ダンクル演算子

数学、特にリー群の研究において、ダンクル演算子は、微分演算子だけでなく基礎空間での 反射も含む、ある種の数学演算子です。

形式的には、G をコクセター群とし、その縮約根系Rとk _{v を}R上の任意の「重複」関数とする（つまり、根uとvに対応する反射 σ _uと σ _{v が}Gにおいて共役であるときは常にk _u = k _vとなる）。このとき、ダンクル作用素は次のように定義される。

${\displaystyle T_{i}f(x)={\frac {\partial}{\partial x_{i}}}f(x)+\sum _{v\in R_{+}}k_{v}{\frac {f(x)-f(x\sigma _{v})}{\left\langle x,v\right\rangle }}v_{i}}$

ここで、 はvのi番目の要素、 1 ≤ i ≤ N、xはR ^N、fはR ^N上の滑らかな関数です。 ${\displaystyle v_{i}}$

ダンクル作用素はチャールズ・ダンクル （1989 ）によって導入されました。ダンクルの主要な成果の一つは、ダンクル作用素が「交換可能」であること、つまり偏微分と同様に条件を満たすことです。したがって、ダンクル作用素は偏微分の意味ある一般化を表しています。 ${\displaystyle T_{i}(T_{j}f(x))=T_{j}(T_{i}f(x))}$

参考文献

• ダンクル, チャールズ F. (1989)、「反射群に関連する微分差分演算子」、アメリカ数学会誌、311 (1): 167– 183、doi : 10.2307/2001022、ISSN  0002-9947、JSTOR  2001022、MR  0951883