有限差分周波数領域法

プラズモニックスリットからの光回折のFDFDシミュレーション

差分周波数領域法（FDFD法）は、通常は電磁気学、時には音響学における問題に対する数値解法であり、解くべき微分方程式の導関数演算子の差分近似に基づいています。 [ 1 ]

「FDFD」は周波数領域有限差分法全般を指す総称ですが、この名称は主に散乱問題に適用される手法を指しているようです。この手法は有限差分時間領域法（FDTD法）と多くの類似点があり、FDTD法に関する文献をそのまま適用できるほどです。この手法は、一定周波数における音源と場に関するマクスウェル方程式（またはその他の偏微分方程式）を行列形式に変換することで機能します。行列Aは波動方程式演算子から導出され、列ベクトルxは場の成分を含み、列ベクトルbは音源を表します。この手法は異方性材料を組み込むことができますが、テンソルの非対角成分には特別な処理が必要です。 あ×＝b{\displaystyle Ax=b}

厳密に言えば、電磁気学における「周波数領域」問題には少なくとも2つのカテゴリーがある。[ 2 ] 1つは、一定周波数 ω を持つ電流密度J への応答を求める問題である。つまり、 の形、あるいは類似の時間調和波源である。この周波数領域応答問題は、上述のような線形方程式系を導く。散乱問題を解くための周波数領域応答FDTD法の初期の説明は、ChristとHartnagel (1987) によって発表された。[ 3 ]もう1つは、波源がない状態で構造（例えば導波管）の通常モードを 求める問題である。この場合、周波数 ω 自体が変数であり、固有値問題が得られる（通常、固有値 λ は ω 2である）。電磁気学の固有値問題を解くためのFDTD法の初期の説明は、AlbaniとBernardi (1974) によって発表された。[ 4 ]J（×）e私ωt{\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {x} )e^{i\omega t}}あ×＝b{\displaystyle Ax=b}あ×＝λ×{\displaystyle Ax=\lambda x}

メソッドの実装

  1. Yee グリッドを使用すると、次のような利点があります: (1) 偽の解を避けるためにゼロ発散条件を暗黙的に満たします。(2) 物理的な境界条件を自然に処理します。(3) 有限差分を使用して回転方程式を近似する非常にエレガントでコンパクトな方法を提供します。
  2. 有限差分時間領域 (FDTD) 法に関する文献の多くは FDFD に適用され、特に Yee グリッド上で材料とデバイスを表現する方法に関するトピックが当てはまります。

FDTDとFEMとの比較

FDFD 法は有限要素法 (FEM) と非常によく似ていますが、いくつか大きな違いもあります。FDTD 法とは異なり、順番に計算しなければならない時間ステップがないため、FDFD の方が実装が容易です。このことから、FDFD の方が計算コストが低いと思われるかもしれませんが、必ずしもそうではありません。FDFD 法では、単純な問題でも 20,000 x 20,000 要素以上になり、未知数が 100 万を超えるスパース線形システムを解く必要があります。この点で、FDFD 法は有限微分法であり、通常は周波数領域で実装される FEM に似ています。効率的な数値ソルバーが用意されているため、非常に計算コストのかかるプロセスである逆行列計算を回避できます。さらに、モデル次数削減手法を使用して問題のサイズを縮小することもできます。

FDFD や FDTD は、Yee グリッドが主に長方形構造に制限されているため、複雑な形状やマルチスケール構造には適していません。これは、非常に細かいグリッド メッシュを使用する (計算コストが増大します) か、表面境界条件で効果を近似することで回避できます。グリッドがインターフェース境界に沿って均一でない場合、ゼロ発散条件が維持されないため、不均一なグリッド作成はインターフェース境界に誤った電荷をもたらす可能性があります。この問題を回避するには、FEM で行われるように、基底関数を使用してインターフェース全体で弱い連続性を強制することにより、電界と磁界の連続性を維持できます。完全整合層 (PML) 境界条件を使用してグリッドを切り捨て、空のスペースのメッシュ作成を回避することもできます。

サセプタンス素子等価回路

FDFD方程式は、2次等価回路を記述するように再構成することができ、節点電圧は電界成分、分岐電流は磁界成分を表します。この等価回路表現は、回路理論の手法を用いて問題を解析または簡略化することができ、3次元電磁界シミュレーションのためのSPICEのようなツールとして使用できるため、非常に有用です。このサセプタンス要素等価回路（SEEC）モデルの利点は、未知数が少なく、電界成分のみを解けばよく、2次モデル低次元化手法を利用できることです。

アプリケーション

FDFD法は、電子パッケージングにおける様々な用途の相互接続をモデル化するためのフルウェーブシミュレーションを提供するために使用されてきました。また、FDFDは光周波数における様々な散乱問題にも利用されてきました。

参照

参考文献

  1. ^ Raymond C. Rumpf (2022). Artech House (編).初心者のための電磁気および光子シミュレーション：MATLABによる差分周波数領域法.
  2. ^ JD Joannopoulos; SG Johnson; JN Winn; RD Meade (2008). プリンストン大学出版局（編）. 『フォトニック結晶：光の流れを形成する』第2版. pp.  688– 696.
  3. ^ Andreas Christ; Hans L. Hartnagel (1987). 「マイクロ波デバイスの埋め込み解析のための3次元有限差分法」. IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . 35 (8): 688– 696. Bibcode : 1987ITMTT..35..688C . doi : 10.1109/TMTT.1987.1133733 .
  4. ^ M. Albani; P. Bernardi (1974). 「積分形式のマクスウェル方程式の離散化に基づく数値解析法」. IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . 22 (4): 446– 450. Bibcode : 1974ITMTT..22..446A . doi : 10.1109/TMTT.1974.1128246 .
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