ローレンツ空間

数学的解析において、1950年代にジョージ・G・ローレンツによって導入されたローレンツ空間^{[ 1 ] [ 2 ]}は、よりよく知られている空間の一般化です。 ${\displaystyle L^{p}}$

ローレンツ空間は で表されます。空間と同様に、ローレンツ空間もノルム（厳密には準ノルム）によって特徴付けられます。ノルムは、関数の「大きさ」に関する情報を符号化します。関数の「大きさ」に関する2つの基本的な定性的な概念は、関数のグラフの高さと、関数の広がりです。ローレンツノルムは、範囲（）と定義域（）の両方で測度を指数的に再スケーリングすることにより、ノルムよりも両方の性質をより厳密に制御します。ローレンツノルムは、ノルムと同様に、関数の値の任意の並べ替えに対して不変です。 ${\displaystyle L^{p,q}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle L^{p}}$

意味

測度空間 上のローレンツ空間は、次の準形式が有限となる ような複素数値測定関数の空間である。${\displaystyle (X,\mu )}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow\mathbb{\overline{C}}}$

${\displaystyle \|f\|_{L^{p,q}(X,\mu )}=p^{\frac {1}{q}}\left\|t\mu \{|f|\geq t\}^{\frac {1}{p}}\right\|_{L^{q}\left(\mathbf {R} ^{+},{\frac {dt}{t}}\right)}}$

ここで、 である。したがって、 のとき、 ${\displaystyle 0<p<\infty }$ ${\displaystyle 0<q\leq \infty }$ ${\displaystyle q<\infty }$

${\displaystyle \|f\|_{L^{p,q}(X,\mu )}=p^{\frac {1}{q}}\left(\int _{0}^{\infty }t^{q}\mu \left\{x:|f(x)|\geq t\right\}^{\frac {q}{p}}\,{\frac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}=\left(\int _{0}^{\infty }{\bigl (}\tau \mu \left\{x:|f(x)|^{p}\geq \tau \right\}{\bigr )}^{\frac {q}{p}}\,{\frac {d\tau }{\tau }}\right)^{\frac {1}{q}}.}$

そして、 ${\displaystyle q=\infty}$

${\displaystyle \|f\|_{L^{p,\infty }(X,\mu )}^{p}=\sup _{t>0}\left(t^{p}\mu \left\{x:|f(x)|>t\right\}\right).}$

を設定することも慣例となっています。 ${\displaystyle L^{\infty ,\infty }(X,\mu )=L^{\infty }(X,\mu )}$

再配置の減少

準整列は、本質的に定義により、関数 の値の並べ替えに対して不変である。特に、測度空間 上に定義された複素数値の測定可能な関数が与えられた場合、その減少並べ替え関数 は次のように定義される 。${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (X,\mu )}$ ${\displaystyle f^{\ast }:[0,\infty )\to [0,\infty ]}$

${\displaystyle f^{\ast }(t)=\inf\{\alpha \in \mathbf {R} ^{+}:d_{f}(\alpha )\leq t\}}$

ここでは のいわゆる分布関数であり、次のように与えられる。 ${\displaystyle d_{f}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle d_{f}(\alpha )=\mu (\{x\in X:|f(x)|>\alpha \}).}$

ここでは、表記の便宜上、が と定義されます。 ${\displaystyle \inf \varnothing }$ ${\displaystyle \infty}$

2つの関数と は等測度であり、つまり ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle f^{\ast}}$

${\displaystyle \mu {\bigl (}\{x\in X:|f(x)|>\alpha \}{\bigr )}=\lambda {\bigl (}\{t>0:f^{\ast }(t)>\alpha \}{\bigr )},\quad \alpha >0,}$

ここで、実数直線上のルベーグ測度である。と等測度である関連する対称減少再配置関数は、実数直線上で次のように定義される。 ${\displaystyle \lambda}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \mathbf {R} \ni t\mapsto {\tfrac {1}{2}}f^{\ast }(|t|)。}$

これらの定義から、およびに対して、ローレンツ準ノルムは次のように与えられる。 ${\displaystyle 0<p<\infty }$ ${\displaystyle 0<q\leq \infty }$

${\displaystyle \|f\|_{L^{p,q}}={\begin{cases}\left(\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left(t^{\frac {1}{p}}f^{\ast }(t)\right)^{q}\,{\frac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}&q\in (0,\infty ),\\\sup \limits _{t>0}\,t^{\frac {1}{p}}f^{\ast }(t)&q=\infty .\end{cases}}}$

ローレンツ列空間

（ 上の計数測度）のとき、結果として得られるローレンツ空間は列空間となる。しかし、この場合には異なる表記法を用いる方が便利である。 ${\displaystyle (X,\mu )=(\mathbb {N} ,\#)}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

意味。

（複素数の場合は）に対して、 p-ノルムを、∞-ノルムを と表記する。有限p-ノルムを持つすべての列のバナッハ空間を と表記する。を満たすすべての列のバナッハ空間を とし、∞-ノルムを持つものとする。有限個の非零要素のみを持つすべての列のノルム空間を と表記する。これらの空間はすべて、以下のローレンツ列空間の定義において役割を果たす。 ${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\mathbb {N} }}$ ${\textstyle \left\|(a_{n})_{n=1}^{\infty }\right\|_{p}=\left(\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{p}\right)^{1/p}}$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ ${\textstyle \left\|(a_{n})_{n=1}^{\infty }\right\|_{\infty }=\sup _{n\in \mathbb {N} }|a_{n}|}$ ${\displaystyle \ell_{p}}$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$ ${\displaystyle c_{00}}$ ${\displaystyle d(w,p)}$

を満たす正の実数列とし、ノルム を定義する。ローレンツ列空間は、このノルムが有限となるようなすべての列のバナッハ空間として定義される。同様に、 の下での完備化としてを定義することもできる。 ${\displaystyle w=(w_{n})_{n=1}^{\infty }\in c_{0}\setminus \ell _{1}}$ ${\displaystyle 1=w_{1}\geq w_{2}\geq w_{3}\geq \cdots }$ ${\textstyle \left\|(a_{n})_{n=1}^{\infty }\right\|_{d(w,p)}=\sup _{\sigma \in \Pi }\left\|(a_{\sigma (n)}w_{n}^{1/p})_{n=1}^{\infty }\right\|_{p}}$ ${\displaystyle d(w,p)}$ ${\displaystyle d(w,p)}$ ${\displaystyle c_{00}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{d(w,p)}}$

プロパティ

ローレンツ空間は、任意の に対して が成り立つという意味で、空間の真の一般化であり、これはカヴァリエリの原理から導かれる。さらに、は弱と一致する。これらは準バナッハ空間（つまり、準ノルム空間であり完備でもある空間）であり、およびに対してノルム可能である。 のとき、はノルムを備えるが、弱空間の準ノルムに等価なノルムを定義することはできない。 において三角不等式が成り立たない具体的な例として、 を考える。 ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle L^{p,p}=L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p,\infty }}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle 1<p<\infty }$ ${\displaystyle 1\leq q\leq \infty }$ ${\displaystyle p=1}$ ${\displaystyle L^{1,1}=L^{1}}$ ${\displaystyle L^{1,\infty }}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle L^{1,\infty }}$

${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}\chi _{(0,1)}(x)\quad {\text{and}}\quad g(x)={\tfrac {1}{1-x}}\chi _{(0,1)}(x),}$

その準ノルムは 1 に等しく、それらの合計の準ノルムは4 に等しくなります。 ${\displaystyle L^{1,\infty }}$ ${\displaystyle f+g}$

空間はに含まれます。ローレンツ空間は と の間の実補間空間です。 ${\displaystyle L^{p,q}}$ ${\displaystyle L^{p,r}}$ ${\displaystyle q<r}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$

ヘルダーの不等式

${\displaystyle \|fg\|_{L^{p,q}}\leq A_{p_{1},p_{2},q_{1},q_{2}}\|f\|_{L^{p_{1},q_{1}}}\|g\|_{L^{p_{2},q_{2}}}}$ ここで、、、、および。 ${\displaystyle 0<p,p_{1},p_{2}<\infty }$ ${\displaystyle 0<q,q_{1},q_{2}\leq \infty }$ ${\displaystyle 1/p=1/p_{1}+1/p_{2}}$ ${\displaystyle 1/q=1/q_{1}+1/q_{2}}$

デュアルスペース

が非原子的σ有限測度空間である場合、 (i)に対しては、または、(ii)に対しては、または、(iii)に対して。ここでに対しては、に対しては、および。 ${\displaystyle (X,\mu )}$ ${\displaystyle (L^{p,q})^{*}=\{0\}}$ ${\displaystyle 0<p<1}$ ${\displaystyle 1=p<q<\infty }$ ${\displaystyle (L^{p,q})^{*}=L^{p',q'}}$ ${\displaystyle 1<p<\infty ,0<q\leq \infty }$ ${\displaystyle 0<q\leq p=1}$ ${\displaystyle (L^{p,\infty })^{*}\neq \{0\}}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ ${\displaystyle p'=p/(p-1)}$ ${\displaystyle 1<p<\infty }$ ${\displaystyle p'=\infty }$ ${\displaystyle 0<p\leq 1}$ ${\displaystyle \infty '=1}$

原子分解

以下は と同等です。 (i) 。 (ii)は、 が互いに素なサポートを持ち、測度で、ほぼすべての場所で となり、 となります。 (iii)は、 と が互いに素なサポートを持ち、測度 で、ほぼすべての場所で となり、となります。 (iv)は、が互いに素なサポートを持ち、測度 で、ほぼすべての場所で となり、が正の定数となり、 となります。 (v)は、 が互いに素なサポートを持ち、測度 で、ほぼすべての場所で となり、となります。 ${\displaystyle 0<p\leq \infty ,1\leq q\leq \infty }$ ${\displaystyle \|f\|_{L^{p,q}}\leq A_{p,q}C}$ ${\displaystyle f=\textstyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }f_{n}}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle \leq 2^{n}}$ ${\displaystyle 0<H_{n+1}\leq |f_{n}|\leq H_{n}}$ ${\displaystyle \|H_{n}2^{n/p}\|_{\ell ^{q}(\mathbb {Z} )}\leq A_{p,q}C}$ ${\displaystyle |f|\leq \textstyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }H_{n}\chi _{E_{n}}}$ ${\displaystyle \mu (E_{n})\leq A_{p,q}'2^{n}}$ ${\displaystyle \|H_{n}2^{n/p}\|_{\ell ^{q}(\mathbb {Z} )}\leq A_{p,q}C}$ ${\displaystyle f=\textstyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }f_{n}}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle B_{0}2^{n}\leq |f_{n}|\leq B_{1}2^{n}}$ ${\displaystyle B_{0},B_{1}}$ ${\displaystyle \|2^{n}\mu (E_{n})^{1/p}\|_{\ell ^{q}(\mathbb {Z} )}\leq A_{p,q}C}$ ${\displaystyle |f|\leq \textstyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }2^{n}\chi _{E_{n}}}$ ${\displaystyle \|2^{n}\mu (E_{n})^{1/p}\|_{\ell ^{q}(\mathbb {Z} )}\leq A_{p,q}C}$

参照

• 補間空間
• ハーディ・リトルウッド不等式

参考文献

• Grafakos, Loukas (2008), 「古典フーリエ解析」 , Graduate Texts in Mathematics, vol. 249 (第2版), ベルリン, ニューヨーク: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-0-387-09432-8 , ISBN 978-0-387-09431-1、MR  2445437。

注記

1. G. Lorentz、「いくつかの新しい関数空間」、 Annals of Mathematics 51 (1950)、pp.37-55。
2. G. Lorentz、「Λ空間の理論について」、 Pacific Journal of Mathematics 1 (1951)、pp.411-429。