幾何学的位相幾何学において、PDIFF （区分微分可能）は、区分的に滑らかな多様体とそれらの間の区分的に滑らかな写像の圏です。PDIFFは、DIFF（滑らかな多様体とそれらの間の滑らかな関数の圏）とPL（区分線形多様体とそれらの間の区分線形写像の圏）を適切に包含します。PDIFFが定義されている理由は、これら2つの圏を関連付けるためです。さらに、スプラインや多角形連鎖などの区分関数は数学でよく見られ、PDIFFはそれらを議論するための圏を提供します。
動機
PDIFFは主に技術的な点です。滑らかな写像は区分線形ではありません（線形でない限り）。また、区分線形写像は滑らかではありません（大域的に線形でない限り）。交差は線形写像、より正確にはアフィン写像です（基底がないため）。したがって、これらは直接関連付けることはできません。これらはアフィン写像の概念の別々の一般化です
しかしながら、滑らかな多様体はPL多様体ではないものの、標準的なPL構造を持ち、一意に三角形化可能である。逆に、すべてのPL多様体が滑らかにできるわけではない。特定の滑らかな多様体、または滑らかな多様体間の滑らかな写像については、多様体を十分に小さな部分に分割し、各部分上で多様体または写像を線型化することで、このことが示される。例えば、平面上の円は三角形で近似できるが、2角形では近似できない。2角形は線型に埋め込むことができないためである。
ただし、Diff と PL の関係には選択が必要であり、両方のカテゴリをより大きなカテゴリに含め、次に PL を含めることが同値であることを示すことによって、より自然に示され理解されます。すべての滑らかな多様体とすべての PL 多様体は PDiff 多様体です。したがって、Diff から PDiff へ、PL から PDiff へ行くのは自然です。これらは単なる包含です。PL から PDiff への写像は等式ではありませんが (すべての区分的に滑らかな関数が区分的に線形であるわけではありません)、同値です。部分を線形化することで、逆方向に進めます。したがって、いくつかの目的のために反転したり、同型と見なしたりすることができ、写像が得られます。これらのカテゴリはすべて、位相多様体とそれらの間の連続写像のカテゴリである TOP 内にあります。
要約すると、PDiff はピース (コーナー) を許可し、一般にコーナーを滑らかにできないため Diff よりも汎用的ですが、PL はピースを線形化できるため PDiff と同じくらい汎用的です (より正確には、ピースを小さなピースに分割してから線形化する必要がある場合がありますが、これは PDiff で許可されています)。
歴史
すべての滑らかな（実際、C 1）多様体は一意のPL構造を持つということは、（Whitehead 1940 ）で最初に証明されました。詳細な説明的証明は（ Munkres 1966 ）で与えられています。結果は初歩的であり、詳細に証明するにはかなり技術的であるため、現代の教科書では一般的に、（Thurston 1997）に示されている簡潔な証明の概要のように、概略のみ示されています。非常に簡潔な概要は（McMullen 1997）で示されており、短いながらも詳細な証明は（Lurie 2009） で示されています
参考文献
- ルリー、ジェイコブ（2009年2月13日）ホワイトヘッド三角測量（講義3）（PDF）
- McMullen, CT (1997年8月21日). 「Re: PL and DIFF manifolds: a question」 .ニュースグループ: sci.math.research . 2013年4月8日時点のオリジナルよりアーカイブ。2012年5月10日閲覧。
- マンクレス、ジェームズ・R.（1966）「初等微分位相幾何学」、数学研究年報、第54巻、プリンストン大学出版局、ISBN 0-69109093-9第2章
{{citation}}: CS1 メンテナンス: 追記 (リンク) - サーストン、ウィリアム（1997年）『三次元幾何学と位相幾何学』プリンストン大学出版局、 194～ 195ページ 、 ISBN 978-0-69108304-9PDIFF
{{citation}}: CS1 メンテナンス: 追記 (リンク) - ホワイトヘッド、JHC（1940年10月）「C1複体について」数学年報第2集、41 (4): 809–824 . doi : 10.2307/1968861 . JSTOR 1968861
