周波数変調合成

2つの演算子を使用したFM合成

220 Hzの搬送波音f cを440 Hzの変調音f mで変調し、周波数変調指数βを様々な値に設定する。時間領域信号を上に示し、対応するスペクトルを下に示す（スペクトル振幅はdB）。

各βの波形

各βのスペクトル

周波数変調合成（FM合成）は、波形の周波数を変調器で変調することで変化させる音声合成の一種である。発振器の（瞬間的な）周波数は、変調信号の振幅に応じて変化する。 ^{[ 1 ]}

FM合成は、倍音と非倍音の両方の音を作り出すことができます。倍音を合成するには、変調信号が元の搬送信号に対して倍音関係にある必要があります。周波数変調の量が増加するにつれて、音は徐々に複雑になります。搬送信号の非整数倍（つまり非倍音）の周波数を持つ変調器を使用することで、非倍音のベルのような音やパーカッシブな音のスペクトルを作り出すことができます。

アナログ発振器を使用したFM合成ではピッチが不安定になる場合があります。^{[ 2 ]}しかし、FM合成はデジタルでも実装でき、より安定しているため標準的な方法になりました。

アプリケーション

シンセサイザーでは

デジタル FM 合成 (瞬間周波数の時間積分を使用した位相変調に相当) は、1974 年初頭からさまざまな楽器の基礎となってきました。ヤマハは 1974 年に FM 合成に基づく最初のプロトタイプデジタル シンセサイザーを製作し、^{[ 3 ]}、1980 年に Yamaha GS-1 を商品化しました。^{[ 4 ]}ニュー イングランド デジタル コーポレーションによって 1978 年から製造されたSynclavier Iには、ヤマハからライセンス供与された FM 合成アルゴリズムを使用したデジタル FM シンセサイザーが搭載されていました。^{[ 5 ]}ヤマハの画期的なYamaha DX7シンセサイザーは 1983 年にリリースされ、1980 年代半ばに FM を合成の最前線に押し上げました。^{[ 6 ]}

PC、アーケード、ゲーム機、携帯電話

FM音源は、1990年代半ばまでゲームやソフトウェアの標準的な設定でした。AdLibやSound BlasterといったIBM PC互換機用のサウンドカードは、 OPL2やOPL3といったヤマハ製チップを普及させました。シャープX68000やMSX（ヤマハCX5Mコンピュータユニット）などの他のコンピュータはOPMサウンドチップを使用しています（後のCX5MユニットはOPPサウンドチップを使用しています）。NEC PC -88およびPC-98コンピュータは、OPNまたはOPNAサウンドチップを使用しています。

アーケードシステムやゲームコンソールでは、OPMは1980年代から1990年代にかけての多くのアーケードボード（セガのシステム16やカプコンのCPシステムのアーケードボードを含む）で使用されていました。OPNも1980年代の一部のアーケードボードで使用されていました。OPNBは、 SNKのネオジオアーケード（MVS）や家庭用ゲーム機（AES）で特に使用され、タイトーのアーケードボードの主要な基本サウンドジェネレーターとして使用されました（OPNBのバリアントがタイトーZシステムボードで使用されていました）。関連するOPN2は、セガのメガドライブ（ジェネシス）、富士通のFMタウンズマーティ、およびセガの一部のアーケードボード（セガシステムC-2やセガシステム32など） で、サウンドジェネレータチップの1つとして使用されました。

FM 合成は、ヤマハ SMAF形式を使用して、2000 年代にさまざまな携帯電話で着信音やその他のサウンドを再生するためにも使用されました。

歴史

ドン・ブックラ（1960年代半ば）

ドン・ブックラは、チョーニングの特許取得以前の1960年代半ばに、自身の楽器にFM変調を実装しました。彼の158、258、259デュアルオシレーターモジュールには、専用のFM制御電圧入力が搭載されていました^{[ 7 ]。}また、モデル208（ミュージックイーゼル）には、主発振器のAMだけでなくFMも制御できるように、変調発振器がハードワイヤードで接続されていました^{[ 8 ]} 。これらの初期のアプリケーションではアナログ発振器が使用されており、この機能はMinimoogやARP Odysseyなどの他のモジュラーシンセサイザーやポータブルシンセサイザーにも引き継がれました。

ジョン・チョーニング（1960年代後半～1970年代）

デジタル周波数変調合成はジョン・チョーニングによって開発された。

20世紀半ばまでに、周波数変調（FM）は音を運ぶ手段であり、数十年前から理解され、ラジオ放送に使用されていました。FM合成は、1967年、カリフォルニア州スタンフォード大学のジョン・チョーニングが、マックス・マシューズが説明したデジタルサウンドの新しい可能性に触発され、デジタル合成と空間化の研究を通して開発しました。彼のアルゴリズムは、 1973年に日本のヤマハ にライセンス供与されました。 ^{[ 3 ]}ヤマハによって商品化された実装（米国特許4018121 1977年4月^{[ 9 ]}または米国特許4,018,121 ^{[ 10 ]}）は、実際には位相変調に基づいていますが、どちらも本質的に直交振幅変調の特殊なケースであるため、結果は数学的に等しくなります。^{[ 11 ]}

1970年代～1980年代

ヤマハによる拡張

ヤマハの技術者たちは、チョーニングのアルゴリズムを市販のデジタルシンセサイザーに応用し始め、周波数変調時にアナログシステムで通常発生する歪みを回避するための「キースケーリング」方式などの改良を加えたが、ヤマハがFMデジタルシンセサイザーを発売するまでには数年を要した。^{[ 12 ]} 1970年代、ヤマハは旧社名「日本楽器製造株式会社」の下で数多くの特許を取得し、チョーニングの研究を発展させた。^{[ 10 ]}ヤマハは1974年に最初のFMデジタルシンセサイザーのプロトタイプを製作しました。 ^{[ 3 ]}ヤマハは最終的に1980年に最初のFMデジタルシンセサイザーであるヤマハGS-1を発売し、FM合成技術を商品化しました。^{[ 4 ]} FM合成は、初期の世代のデジタルシンセサイザーの基礎となっており、最も有名なのはヤマハの製品と、ヤマハからライセンスを受けたニューイングランドデジタルコーポレーションの製品です。^{[ 5 ]}

ヤマハ DX7 FMデジタルシンセサイザー（1983年）

ヤマハが1983年に発売したDX7シンセサイザーは、1980年代を通じて広く普及しました。ヤマハは、この10年間にFM音源のバリエーションと進化を遂げた他のモデルもいくつか発売しました。^{[ 13 ]}

ヤマハは1970年代にFMのハードウェア実装の特許を取得し、^{[ 10 ]} 1990年代半ばまでFM技術の市場をほぼ独占していました。

カシオによる関連開発

カシオは、位相歪み合成と呼ばれる類似の合成方式を開発し、 CZシリーズのシンセサイザーに採用しました。この方式はDXシリーズと類似した（ただし、その生成方法は若干異なります）音質を実現しました。

1990年代

特許満了後のFMの無料利用

スタンフォード大学のFM合成特許が1995年に失効したことで、デジタルFM合成は他のメーカーによって自由に実装できるようになりました。FM合成特許は失効までにスタンフォードに2,000万ドルをもたらし、1994年には「スタンフォード史上2番目に収益性の高いライセンス契約」となりました。^{[ 14 ]}

現在、FM はNative Instrumentsの FM8 やImage-LineのSytrusプラグインなどのソフトウェア ベースのシンセサイザーに多く見られますが、一部の最新デジタル シンセサイザーの合成レパートリーにも組み込まれており、通常は減算合成、サンプルベース合成、加法合成などの他の合成方法とオプションとして共存しています。このようなハードウェア シンセサイザーの FM の複雑さは、単純な 2 オペレータ FM から、Korg KronosやAlesis Fusionの非常に柔軟な 6 オペレータ エンジン、 Kurzweil Music Systemsの最新シンセサイザーなどの高度なモジュール式エンジンでの FM の作成までさまざまです。

FMおよびその他の技術のその後の使用：リアルタイム畳み込みと変調（AFM +サンプル）とフォルマントシェーピング合成

ヤマハSY99 ^{[ 15 ]}とFS1R ^{[ 16 ]}シンセサイザーは、それぞれサンプルベースシンセシスとフォルマントシンセシスの対抗馬として、非常に強力なFMシンセサイザーとして売り出されました。FM機能に特化したハードウェアシンセサイザーは、1999年のFS1Rの発売以降、市場から姿を消しましたが、ClaviaのNord Lead 、 Alesis Fusionシリーズ、Korg OasysとKronos 、Modor NF-1といったシンセサイザーには、高度なFMシンセシス機能が搭載されています。他にも様々なシンセサイザーが、メインエンジンを補完する形で、限定的なFMシンセシス機能を提供しています。

FS1Rには16のオペレーターがあり、8つの標準FMオペレーターと、発振器ではなくノイズソースを音源とする8つの追加オペレーターがありました。調整可能なノイズソースを追加することで、FS1Rは人間の声や管楽器の音をモデリングし、打楽器の音も作り出すことができました。FS1Rにはフォルマント波形と呼ばれる追加波形も搭載されていました。フォルマントは、チェロ、バイオリン、アコースティックギター、ファゴット、イングリッシュホルン、人間の声など、共鳴する楽器の音をモデリングするために使用できます。フォルマントは、いくつかの金管楽器の倍音スペクトルにも見られます。^{[ 17 ]}

2000年代～現在

その他の改良点: 可変位相変調、FM-X 合成、変更された FM など。

2016年、コルグはコンパクトで手頃な価格のデスクトップモジュールであるコルグVolcaシリーズの3ボイス、6オペレーターのFMバージョンであるコルグVolca FMをリリースしました。 ^{[ 18 ]}コルグはまた、減算、アナログモデリング、加算、セミモジュラー、ウェーブシェイピングを備えた6オペレーターのFMシンセシスを統合したopsix（2020）とopsix SE（2023）もリリースしました。

ヤマハは2016年に128ボイスのサンプルベースエンジンと128ボイスのFMエンジンを組み合わせたモンタージュをリリースした。このFMバージョンはFM-Xと呼ばれ、8つのオペレーターを備えている。各オペレーターはいくつかの基本波形を選択できるが、各波形にはスペクトルを調整するためのパラメーターがいくつかある。 ^{[ 19 ]}その後、2018年に、より手頃な価格のヤマハMODXがリリースされ、128ボイスのサンプルベースエンジンに加えて、64ボイス、8オペレーターのFM-Xアーキテクチャを採用した。^{[ 20 ]} 2022年にリリースされたMODX+では、FM-Xエンジンのボイス数がモンタージュと同じ128に増加した。^{[ 21 ]}モンタージュの後継機として2023年に発売されたモンタージュMは、同じ128ボイス、8オペレーターのFM-Xエンジンに加え、128ボイスのサンプルベースエンジンと、新たに導入された16ボイス、3オシレーターのアナログベースエンジンであるAN-Xを搭載しています。^{[ 22 ]}

エレクトロンは2018年に、エレクトロンの有名なシーケンスエンジンを搭載した8ボイス、4オペレーターのFMシンセサイザーであるDigitoneを発売しました。 ^{[ 23 ]}

FM-X シンセシスは、 2016 年にヤマハ Montageシンセサイザーで初めて導入されました。FM-X は 8 つのオペレーターを使用します。各 FM-X オペレーターには、選択可能なマルチスペクトル波形のセットが用意されており、各 FM-X オペレーターは 3 つまたは 4 つの DX7 FM オペレーターのスタックと同等になります。選択可能な波形のリストには、正弦波、All1 および All2 波形、Odd1 および Odd2 波形、Res1 および Res2 波形が含まれます。正弦波の選択は、DX7 波形と同じように機能します。All1 および All2 波形はノコギリ波です。Odd1 および Odd2 波形はパルス波または矩形波です。これら 2 種類の波形は、ほとんどの楽器の倍音スペクトルの下部にある基本的な倍音ピークをモデル化するために使用できます。 Res1とRes2波形は、スペクトルのピークを特定の倍音に移動し、楽器のスペクトル内の高域に位置する三角波または丸みを帯びた倍音群をモデル化するために使用できます。All1またはOdd1波形を複数のRes1（またはRes2）波形と組み合わせ（振幅を調整）、楽器または音の倍音スペクトルをモデル化できます。^{[ 17 ]}

8つのFMオペレーターとマルチスペクトル波形の組み合わせは、ヤマハが1999年に発売したFS1Rで初めて導入されました。このFS1Rは、8つのノイズオペレーターを使用したFM-Xと同等の効果を実現しました。

スペクトル分析

2 オペレータのデモンストレーション: モジュレータの周波数がキャリアの周波数よりも低い場合、出力ノートはモジュレータのノートになります。

FM 合成には次のような複数のバリエーションがあります。

• さまざまなオペレータ配置（ヤマハ用語では「FMアルゴリズム」と呼ばれます）
  • 2人のオペレーター
  • シリアルFM（多段）
  • 並列FM（複数の変調器、複数の搬送波）
  • それらのミックス
• 演算子のさまざまな波形
  • 正弦波形
  • その他の波形
• 追加の変調
  • リニアFM
  • 指数FM（アナログシンセサイザーのCV/oct.インターフェースの逆対数変換に先行）
  • FMと発振器の同期

など​

これらのバリエーションの基礎として、次の 2 つの演算子 (2 つの正弦波演算子を使用した線形 FM 合成) のスペクトルを分析します。

2人のオペレーター

1つの変調器によるFM合成で生成されるスペクトルは次のように表される: ^{[ 24 ] [ 25 ]}

変調信号の場合、搬送信号は次のようになる。^{[注 1 ]}${\displaystyle m(t)=B\,\sin(\omega _{m}t)\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}FM(t)&\ =\ A\,\sin \left(\,\int _{0}^{t}\left(\omega _{c}+B\,\sin(\omega _{m}\,\tau )\right)d\tau \right)\\&\ =\ A\,\sin \left(\omega _{c}\,t-{\frac {B}{\omega _{m}}}\left(\cos(\omega _{m}\,t)-1\right)\right)\\&\ =\ A\,\sin \left(\omega _{c}\,t+{\frac {B}{\omega _{m}}}\left(\sin(\omega _{m}\,t-\pi /2)+1\right)\right)\\\end{aligned}}}$

搬送波と変調器の一定位相項を無視すると、最終的にはChowning 1973およびRoads 1996の232ページ に示されている次の式が得られます。 ${\displaystyle \phi _{c}=B/\omega _{m}\,}$ ${\displaystyle \phi _{m}=-\pi /2\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}FM(t)&\ \approx \ A\,\sin \left(\omega _{c}\,t+\beta \,\sin(\omega _{m}\,t)\right)\\&\ =\ A\left(J_{0}(\beta )\sin(\omega _{c}\,t)+\sum _{n=1}^{\infty }J_{n}(\beta )\left[\,\sin((\omega _{c}+n\,\omega _{m})\,t)\ +\ (-1)^{n}\sin((\omega _{c}-n\,\omega _{m})\,t)\,\right]\right)\\&\ =\ A\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(\beta )\,\sin((\omega _{c}+n\,\omega _{m})\,t)\end{aligned}}}$

ここで、は搬送波と変調器の角周波数（ ）、は周波数変調指数、振幅はそれぞれ第1種ベッセル関数である。^{[注 2 ]}${\displaystyle \omega _{c}\,,\,\omega _{m}\,}$ ${\displaystyle \,\omega =2\pi f\,}$ ${\displaystyle \beta =B/\omega _{m}\,}$ ${\displaystyle J_{n}(\beta )\,}$ ${\displaystyle n\,}$

参照

• 添加剤合成
• チップチューン
• デジタルシンセサイザー
• 電子音楽
• サウンドカード
• サウンドチップ
• ビデオゲームの音楽

参考文献

脚注

1. 変調信号は瞬時周波数として搬送波信号間の時間積分によって位相に変換されること。${\displaystyle m(t)}$ ${\displaystyle FM(t)}$ ${\displaystyle [0,t]}$
2. 上記の式は三角関数の加法公式を使って変換されます

   ${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(x\pm y)&=\sin x\cos y\pm \cos x\sin y\end{aligned}}}$

   ベッセル関数の補題

   ${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(\beta \sin \theta )&=J_{0}(\beta )+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n}(\beta )\cos(2n\theta )\\\sin(\beta \sin \theta )&=2\sum _{n=0}^{\infty }J_{2n+1}(\beta )\sin((2n+1)\theta )\end{aligned}}}$

   （出典：Kreh 2012）

   次のように:

   ${\displaystyle {\begin{aligned}&\sin \left(\theta _{c}+\beta \,\sin(\theta _{m})\right)\\&\ =\ \sin(\theta _{c})\cos(\beta \sin(\theta _{m}))+\cos(\theta _{c})\sin(\beta \sin(\theta _{m}))\\&\ =\ \sin(\theta _{c})\left[J_{0}(\beta )+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n}(\beta )\cos(2n\theta _{m})\right]+\cos(\theta _{c})\left[2\sum _{n=0}^{\infty }J_{2n+1}(\beta )\sin((2n+1)\theta _{m})\right]\\&\ =\ J_{0}(\beta )\sin(\theta _{c})+J_{1}(\beta )2\cos(\theta _{c})\sin(\theta _{m})+J_{2}(\beta )2\sin(\theta _{c})\cos(2\theta _{m})+J_{3}(\beta )2\cos(\theta _{c})\sin(3\theta _{m})+...\\&\ =\ J_{0}(\beta )\sin(\theta _{c})+\sum _{n=1}^{\infty }J_{n}(\beta )\left[\,\sin(\theta _{c}+n\theta _{m})\ +\ (-1)^{n}\sin(\theta _{c}-n\theta _{m})\,\right]\\&\ =\ \sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(\beta )\,\sin(\theta _{c}+n\theta _{m})\qquad (\because \ J_{-n}(x)=(-1)^{n}J_{n}(x))\end{aligned}}}$

引用

1. ドッジ＆ジャージ 1997、115ページ
2. サム・マクガイア;マチェジュ、ズビニェク (2020-12-28)。デジタル オーケストレーションの技術。 CRCプレス。ISBN 978-1-000-28699-1。
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8. Atten Strange (1974). 『電気有機体におけるプログラミングとメタプログラミング ― ミュージックイーゼルのための操作指針』 Buchla and Associates.
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19. ヤマハモンタージュ製品特長ページ
20. ヤマハ MODX 製品特長ページ
21. MODX8+、MODX7+、MODX6+の機能
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23. Digitone製品ページ
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参考文献

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• チョーニング、ジョン、ブリストウ、デイヴィッド (1986). 『FM理論と応用 ― ミュージシャンによる、ミュージシャンのための』 東京: ヤマハ. ISBN 4-636-17482-8。
• チャールズ・ドッジ、トーマス・A. ジェルセ (1997). 『コンピュータ音楽：合成、作曲、演奏』 ニューヨーク: シルマー・ブックス. ISBN 0-02-864682-7。
• Kreh, Martin (2012)、「ベッセル関数」(PDF)、ペンシルベニア州立大学、pp.  5 –6、 2017年11月18日にオリジナル(PDF)からアーカイブ、 2014年8月22日取得
• ローズ、カーティス (1996). 『コンピュータ音楽チュートリアル』 . MIT Press. ISBN 978-0-262-68082-0。

外部リンク

• FM入門、ビル・ショットスタット著
• FMチュートリアル
• シンセの秘密、第12部：周波数変調入門、ゴードン・リード著
• シンセの秘密、第13部：周波数変調についてさらに詳しく、ゴードン・リード著
• ポール・ウィッフェンス シンセスクール：パート3
• 複素演算子解析を含むFM合成FM合成のミラーサイト、2019