有限差分時間領域法
有限差分時間領域法では、「Yee格子」を用いてマクスウェル方程式を空間的に離散化します。この手法では、電界と磁界を交互に配置した格子上に配置します。

有限差分時間領域法（FDTD）またはYee 法（1934 年生まれの中国系アメリカ人応用数学者Kane S. Yeeにちなんで命名）は、計算電気力学のモデル化に使用される数値解析手法です。

歴史

時間依存偏微分方程式（PDE）の差分法は、長年にわたり数値流体力学の問題に用いられてきました[ 1 ]。これには、空間と時間の交互に配置されたグリッド上の中心差分演算子を用いて2次精度を達成するというアイデアも含まれます[ 1 ] 。1966年の独創的な論文[ 2 ] で発表された Yee の FDTD 法の斬新さは、マクスウェルの回転方程式の各電界および磁界ベクトル場成分に対して、空間と時間の交互に配置されたグリッド上の中心差分演算子を適用するという点でした。「有限差分時間領域」という記述子と、それに対応する「FDTD」という頭字語は、1980年にAllen Tafloveによって考案されました[ 3 ]。 1990年頃から、FDTD 手法は、電磁波と物質構造との相互作用 を扱う多くの科学的および工学的問題を計算的にモデル化するための主要な手段として登場しました。現在のFDTDモデリングの用途は、近DC （地球全体の電離層導波管を含む超低周波地球物理学）からマイクロ波（レーダーシグネチャ技術、アンテナ、無線通信デバイス、デジタル相互接続、生物医学的画像/治療）、可視光（フォトニック結晶、ナノプラズモニクス、ソリトン、バイオフォトニクス）まで多岐にわたります。[ 4 ] 2006年には、科学技術文献に約2,000件のFDTD関連の出版物が掲載されました（普及率を参照）。2013年現在、少なくとも25の商用/独自のFDTDソフトウェアベンダー、13のフリーソフトウェア/オープンソースソフトウェアのFDTDプロジェクト、および2つのフリーウェア/クローズドソースのFDTDプロジェクトがあり、商用利用には適していません（外部リンクを参照）。

FDTD法とマクスウェル方程式の発展

マクスウェル方程式に対するFDTD数値解析手法の基礎、技術開発、そして将来性を理解するには、まずその歴史を振り返ることが重要です。以下に、この分野における主要な出版物をいくつか挙げます。

マクスウェル方程式に対するFDTD法と応用の部分的な年表。[ 5 ]
年 イベント
1928クーラント、フリードリヒス、レヴィ（CFL）は、明示的な時間依存の有限差分スキームの条件付き安定性と、1次元と2次元の2次波動方程式を解くための古典的なFDスキームを発見した画期的な論文を発表しました。[ 6 ]
1950フォン・ノイマンの暗黙的/明示的時間依存差分法の安定性解析法が初めて登場した。[ 7 ]
1966Yeeは、空間と時間に交互に配置されたグリッド上でマクスウェルの回転方程式を解くFDTD数値手法について説明した。[ 2 ]
1969ラムはフォン・ノイマン安定性解析を用いてイェーのアルゴリズムの正しい数値CFL安定性条件を報告した。[ 8 ]
1975タフローブとブロッドウィンは、2次元および3次元の電磁波と物質構造との相互作用に関する最初の正弦定常FDTD解を報告した。[ 9 ]そして最初の生体電磁気学モデルも報告した。[ 10 ]
1977HollandとKunz & Leeは、YeeのアルゴリズムをEMP問題に適用した。[ 11 ] [ 12 ]
1980タフローブはFDTDという頭字語を作り出し、三次元金属空洞への正弦定常電磁波の浸透に関する最初の検証済みFDTDモデルを発表しました。[ 3 ]
1981Murは、Yeeのグリッドに対する数値的に安定した、2次精度の吸収境界条件（ABC）を初めて発表した。[ 13 ]
1982～83年タフロブとウマシャンカールは、2次元および3次元構造の正弦定常近傍場、遠方場、レーダー断面積を計算する最初のFDTD電磁波散乱モデルを開発した。[ 14 ] [ 15 ]
1984Liaoらは、外側のグリッド境界に隣接する場の空間時間外挿に基づく改良されたABCを報告した。[ 16 ]
1985グワレクはFDTDの集中等価回路定式化を導入した。[ 17 ]
1986チェイとホエファーは導波管構造の最初のFDTDシミュレーションを発表しました。[ 18 ]
1987～88年クリーグスマンらとムーアらは、IEEE Transactions on Antennas and PropagationにABC理論に関する最初の論文を発表しました。[ 19 ] [ 20 ]
1987～88年、1992年等高線パスサブセル技術は、Umashankarらによって細いワイヤやワイヤ束のFDTDモデリングを可能にするために導入され、[ 21 ] Tafloveらによって導電性スクリーンの亀裂の浸透をモデル化するために、[ 22 ] Jurgensらによって滑らかに湾曲した散乱体の表面を等角的にモデル化するために導入されました。[ 23 ]
1988サリバンらは、人体全体による正弦波定常電磁波吸収の最初の3次元FDTDモデルを発表しました。[ 24 ]
1988マイクロストリップのFDTDモデリングはZhangらによって導入された[ 25 ]。
1990～91年周波数依存誘電率のFDTDモデリングは、柏と深井[ 26 ]、ルーバーズら[ 27 ]、ジョセフら[ 28 ]によって導入された。
1990～91年アンテナのFDTDモデリングはMaloneyら[ 29 ]、Katzら[ 30 ]、TirkasとBalanis [ 31 ]によって導入されました。
1990ピコ秒光電子スイッチのFDTDモデリングは、佐野と柴田[ 32 ]およびエルガザリーら[ 33 ]によって導入された。
1992～1994年非線形分散媒質中の光パルスの伝播のFDTDモデル化が導入され、グージャンとタフローブによる1次元での最初の時間ソリトン[ 34 ] 、 ジオルコウスキーとジャドキンスによるビーム自己収束[ 35 ] 、ジョセフらによる2次元での最初の時間ソリトン[ 36 ] 、ジョセフとタフローブによる2次元での最初の空間ソリトン[ 37 ]などが導入された。
1992集中定数電子回路素子のFDTDモデリングはSuiらによって導入された[ 38 ]。
1993トーランドらは、キャビティとアンテナを励起する利得デバイス（トンネルダイオードとガンダイオード）の最初のFDTDモデルを発表しました。[ 39 ]
1993青柳らは、Yeeアルゴリズムとスカラー波動方程式のハイブリッド法を提示し、電磁波方程式に対するYee法と差分法の等価性を示した。[ 40 ]
1994トーマスらはFDTD空間格子のためのノートンの等価回路を導入し、これによりSPICE回路解析ツールは格子内に埋め込まれた非線形電子部品や完全な回路の正確なサブグリッドモデルを実装することができるようになった。[ 41 ]
1994ベレンジャーは2次元FDTDグリッド用の非常に効果的な完全整合層（PML）ABCを導入し[ 42 ] 、これはナバロらによって非直交メッシュに拡張され[ 43 ] 、カッツらによって3次元に拡張され[ 44 ]、ロイターら によって分散導波路終端に拡張された[ 45 ]。
1994ChewとWeedonは、3次元、他の座標系、他の物理方程式に簡単に拡張できる座標伸張PMLを導入しました。[ 46 ]
1995～96年サックスらとゲドニーは、物理的に実現可能な単軸完全整合層（UPML）ABCを導入した。[ 47 ] [ 48 ]
1997劉は、ナイキスト限界における電磁場の非常に粗い空間サンプリングを可能にする擬似スペクトル時間領域（PSTD）法を導入した。[ 49 ]
1997ラマヒは、非常に効果的な解析的ABCを実装するために相補演算子法（COM）を導入した。[ 50 ]
1998マロニーとケスラーはFDTD空間格子内の周期構造を解析するためのいくつかの新しい手段を導入した。[ 51 ]
1998ナグラとヨークは、複数のエネルギー準位間を遷移する電子を持つ物質と電磁波の相互作用に関するハイブリッドFDTD-量子力学モデルを導入した。[ 52 ]
1998ハグネスらは、超広帯域レーダー技術を用いた乳がん検出のFDTDモデルを導入した。[ 53 ]
1999シュナイダーとワグナーは複素波数に基づいたFDTDグリッド分散の包括的な解析を導入した。[ 54 ]
2000～2001年Zheng、Chen、Zhangは、無条件の数値安定性が証明された最初の3次元交互方向暗黙的（ADI）FDTDアルゴリズムを導入した。[ 55 ] [ 56 ]
2000ロデンとゲドニーは高度な畳み込みPML（CPML）ABCを導入した。[ 57 ]
2000ライランダーとボンデソンは、安定であることが証明されたFDTD法と有限要素時間領域ハイブリッド法を導入した。[ 58 ]
2002早川らとシンプソンとタフロブはそれぞれ独立に、極低周波地球物理現象のための地球電離層導波路のFDTDモデリングを導入した。[ 59 ] [ 60 ]
2003DeRaedtは無条件に安定な「ワンステップ」FDTD法を導入した。[ 61 ]
2004ソリアーノとナバロは量子FDTD法の安定条件を導出した。[ 62 ]
2008Ahmed、Chua、Li、Chenは3次元局所1次元（LOD）FDTD法を導入し、無条件数値安定性を証明した。[ 63 ]
2008谷口、馬場、長岡、雨谷は導電性媒体のFDTD計算のための細線表現を導入した[ 64 ]
2009オリベイラとソブリニョは、FDTD法を変電所の雷撃シミュレーションに適用した[ 65 ]
2021OliveiraとPaivaは、FDTD CFL限界を超える時間ステップを使用するための最小二乗有限差分時間領域法（LS-FDTD）を開発した。[ 66 ]

FDTDモデルと手法

マクスウェルの微分方程式を考察すると、電界の時間変化（時間微分）は、磁界の空間分布における変化（回転）に依存することがわかる。このことから、空間内の任意の点において、電界の時間変化は、電界の保存値と磁界の空間分布における局所的な回転に依存するという、FDTD法における基本的な時間ステップ関係が導かれる。[ 2 ]

磁界も同様の方法で時間ステップで変化します。空間上の任意の点において、時間的に更新される磁界の値は、保存された磁界の値と、空間における電界の局所分布の数値的回転に依存します。電界と磁界の更新を反復することで、時間的に進行するプロセスが生じます。このプロセスでは、対象とする連続電磁波のサンプルデータ類似体が、コンピュータメモリに保存された数値グリッド内を伝播します。

FDTD法に用いられる標準的な直交座標系Yeeセルの図解。このセルの周りには電界と磁界のベクトル成分が分布している。[ 2 ]立方体のボクセルとして可視化すると、電界成分は立方体の辺を形成し、磁界成分は立方体の面の法線を形成する。3次元空間格子は、このようなYeeセルの多重集合から構成される。電磁波相互作用構造は、各電界成分に適切な誘電率、各磁界成分に適切な透磁率を割り当てることで、空間格子にマッピングされる。

この記述は、1次元、2次元、3次元のFDTD法に当てはまります。多次元を考慮すると、数値回転の計算は複雑になる可能性があります。Kane Yeeの1966年の独創的な論文では、直交座標系計算グリッドの長方形単位セルの周囲に電界と磁界のベクトル成分を空間的にずらして配置し、各電界ベクトル成分が磁界ベクトル成分のペアの中間に位置するようにし、逆もまた同様とすることを提案しました。[ 2 ] 現在Yee格子として知られるこの手法は、非常に堅牢であることが証明されており、現在多くのFDTDソフトウェア構成要素の中核となっています。

さらに、Yeeは、電界と磁界の更新をずらし、各時間ステップの途中で電界更新を行い、その逆も行うという、時間を進めるためのリープフロッグ方式を提案した。[ 2 ]この明示的な時間ステップ方式の利点としては、同時方程式を解く必要がなく、さらに散逸のない数値波動伝播が得られる。一方、この方式の欠点としては、数値安定性を確保するために、時間ステップに上限を設ける必要があることが挙げられる。[ 9 ]その結果、特定の種類のシミュレーションでは、完了までに数千もの時間ステップが必要になる場合がある。

FDTD法の使用

マクスウェル方程式のFDTD法を実装するには、まず計算領域を設定する必要があります。計算領域とは、シミュレーションを実行する物理的な領域です。計算領域内の空間の各点における電界と磁界が決定されます。計算領域内の各セルの材質を指定する必要があります。通常、材質は自由空間（空気）、金属、または誘電体のいずれかです。透磁率、誘電率、導電率が指定されていれば、任意の材質を使用できます。

表形式の分散性材料の誘電率は、そのままFDTD法に代入することはできません。代わりに、複数のデバイ項、ドルーデ項、ローレンツ項、あるいは臨界点項を用いて近似することができます。この近似はオープンフィッティングプログラム[ 67 ]を用いて得られますが、必ずしも物理的な意味を持つわけではありません。

計算領域とグリッド材料が確立されると、光源が指定されます。光源は、電線上の電流、印加電界、または入射平面波のいずれかです。入射平面波の場合、FDTD法は、任意形状の物体からの光散乱、様々な入射角における平面周期構造[ 68 ] [ 69 ]、および無限周期構造の光子バンド構造[ 70 ] [ 71 ]をシミュレートするために使用できます。

E場とH場は直接決定されるため、シミュレーションの出力は通常、計算領域内の1点または複数の点におけるE場またはH場となります。シミュレーションは、E場とH場を時間的に前進させます。

シミュレーションによって返されるEフィールドとHフィールドに対して処理が行われる場合があります。また、シミュレーションの実行中にデータ処理が行われる場合もあります。

FDTD法はコンパクトな空間領域内の電磁場を計算するが、散乱および/または放射された遠方場は近傍場から遠方場への変換によって得ることができる。[ 14 ]

安定性

FDTD法の線形性のため、FDTD法の安定領域はフォン・ノイマン安定性解析によって決定できる。この手法では、電界と磁界が単色複素指数に比例すると仮定する。単一の時間ステップ後、安定磁界の振幅は一定以下でなければならない。これは、安定性を確保するためのFDTDパラメータの関係を記述するクーラン・フリードリヒス・レヴィ条件に繋がる。[ 4 ]

FDTDモデリングの強み

すべてのモデリング手法には長所と短所があり、FDTD 法も例外ではありません。

  • FDTD法は、マクスウェル方程式を解くために使用される汎用的なモデリング手法です。直感的な操作性のため、ユーザーは使い方を簡単に理解し、特定のモデルから何を期待できるかを把握できます。
  • FDTD法は時間領域解析手法であり、広帯域パルス（ガウスパルスなど）を信号源として用いることで、システムの応答を広範囲の周波数にわたって1回のシミュレーションで得ることができます。これは、共振周波数が正確に分かっていないアプリケーションや、広帯域の解析結果が必要な場合に役立ちます。
  • FDTD法は、計算領域内のあらゆる場所における電界と磁界を時間経過とともに変化させながら計算するため、モデル内における電磁場の動きをアニメーションで表示することができます。この表示は、モデル内で何が起こっているかを理解し、モデルが正しく動作していることを確認するのに役立ちます。
  • FDTD法では、計算領域内のあらゆる点において材料を指定できます。多様な線形および非線形の誘電体や磁性材料を自然かつ容易にモデル化できます。
  • FDTD法を用いると、開口部の影響を直接的に求めることができます。遮蔽効果を求めることができ、構造物の内外の電界を直接的または間接的に求めることができます。
  • FDTD法は電界と磁界を直接使用します。ほとんどのEMI/EMCモデリングアプリケーションは電界と磁界に着目するため、シミュレーション実行後にこれらの値を取得するために変換を行う必要がないのは便利です。

FDTDモデリングの弱点

単純な1次元FDTD法による方形パルス信号の数値分散。パルスのエッジ付近のリンギングアーティファクトが顕著に現れ（ギブス現象）、分散媒質がない場合でも信号は伝播するにつれて歪む。このアーティファクトは離散化法の直接的な結果である。[ 4 ]
  • FDTD法では計算領域全体をグリッド化する必要があり、グリッド空間の離散化はモデル内の最小の電磁波波長と最小の幾何学的特徴の両方を解像できるほど十分に細かく設定する必要があるため、非常に大きな計算領域が構築され、その結果、解の計算時間が非常に長くなります。細長い形状（例えばワイヤー）を持つモデルは、必要となる計算領域が非常に大きくなるため、FDTD法ではモデル化が困難です。固有モード展開法などの手法は、Z方向の細かいグリッドを必要としないため、より効率的な代替手段となります。[ 72 ]
  • 材料界面における誘電率と透磁率の一意の値を決定する方法はありません。
  • 空間ステップと時間ステップはCFL 条件を満たす必要があります。そうでないと、偏微分方程式を解くために使用されるリープフロッグ積分が不安定になる可能性があります。
  • FDTD法は、計算領域内のあらゆる場所における電界/磁界を直接求めます。ある距離における電界値を求める場合、その距離によって計算領域が過度に大きくなる可能性があります。FDTD法では遠方場拡張が可能ですが、ある程度の後処理が必要です。[ 4 ]
  • FDTDシミュレーションは計算領域内のすべての点における電界と磁界を計算するため、計算領域はコンピュータメモリに格納できるように有限でなければなりません。多くの場合、これはシミュレーション空間に人工的な境界を挿入することによって実現されます。このような境界によって生じる誤差を最小限に抑えるよう注意が必要です。無限で境界のない計算領域をシミュレートするための、非常に効果的な吸収境界条件（ABC）が数多く利用可能です。[ 4 ]最近のFDTD実装のほとんどは、吸収境界を実現するために、完全整合層（PML） と呼ばれる特殊な吸収「材料」を使用しています。 [ 42 ] [ 47 ]
  • FDTD法は時間領域において電磁場を前方に伝播させることで解くため、媒質の電磁時間応答を明示的にモデル化する必要があります。任意の応答に対しては、計算コストの高い時間畳み込みが必要になりますが、ほとんどの場合、媒質（または分散（光学））の時間応答は、再帰畳み込み（RC）法、補助微分方程式（ADE）法、またはZ変換法のいずれかを用いて適切かつ簡単にモデル化できます。マクスウェル方程式を解く別の方法として、任意の分散を容易に扱うことができる擬似スペクトル空間領域（PSSD）法があります。これは、空間において電磁場を前方に伝播させる方法です。

グリッド切り捨て技術

オープン領域 FDTD モデリング問題で最も一般的に使用されるグリッド切り捨て手法は、 Mur 吸収境界条件 (ABC) [ 13 ] 、 Liao ABC [ 16 ]、およびさまざまな完全整合層(PML) 定式化です。[ 4 ] [ 43 ] [ 42 ] [ 47 ] Mur 手法と Liao 手法は PML よりも単純です。ただし、 PML (技術的には境界条件そのものよりも吸収領域) は、桁違いに低い反射を提供できます。 PML の概念は、1994 年に J.-P. Berenger によって Journal of Computational Physics に発表された画期的な論文で導入されました。[ 42 ] 1994 年以降、 Berenger のオリジナルの分割フィールド実装は修正され、単軸 PML (UPML)、畳み込み PML (CPML)、および高次 PML に拡張されました。後者の 2 つの PML 定式化では、エバネッセント波を吸収する能力が向上しているため、原理的には、Berenger の元の定式化よりもシミュレートされた散乱構造または放射構造の近くに配置できます。

PMLからの不要な数値反射を減らすために、追加の背面吸収層技術を使用することができる。[ 73 ]

人気

同時期に学術出版のスループットが全体的に増加し、あらゆる計算電磁気学 (CEM) 技術への関心が全体的に高まったにもかかわらず、マクスウェル方程式の FDTD 計算ソリューション アプローチへの関心が大幅に高まった主な理由は 7 つあります。

  1. FDTD法は逆行列演算を必要としません。FDTD法は完全に明示的な計算であるため、逆行列演算に伴う周波数領域積分方程式や有限要素電磁気学モデルのサイズを一般的に10 9 個未満の電磁場未知数に制限するという問題を回避できます。[ 4 ] FDTD法では10 9個もの電磁場未知数を持つモデルも実行されていますが、この数には固有の上限はありません。[ 4 ]
  2. FDTD法は正確かつ堅牢です。FDTD法の計算における誤差の原因は十分に理解されており、その範囲を限定することで、非常に多様な電磁波相互作用問題に対して正確なモデルを構築することができます。[ 4 ]
  3. FDTD法はインパルス的な挙動を自然に扱います。時間領域法であるFDTD法は、電磁システムのインパルス応答を直接計算します。そのため、単一のFDTDシミュレーションで、超広帯域の時間波形または励起スペクトル内の任意の周波数における正弦波の定常応答のいずれかを得ることができます。[ 4 ]
  4. FDTD法は非線形挙動を自然に扱います。時間領域法であるFDTD法は、電磁気システムの非線形応答を直接計算します。これにより、古典的または半古典的な観点から非線形性を記述する補助微分方程式とFDTD法を自然に融合させることができます。[ 4 ]研究の最前線の一つは、FDTD法の古典電磁力学モデルと量子電磁力学、特にカシミール効果 などの真空揺らぎに起因する現象を融合するハイブリッドアルゴリズムの開発です。[ 4 ] [ 74 ]
  5. FDTD法は体系的なアプローチです。FDTD法を用いると、モデル化対象となる新しい構造の指定は、積分方程式の複雑な再定式化ではなく、メッシュ生成の問題に簡略化されます。例えば、FDTD法では構造に依存するグリーン関数の計算は不要です。[ 4 ]
  6. 並列処理コンピュータアーキテクチャはスーパーコンピューティングの主流となってきました。FDTDは並列処理CPUベースのコンピュータ上で高い効率でスケーリングし、最近開発されたGPUベースのアクセラレータ技術でも非常に優れた性能を発揮します。[ 4 ]
  7. コンピュータ可視化能力は急速に向上しています。この傾向はあらゆる数値解析手法にプラスの影響を与えていますが、特にFDTD法は、フィールドのダイナミクスを示すカラービデオに適した、フィールド量の時間進行配列を生成する点で有利です。[ 4 ]
  8. FDTD法では異方性は自然に扱われます。各直交座標方向に成分を持つYeeセルは、異方性特性を持つように簡単に構成できます。[ 4 ]

タフローブは、これらの要因が組み合わさってFDTDが計算電気力学の主要な手法の一つであり続けることを示唆していると主張している（そして潜在的には他のマルチフィジックス問題においても）。[ 4 ]

参照

参考文献

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さらに読む

Nature Milestones: Photonsの次の記事は、マクスウェル方程式に関連した FDTD 法の歴史的重要性を説明しています。

マクスウェル方程式の出版150周年を記念したNature Photonics誌2015年1月号の特集号に掲載された、アレン・タフローブ氏へのインタビュー「数値解」。このインタビューでは、FDTD法の発展がマクスウェルの電気力学理論の150年にわたる歴史とどのように結びついているかについて触れています。

以下の大学レベルの教科書は、FDTD 法の一般的な入門書として最適です。

ウィキメディア コモンズには、有限差分時間領域法に関連するメディアがあります。

フリーソフトウェア/オープンソースソフトウェアFDTD プロジェクト:

  • FDTD++ : 高度なフル機能のFDTDソフトウェア。洗練された材料モデルと定義済みのフィットに加え、ディスカッション/サポートフォーラムと電子メールサポートも提供します。
  • openEMS (C++ で記述され、Matlab / Octaveインターフェイスを使用した、完全な 3D 直交座標および円筒形の段階的メッシュ EC-FDTD ソルバー)
  • pFDTD (Se-Heon Kim が開発した 3D C++ FDTD コード)
  • JFDTD (Jeffrey M. McMahon がナノフォトニクス向けに開発した 2D/3D C++ FDTD コード)
  • WOLFSIM 2008-07-02ウェイバックマシンにアーカイブ(NCSU) (2-D)
  • Meep ( MIT、2D/3D/円筒並列FDTD)
  • （地理）レーダーFDTD
  • bigboy (メンテナンスされていない、リリース ファイルはありません。ソースは CVS から取得する必要があります)
  • C++ の並列 (MPI&OpenMP) FDTD コード(Zs. Szabó によって開発)
  • Fortran 90のFDTDコード
  • 2次元電磁波シミュレーションのためのC言語によるFDTDコード
  • Angora (3D 並列 FDTD ソフトウェア パッケージ、Ilker R. Capoglu が管理)
  • GSvit (グラフィック カード コンピューティングをサポートする C 言語で記述された 3D FDTD ソルバー、グラフィカル ユーザー インターフェイス XSvit が利用可能)
  • gprMax (オープンソース (GPLv3)、GPR 用に開発された Python/Cython の 3D/2D FDTD モデリング コードですが、一般的な EM モデリングにも使用できます。)

フリーウェア/クローズドソースのFDTD プロジェクト (一部商用利用不可):

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