスでは、論理積は一般的に中置演算子で表現されます。中置演算子は通常、「 」などのキーワードAND、代数的乗算、またはアンパサンド記号&（ のように二重に表記される場合もあります）として使用されます。多くの言語では、論理積に対応する短絡制御構造 &&も提供されています。

論理積はビット演算でよく使用され、 は0false に、1は true に対応します。

• 0 AND 0  =  0、
• 0 AND 1  =  0、
• 1 AND 0  =  0、
• 1 AND 1  =  1.

この演算は、同じ長さのビット列として見た2つのバイナリワードにも適用できます。この場合、対応する位置にある各ビットペアのビット単位の論理積をとります。例:

• 11000110 AND 10100011  =  10000010.

これは、ビットマスクを使用してビット文字列の一部を選択するために使用できます。例えば、  = は  8ビットのビット文字列の4番目のビットを抽出します。 10011101 AND 0000100000001000

コンピュータ ネットワークでは、ビット マスクは、IP アドレスとサブネット マスクの AND 演算によって、特定のIP アドレスから既存のネットワーク内のサブネットのネットワーク アドレスを導出するために使用されます。

論理積「 」は、データベースクエリを形成するためのSQL操作ANDでも使用されます。

カリー・ハワード対応は、論理積を積型に関連付けます。

集合論的対応

集合論における交差集合の元の帰属関係は、論理積によって定義されます。すなわち、 のとき、かつその場合に限ります。この対応関係により、集合論的交差は、結合性、可換性、冪等性など、論理積といくつかの性質を共有します。 ${\displaystyle x\in A\cap B}$ ${\displaystyle (x\in A)\wedge (x\in B)}$

自然言語

数学論理学で形式化された他の概念と同様に、論理接続詞and は自然言語の 文法接続詞andと関連していますが、同じではありません。

英語の「and」には、論理接続詞では捉えられない性質があります。例えば、「and」は「それから」という意味を持つ順序を暗示することがあります。例えば、日常会話における「彼らは結婚して子供ができた」は、結婚が子供より先に起こったことを意味します。

「and」という単語は、物事を複数の部分に分割することを意味する場合もあります。例えば、「アメリカの国旗は赤、白、青です」などです。ここでは、国旗が一度に赤、白、青であるという意味ではなく、それぞれの色が国旗の一部であるという意味です。

参照

• アンドインバータグラフ
• ANDゲート
• ビットAND
• ブール代数
• ブール結合クエリ
• ブールドメイン
• ブール関数
• ブール値関数
• 連言/選言の双対性
• 接続詞の除去
• 接続詞（文法）
• ド・モルガンの法則
• 一階論理
• フレシェ不等式
• 均質性（言語学）
• ブール代数のトピックのリスト
• 論理和
• 論理グラフ
• 否定
• 手術
• ペアノ・ラッセル記法
• 命題計算

参考文献

1. 「2.2: 論理積と論理和」 Mathematics LibreTexts . 2019年8月13日. 2020年9月2日閲覧。
2. 「接続詞、否定、および選言」philosopher.lander.edu . 2020年9月2日閲覧。
3. Beall, Jeffrey C. (2010). Logic: the basics (第1版). ロンドン: Routledge. p. 17. ISBN 978-0-203-85155-5。
4. Józef Maria Bocheński (1959), A Précis of Mathematical Logic、フランス語版とドイツ語版からのOtto Birdによる翻訳、ドルドレヒト、南ホラント州：D. Reidel、passim。
5. Weisstein, Eric W. 「Conjunction」 . MathWorld--A Wolfram Web Resource . 2024年9月24日閲覧。
6. スミス、ピーター. 「証明システムの種類」(PDF) . p. 4.
7. ハウソン、コリン (1997).木による論理：記号論理入門. ロンドン; ニューヨーク: ラウトレッジ. p. 38. ISBN 978-0-415-13342-5。

外部リンク

• 「接続詞」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• Wolfram MathWorld: 連言
• 「AND命題の性質と真理値表」 。2017年5月6日時点のオリジナルよりアーカイブ。