自然対数

自然対数
自然対数関数の一部を示すグラフ。この関数はx が増加するにつれて正の無限大へとゆっくりと増加し、x が0 に近づくにつれて負の無限大へとゆっくりと増加します（「ゆっくり」とは、 xの任意のべき乗則と比較してゆっくりと増加します）。
一般情報
一般的な定義	${\displaystyle \ln x=\log _{e}x}$
発明の動機	双曲線求積法
応用分野	純粋数学と応用数学
ドメイン、コドメイン、イメージ
ドメイン	${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$
コドメイン	${\displaystyle \mathbb {R} }$
画像	${\displaystyle \mathbb {R} }$
特定の値
+∞での値	+∞
eでの値	1
1での値	0
0の値	−∞
具体的な特徴
漸近線	${\displaystyle x=0}$
根	1
逆	${\displaystyle \exp x}$
デリバティブ	${\displaystyle {\dfrac {d}{dx}}\ln x={\dfrac {1}{x}},x>0}$
反微分	${\displaystyle \int \ln x\,dx=x\left(\ln x-1\right)+C}$

自然対数は、数学定数eを底とする対数であり、eは無理数かつ超越数であり、およそ2.718 281 828 459。 ^{[ 1 ]} xの自然対数は一般にln x、 log _e xと表記されるが、底e が暗黙的に指定されている場合は、単にlog xと表記されることもある。 ^{[ 2 ] [ 3 ]}分かりやすくするために括弧が付けられ、 ln( x )、 log _e ( x )、またはlog( x )と表記されることもある。これは特に対数の引数が単一の記号でない場合、曖昧さを避けるために行われる。

xの自然対数は、 e をxと等しくするために必要な累乗です。例えば、ln 7.5は2.0149...です。これはe ^2.0149... = 7.5だからです。 eの自然対数ln eは1です。これはe ¹ = eだからです。一方、1の自然対数はe ⁰ = 1なので0です。

自然対数は、任意の正の実数aに対して、曲線y = 1/ xの下の1 からaまでの面積として定義できます^{[ 4 ]} （ただし、0 < a < 1の場合には面積は負になります）。この定義の単純さは、自然対数を含む他の多くの式にも当てはまり、「自然」という用語の由来となっています。自然対数の定義は、負の数やすべての非ゼロ複素数に対して対数値を与えるように拡張できますが、これは多価関数となります。詳しくは 複素対数を参照してください。

自然対数関数は、正の実数変数の実数値関数として考えると、指数関数の逆関数となり、次の恒等式が成り立ちます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\ln x}&=x\qquad {\text{ if }}x\in \mathbb {R} _{+}\\\ln e^{x}&=x\qquad {\text{ if }}x\in \mathbb {R} \end{aligned}}}$$

すべての対数と同様に、自然対数は正の数の掛け算を加算​​に変換します。^{[ 5 ]}$${\displaystyle \ln(x\cdot y)=\ln x+\ln y~.}$$

対数は、 eだけでなく、1 以外の任意の正の底に対して定義できます。ただし、他の底における対数は自然対数との差が定数倍のみであるため、自然対数 を用いて定義できます。 ${\displaystyle \log _{b}x=\ln x/\ln b=\ln x\cdot \log _{b}e}$

対数は、未知数が他の量の指数として現れる方程式を解くのに役立ちます。例えば、対数は半減期、減衰定数、あるいは指数関数的減衰問題における未知数を求める際に用いられます。対数は数学や科学の多くの分野で重要であり、複利を含む問題を解く際にも用いられます。

歴史

自然対数の概念は、1649年以前にグレゴワール・ド・サン＝ヴァンサンとアルフォンス・アントニオ・ド・サラサによって解明されました。 ^{[ 6 ]}彼らの研究は、双曲線の面積を求めることにより、方程式xy = 1の双曲線の求積法を導き出しました。彼らの解は、現在自然対数と関連付けられている性質を持つ 「双曲線対数」関数を生成しました。

自然対数に関する初期の言及は、1668年に出版されたニコラウス・メルカトルの著書『ロガリトモテクニア』であるが^{[ 7 ]} 、数学教師ジョン・スペイデルは、1619年にすでに事実上自然対数の表を作成していた。^{[ 8 ]}スペイデルの対数はe を底とする対数であると言われてきたが、値が整数として表現される複雑さのため、これは完全に真実ではない。^{[ 8 ] : 152}

表記規則

ln xとlog _e xという表記はどちらもxの自然対数を明確に表し、明示的な底を指定しないlog xも自然対数を指す場合があります。この用法は数学では一般的ですが、一部の科学的文脈や多くのプログラミング言語でも用いられます。^{[注 1 ]}ただし、化学などの他の文脈では、 log x は常用対数（底10）を表すために使用される場合があります。また、コンピュータサイエンス、特に時間計算量の文脈では、 2進対数（底2）を指す場合もあります。

一般的に、数xのbを底とする対数はlog _b xと表記されます。つまり、8の2を底とする対数はlog ₂ 8 = 3となります。

定義

自然対数はいくつかの同等の方法で定義できます。

指数の逆数

最も一般的な定義は の逆関数 として定義されるので、 となります。は任意の実数入力 に対して正かつ逆関数であるため、 のこの定義は任意の正のxに対して明確に定義されます。 ${\displaystyle e^{x}}$ ${\displaystyle e^{\ln(x)}=x}$ ${\displaystyle e^{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \ln(x)}$

積分の定義

ln a は、曲線f ( x ) = 1/ xの下の、 1からaまでの網掛け領域の面積です。aが1より小さい場合、面積は負の値となります。

双曲線の下の面積は対数則を満たします。ここで、A ( s , t ) はsとtの間の双曲線の下の面積を表します。

正の実数aの自然対数は、方程式y = 1/ xを満たす双曲線のグラフの下の、x = 1とx = aの間の面積として定義されます。これは積分です^{[ 4 ]} a が内にある 場合、その領域の面積は負であり、対数は負です。 $${\displaystyle \ln a=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx.}$$ ${\displaystyle (0,1)}$

この関数は対数の基本的な乗法性を満たすので対数である：^{[ 5 ]}$${\displaystyle \ln(ab)=\ln a+\ln b.}$$

これは、次のように、 ln abを定義する積分を2 つの部分に分割し、2 番目の部分で 変数置換x = at (つまりdx = a dt ) を行うことで実証できます。$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln ab=\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}\,dx&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{a}^{ab}{\frac {1}{x}}\,dx\\[5pt]&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{1}^{b}{\frac {1}{at}}a\,dt\\[5pt]&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{1}^{b}{\frac {1}{t}}\,dt\\[5pt]&=\ln a+\ln b.\end{aligned}}}$$

簡単に言えば、これは水平方向に1/ a 、垂直方向にaだけ拡大縮小するだけです。この変換では面積は変化しませんが、 aとabの間の領域は再構成されます。関数a /( ax )は関数1/ xに等しいため、結果として得られる面積は正確にln bとなります。

すると、数e は、 ln a = 1となる唯一の実数aとして定義できます。

プロパティ

自然対数には次のような数学的特性があります。

• ${\displaystyle \ln 1=0}$
• ${\displaystyle \ln e=1}$
• ${\displaystyle \ln(xy)=\ln x+\ln y\quad {\text{for }}\;x>0\;{\text{and }}\;y>0}$
• ${\displaystyle \ln(x/y)=\ln x-\ln y\quad {\text{for }}\;x>0\;{\text{and }}\;y>0}$
• ${\displaystyle \ln(x^{y})=y\ln x\quad {\text{for }}\;x>0}$
• ${\displaystyle \ln({\sqrt[{y}]{x}})=(\ln x)/y\quad {\text{for }}\;x>0\;{\text{and }}\;y\neq 0}$
• ${\displaystyle \ln x<\ln y\quad {\text{for }}\;0<x<y}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1}$
• ${\displaystyle \lim _{\alpha \to 0}{\frac {x^{\alpha }-1}{\alpha }}=\ln x\quad {\text{for }}\;x>0}$
• ${\displaystyle {\frac {x-1}{x}}\leq \ln x\leq x-1\quad {\text{for}}\quad x>0}$
• ${\displaystyle \ln {(1+x^{\alpha })}\leq \alpha x\quad {\text{for}}\quad x\geq 0\;{\text{and }}\;\alpha \geq 1}$

デリバティブ

実数値関数としての自然対数の微分は[ ^{4 ]で}与えられる。$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}.}$$

自然対数のこの微分をどのように確立するかは、それが最初にどのように定義されているかによって異なります。自然対数が積分として定義されている場合、 微積分学の基本定理 の最初の部分から微分は直ちに導かれます。 $${\displaystyle \ln x=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt,}$$

一方、自然対数が（自然）指数関数の逆関数として定義されている場合、対数の特性と指数関数の定義を使用して 導関数（ x > 0の場合）を求めることができます。

数の定義から指数関数は次のように定義できる。 ${\displaystyle e=\lim _{u\to 0}(1+u)^{1/u},}$ $${\displaystyle e^{x}=\lim _{u\to 0}(1+u)^{x/u}=\lim _{h\to 0}(1+hx)^{1/h},}$$ ${\displaystyle u=hx,h={\frac {u}{x}}.}$

すると、導関数は第一原理から求められます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\ln x&=\lim _{h\to 0}{\frac {\ln(x+h)-\ln x}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}\left[{\frac {1}{h}}\ln \left({\frac {x+h}{x}}\right)\right]\\&=\lim _{h\to 0}\left[\ln \left(1+{\frac {h}{x}}\right)^{\frac {1}{h}}\right]\quad &&{\text{all above for logarithmic properties}}\\&=\ln \left[\lim _{h\to 0}\left(1+{\frac {h}{x}}\right)^{\frac {1}{h}}\right]\quad &&{\text{for continuity of the logarithm}}\\&=\ln e^{1/x}\quad &&{\text{for the definition of }}e^{x}=\lim _{h\to 0}(1+hx)^{1/h}\\&={\frac {1}{x}}\quad &&{\text{for the definition of the ln as inverse function.}}\end{aligned}}}$$

また、次のものもございます: $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln ax={\frac {d}{dx}}(\ln a+\ln x)={\frac {d}{dx}}\ln a+{\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}.}$$

したがって、逆関数とは異なり、関数内の定数は微分を変えません。 ${\displaystyle e^{ax}}$

シリーズ

ln(1 + x )のテイラー多項式は、 −1 < x ≤ 1の範囲でのみ正確な近似値を提供します。 x > 1を超えると、高次テイラー多項式はますます近似値が低下します。

自然対数は0で定義されていないため、他の多くの初等関数とは異なり、マクローリン級数を持たない。代わりに、他の点の周りのテイラー展開を求める。例えば、次の場合^{[ 9 ]}${\displaystyle \ln(x)}$ ${\displaystyle \vert x-1\vert \leq 1{\text{ and }}x\neq 0,}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\ln x&=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt=\int _{0}^{x-1}{\frac {1}{1+u}}\,du\\&=\int _{0}^{x-1}(1-u+u^{2}-u^{3}+\cdots )\,du\\&=(x-1)-{\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3}}-{\frac {(x-1)^{4}}{4}}+\cdots \\&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}(x-1)^{k}}{k}}.\end{aligned}}}$$

これは1付近のテイラー級数である。変数変換によりメルカトル級数が得られる。 これは、および に対して有効である。${\displaystyle \ln x}$ $${\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}x^{k}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots ,}$$ ${\displaystyle |x|\leq 1}$ ${\displaystyle x\neq -1.}$

レオンハルト・オイラー[ ^{10 ]は}、を無視しながらも、この級数を に適用し、調和級数が の自然対数、すなわち無限大の対数に等しいことを示しました。今日では、より正式には、 Nで切断された調和級数は、 Nが大きい場合、Nの対数に近く、その差はオイラー・マスケローニ定数に収束することが証明されています。 ${\displaystyle x\neq -1}$ ${\displaystyle x=-1}$ ${\displaystyle {\frac {1}{1-1}}}$

この図は、ln(1 + x )と、その 0 付近のいくつかのテイラー多項式のグラフです。これらの近似は、領域-1 < x ≤ 1でのみ関数に収束します。この領域外では、高次テイラー多項式は関数の より悪い近似になります。

正の整数nの場合の便利な特殊ケースは次のようになります。 ${\displaystyle x={\tfrac {1}{n}}}$ $${\displaystyle \ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{kn^{k}}}={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{2n^{2}}}+{\frac {1}{3n^{3}}}-{\frac {1}{4n^{4}}}+\cdots }$$

もしそうなら ${\displaystyle \operatorname {Re} (x)\geq 1/2,}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(x)&=-\ln \left({\frac {1}{x}}\right)=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}({\frac {1}{x}}-1)^{k}}{k}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(x-1)^{k}}{kx^{k}}}\\&={\frac {x-1}{x}}+{\frac {(x-1)^{2}}{2x^{2}}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3x^{3}}}+{\frac {(x-1)^{4}}{4x^{4}}}+\cdots \end{aligned}}}$$

ここで、 正の整数nをとると、次のようになります。 ${\displaystyle x={\tfrac {n+1}{n}}}$ $${\displaystyle \ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(n+1)^{k}}}={\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{2(n+1)^{2}}}+{\frac {1}{3(n+1)^{3}}}+{\frac {1}{4(n+1)^{4}}}+\cdots }$$

すると、 次の式が 得られる。再び正の整数nに 置換する と 、次の式が得られる。 ${\displaystyle \operatorname {Re} (x)\geq 0{\text{ and }}x\neq 0,}$ $${\displaystyle \ln(x)=\ln \left({\frac {2x}{2}}\right)=\ln \left({\frac {1+{\frac {x-1}{x+1}}}{1-{\frac {x-1}{x+1}}}}\right)=\ln \left(1+{\frac {x-1}{x+1}}\right)-\ln \left(1-{\frac {x-1}{x+1}}\right).}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(1+y)-\ln(1-y)&=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i}}\left((-1)^{i-1}y^{i}-(-1)^{i-1}(-y)^{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {y^{i}}{i}}\left((-1)^{i-1}+1\right)\\&=y\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {y^{i-1}}{i}}\left((-1)^{i-1}+1\right){\overset {i-1\to 2k}{=}}\;2y\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y^{2k}}{2k+1}},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(x)&={\frac {2(x-1)}{x+1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+1}}{\left({\frac {(x-1)^{2}}{(x+1)^{2}}}\right)}^{k}\\&={\frac {2(x-1)}{x+1}}\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{3}}{\frac {(x-1)^{2}}{(x+1)^{2}}}+{\frac {1}{5}}{\left({\frac {(x-1)^{2}}{(x+1)^{2}}}\right)}^{2}+\cdots \right).\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle x={\tfrac {n+1}{n}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)&={\frac {2}{2n+1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)((2n+1)^{2})^{k}}}\\&=2\left({\frac {1}{2n+1}}+{\frac {1}{3(2n+1)^{3}}}+{\frac {1}{5(2n+1)^{5}}}+\cdots \right).\end{aligned}}}$$

これは、ここで説明したシリーズの中で、これまでのところ最も速い収束です。

自然対数は無限積として表すこともできる: ^{[ 11 ]}$${\displaystyle \ln(x)=(x-1)\prod _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{2^{k}}]{x}}}}\right)}$$

2つの例は次のようになります。 $${\displaystyle \ln(2)=\left({\frac {2}{1+{\sqrt {2}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{4}]{2}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{8}]{2}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{16}]{2}}}}\right)...}$$ $${\displaystyle \pi =(2i+2)\left({\frac {2}{1+{\sqrt {i}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{4}]{i}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{8}]{i}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{16}]{i}}}}\right)...}$$

このアイデンティティから、次のことが簡単にわかります。 $${\displaystyle {\frac {1}{\ln(x)}}={\frac {x}{x-1}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2^{-k}x^{2^{-k}}}{1+x^{2^{-k}}}}}$$

例えば： $${\displaystyle {\frac {1}{\ln(2)}}=2-{\frac {\sqrt {2}}{2+2{\sqrt {2}}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{2}}{4+4{\sqrt[{4}]{2}}}}-{\frac {\sqrt[{8}]{2}}{8+8{\sqrt[{8}]{2}}}}\cdots }$$

積分における自然対数

自然対数を用いると、 の形の関数の積分が簡単に行えます。g ( x )の原始微分はで与えられます。これは連鎖律と以下の事実によるものです。 ${\displaystyle g(x)={\frac {f'(x)}{f(x)}}}$ ${\displaystyle \ln(|f(x)|)}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln \left|x\right|={\frac {1}{x}},\ \ x\neq 0}$$

言い換えれば、を含まない実数直線上の区間を積分すると、 Cは積分の任意定数で ある。^{[ 12 ]}${\displaystyle x=0}$ $${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln |x|+C}$$

同様に、積分が の区間にわたる場合、 ${\displaystyle f(x)\neq 0}$

$${\displaystyle \int {{\frac {f'(x)}{f(x)}}\,dx}=\ln |f(x)|+C.}$$

たとえば、が無限大となる点を含まない区間での の積分を考えます。 ${\displaystyle \tan(x)}$ ${\displaystyle \tan(x)}$ $${\displaystyle \int \tan x\,dx=\int {\frac {\sin x}{\cos x}}\,dx=-\int {\frac {{\frac {d}{dx}}\cos x}{\cos x}}\,dx=-\ln \left|\cos x\right|+C=\ln \left|\sec x\right|+C.}$$

自然対数は部分積分を使って積分することができます。 $${\displaystyle \int \ln x\,dx=x\ln x-x+C.}$$

すると : $${\displaystyle u=\ln x\Rightarrow du={\frac {dx}{x}}}$$ $${\displaystyle dv=dx\Rightarrow v=x}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int \ln x\,dx&=x\ln x-\int {\frac {x}{x}}\,dx\\&=x\ln x-\int 1\,dx\\&=x\ln x-x+C\end{aligned}}}$$

効率的な計算

x > 1の場合、 xの値が1 に近いほど、1 を中心とするテイラー級数の収束速度が速くなります。対数に関連付けられた恒等式を利用してこれを利用できます。 ${\displaystyle \ln(x)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\ln 123.456&=\ln(1.23456\cdot 10^{2})\\&=\ln 1.23456+\ln(10^{2})\\&=\ln 1.23456+2\ln 10\\&\approx \ln 1.23456+2\cdot 2.3025851.\end{aligned}}}$$

このような技術は、計算機が登場する以前から、数値表を参照したり、上記のような操作を行ったりして使用されていました。

10の自然対数

10の自然対数はおよそ2.302 585 09、 ^{[ 13 ]は}、例えば科学的記数法で表された数値の自然対数の計算において、仮数部に10の累乗を掛けたものとして機能します。 $${\displaystyle \ln(a\cdot 10^{n})=\ln a+n\ln 10.}$$

これは、[1, 10)の範囲内の比較的小さな小数の対数を使用して、非常に大きい数または非常に小さい数の対数を効果的に計算できることを意味します。

高精度

自然対数を高桁精度で計算する場合、テイラー級数法は収束が遅いため効率的ではありません。特にxが1に近い場合、指数関数の逆関数を求める際にハレー法またはニュートン法を用いるのが良い代替策です。指数関数の級数の方が収束が速いためです。ハレー法を用いてyの値を、あるいはそれと同等のニュートン法を用いて を求める場合、反復計算はへと簡略化されます 。 これはに3次収束します。 ${\displaystyle \exp(y)-x=0}$ ${\displaystyle \exp(y/2)-x\exp(-y/2)=0}$ $${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+2\cdot {\frac {x-\exp(y_{n})}{x+\exp(y_{n})}}}$$ ${\displaystyle \ln(x)}$

極めて高精度な計算を行うための別の方法として、式^{[ 14 ] [ 15 ]} があります。 ここで、 M は1 と4/ sの算術幾何平均を表し、 m はpビットの精度が得られるように選択されます。(ほとんどの場合、 mの値は 8 で十分です。) 実際、この方法を使用すると、逆に自然対数のニュートン逆変換を使用して指数関数を効率的に計算できます。(定数とπ は、いくつかの既知の収束の早い級数のいずれかを使用して、必要な精度に事前に計算できます。) または、次の式を使用できます。 $${\displaystyle \ln x\approx {\frac {\pi }{2M(1,4/s)}}-m\ln 2,}$$ $${\displaystyle s=x2^{m}>2^{p/2},}$$ ${\displaystyle \ln 2}$ $${\displaystyle \ln x={\frac {\pi }{M\left(\theta _{2}^{2}(1/x),\theta _{3}^{2}(1/x)\right)}},\quad x\in (1,\infty )}$$

ヤコビのシータ関数はどこに ありますか。^{[ 16 ]}$${\displaystyle \theta _{2}(x)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }x^{(n+1/2)^{2}},\quad \theta _{3}(x)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }x^{n^{2}}}$$

ウィリアム・カーハンの提案に基づき、1979 年にヒューレット・パッカードHP-41C電卓で初めて実装された(画面上では "LN1" とのみ表記) 電卓、オペレーティング システム(例: Berkeley UNIX 4.3BSD ^{[ 17 ]} )、数式処理システム、プログラミング言語 (例: C99 ^{[ 18 ]} ) では、特別な自然対数プラス 1関数 (別名: LNP1 [ ^{19 ] [ 20 ]}またはlog1p ^{[ 18 ]} ) が提供されており、0 に近い対数に対してより正確な結果を得ることができます。これは、1 に近い値 y を ln( y ) を返す関数に渡す^代わりに、0に近い引数xをlog1p( x )という関数に渡して ln ( 1+ x )を返すようにすることで実現されます。^{[ 18 ] [ 19 ] [ 20 ]}関数log1pは、浮動小数点演算において、自然対数のテイラー展開の2番目の項と絶対値1の項がほぼ相殺されるのを防ぎます。これにより、引数、結果、そして中間ステップがすべてゼロに近づき、浮動小数点数として最も正確に表現できるようになります。^{[ 19 ] [ 20 ]}

IEEE 754-2008標準では、 eを底とするほか、2 進対数と10 進対数に対して 1 付近の同様の対数関数として、log ₂ (1 + x )とlog ₁₀ (1 + x )を定義しています。

同様の逆関数として「expm1 」 ^{[ 18 ]}、「expm」^{[ 19 ] 、[ 20 ]} 、「exp1m」も存在し、いずれもexpm1( x ) = exp( x ) − 1の意味を持つ。^{[注2 ]}

逆双曲正接に関する恒等式は、 log1p( x )を実装していないシステム上で、x の小さな値に対して高精度の値を与えます。 $${\displaystyle \mathrm {log1p} (x)=\log(1+x)=2~\mathrm {artanh} \left({\frac {x}{2+x}}\right)\,,}$$

計算の複雑さ

算術幾何平均（上記2つの方法）を用いた自然対数の計算にかかる計算量はです。ここで、nは自然対数を評価する精度の桁数であり、M ( n )は2つのn桁の数値を乗算する計算量です。 ${\displaystyle {\text{O}}{\bigl (}M(n)\ln n{\bigr )}}$

連分数

単純な連分数は利用できませんが、次のようないくつかの一般化された連分数が存在します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(1+x)&={\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots \\[5pt]&={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+{\cfrac {4^{2}x}{5-4x+\ddots }}}}}}}}}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\ln \left(1+{\frac {x}{y}}\right)&={\cfrac {x}{y+{\cfrac {1x}{2+{\cfrac {1x}{3y+{\cfrac {2x}{2+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}\\[5pt]&={\cfrac {2x}{2y+x-{\cfrac {(1x)^{2}}{3(2y+x)-{\cfrac {(2x)^{2}}{5(2y+x)-{\cfrac {(3x)^{2}}{7(2y+x)-\ddots }}}}}}}}\end{aligned}}}$$

これらの連分数、特に最後の連分数は、1 に近い値に対して急速に収束します。ただし、はるかに大きな数の自然対数は、小さな数の自然対数を繰り返し加算することで簡単に計算でき、同様に急速に収束します。

たとえば、2 = 1.25 ³ × 1.024 なので、2 の自然対数は次のように計算できます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\ln 2&=3\ln \left(1+{\frac {1}{4}}\right)+\ln \left(1+{\frac {3}{125}}\right)\\[8pt]&={\cfrac {6}{9-{\cfrac {1^{2}}{27-{\cfrac {2^{2}}{45-{\cfrac {3^{2}}{63-\ddots }}}}}}}}+{\cfrac {6}{253-{\cfrac {3^{2}}{759-{\cfrac {6^{2}}{1265-{\cfrac {9^{2}}{1771-\ddots }}}}}}}}.\end{aligned}}}$$

さらに、10 = 1.25 ¹⁰ × 1.024 ³なので、10の自然対数も同様に計算できます。 自然対数の逆数は次のように書くこともできます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\ln 10&=10\ln \left(1+{\frac {1}{4}}\right)+3\ln \left(1+{\frac {3}{125}}\right)\\[10pt]&={\cfrac {20}{9-{\cfrac {1^{2}}{27-{\cfrac {2^{2}}{45-{\cfrac {3^{2}}{63-\ddots }}}}}}}}+{\cfrac {18}{253-{\cfrac {3^{2}}{759-{\cfrac {6^{2}}{1265-{\cfrac {9^{2}}{1771-\ddots }}}}}}}}.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{\ln(x)}}={\frac {2x}{x^{2}-1}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {x^{2}+1}{4x}}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {x^{2}+1}{4x}}}}}}\ldots }$$

例えば： $${\displaystyle {\frac {1}{\ln(2)}}={\frac {4}{3}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {5}{8}}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {5}{8}}}}}}\ldots }$$

複素対数

指数関数は、任意の複素数zに対してe ^zという複素数を与える関数に拡張できます。 x = z complexの無限級数を用いるだけです。この指数関数を逆関数にすることで、通常の対数の特性のほとんどを示す複素対数を得ることができます。ただし、2つの問題があります。e ^x = 0となるx は存在しないこと、そしてe ^{2 iπ} = 1 = e ⁰となることです。複素指数関数でも乗法性は成立するため、すべての複素数zと整数 kに対して、 e ^z = e ^{z +2 kiπ が}成立します。

したがって、対数は複素平面全体に対して定義することはできず、定義できたとしても多価である。つまり、任意の複素対数は、任意の2 iπの整数倍を加えることで、「等価な」対数に変換できる。複素対数は、切断平面上では単価である。例えば、ln i = ⁠iπ/2⁠または⁠5インチ/2⁠または− ⁠3 π/2⁠など。また、 i ⁴ = 1 ですが、4 ln i は2 iπ、 10 iπ、または−6 iπなどと定義することもできます。

• 複素平面上の自然対数関数のプロット（主枝）
• 
  z = Re(ln( x + yi ))
• 
  z = | (Im(ln( x + yi ))) |
• 
  z = | (ln( x + yi )) |
• 
  前の3つのグラフの重ね合わせ

参照

• 反復対数
• ネイピア対数
• 対数恒等式の一覧
• 行列の対数
• リー群の要素の対数座標。
• 対数微分
• 対数積分関数
• ニコラウス・メルカトル– 自然対数という用語を初めて使用した人物
• 多重対数
• フォン・マンゴルト関数

注記

1. C、 C++、 Java、 SAS、 MATLAB、 Mathematica、 Fortran、および一部のBASIC方言を含む
2. 特定の入力値の計算の丸め誤差を減らす同様の方法については、 versine、 vercosine、 coversine、 covercosine、 haversine、 havercosine、 hacoversine、 hacovercosine、 exsecant、 excosecantなどの三角関数を参照してください。

参考文献

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