スピン(7)多様体

数学において、スピン(7)-多様体とは、ホロノミー群がスピン(7)に含まれる8次元リーマン多様体である。スピン(7)-多様体はリッチ平坦であり、平行スピノルを許容する。また、平行4次元形式（ケイリー形式）も許容する。ケイリー形式は、ケイリーサイクルと呼ばれる特殊なクラスの部分多様体の較正形式である。実際、リーマン計量とケイリー形式は互いに決定関係にある。

歴史

Spin(7) が特定の 8 次元リーマン多様体のホロノミー群として生じる可能性があるという事実は、1955 年のMarcel Bergerの分類定理によって最初に示唆され、この可能性は 1962 年にJim Simonsによって与えられた Berger の定理の簡略化された証明と一致していました。そのような多様体の例はまだ 1 つも発見されていませんでしたが、Edmond Bonan は1966 年に、そのような多様体が実際に存在する場合、それは平行 4 次元形式を持ち、必然的にリッチ平坦になることを示しました。^{[ 1 ]}ホロノミースピン(7)を持つ8次元多様体の最初の局所例は、1984年頃にロバートブライアントによって構築され、その存在の完全な証明は1987年に数学年報に掲載されました。 ^{[ 2 ]}次に、ホロノミースピン(7)を持つ完全な（しかしまだコンパクトではない）8次元多様体がブライアントとS.サラモンによって1989年に明示的に構築されました。^{[ 3 ]}その後、コンパクトスピン(7)多様体の最初の例は1996年にドミニクジョイスによって構築されました。^{[ 4 ]}

同等の定義

定義により、Spin(7)-多様体はSpin(7)ホロノミーを持つリーマン多様体である。しかし、一般的には、ケーリー形式（特定の性質を持つ微分形式）の存在に基づく同等の定義を用いる方が簡単である。^{[ 5 ]}

8次元多様体X上のケーリー形式を定義する方法は複数あります。最も簡潔なものは以下のとおりです。

ケーリー形式は、各点においての安定条件がSpin(7)である4次元形式である。${\displaystyle \Phi \in \Omega ^{4}(X)}$ ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle \Phi |_{p}}$

正値性の概念も必要です。ベクトルvと形式が与えられたとき、内積を と表します。 ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \iota _{v}\omega }$

ケーリー形式は、 uとvが線型独立であるとき、最上次元形式とが常に同じ向きを誘導する場合、正と呼ばれます。正でない場合は、負と呼ばれます。${\displaystyle \Phi \in \Omega ^{4}(X)}$ ${\displaystyle \Phi \wedge \Phi }$ ${\displaystyle \iota _{v}\iota _{u}\Phi \wedge \iota _{v}\iota _{u}\Phi \wedge \Phi }$

上記が確立されると、Spin(7)構造を定義することができます。

を滑らかな8次元多様体とする。上のSpin(7)構造は、各接空間上の正ケーリー形式に制限される4次元形式である。この場合、この対は概Spin(7)多様体と呼ばれる。概Spin(7)多様体は、が閉じている場合、Spin(7)多様体と呼ばれる。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Phi \in \Omega ^{4}(X)}$ ${\displaystyle (X,\Phi )}$ ${\displaystyle (X,\Phi )}$ ${\displaystyle \Phi }$

ほぼSpin(7)多様体は、任意の ベクトルvとu のペアに対して、と両立するリーマン計量を持つことが判明している。が閉じている場合、この計量はSpin(7)ホロノミーを持つ。 ${\displaystyle \Phi }$ $${\displaystyle \iota _{v}\iota _{u}\Phi \wedge \iota _{v}\iota _{u}\Phi \wedge \Phi =6|u\wedge v|^{2}\operatorname {vol} }$$ ${\displaystyle \Phi }$

ケイリー形式によって決定される計量をカリギアニスの公式を介して明示的に構築することもできる。^{[ 6 ]}計量はケイリー形式のスケーリングまで定義される。

参照

• G ₂多様体
• カラビ・ヤウ多様体
• 8次元ザイバーグ・ウィッテン理論

参考文献

1. エドモンド・ボナン(1966)。"Sur les variétés riemanniennes à groupe d'holonomie G ₂ ou Spin(7)"。CRアカデミー。科学。パリ。262：127～ 129
2. ブライアント, ロバート L. (1987年11月). 「例外的なホロノミーを持つ計量法」. 『数学年報』 . 126 (3): 525–576 . doi : 10.2307/1971360 . JSTOR 1971360 . 
3. ブライアント, ロバート L. ; サラモン, サイモン M. (1989年6月1日). 「例外的なホロノミーを持ついくつかの完全計量の構築について」デューク数学ジャーナル. 58 (3): 829– 850. doi : 10.1215/S0012-7094-89-05839-0 .
4. Joyce, DD (1996年9月). 「ホロノミースピン(7)を持つコンパクト8次元多様体」. Inventiones Mathematicae . 123 (3): 507– 552. doi : 10.1007/s002220050039 .
5. サラモン、ディートマー A. ;ウォルプスキー、トーマス (2017-04-06)。 「八角形に関するメモ」。arXiv : 1005.2820 [ math.RA ]。
6. カリギアニス、スピロ (2005年10月1日). 「G 2 構造とスピン(7)構造の変形」 .カナダ数学ジャーナル. 57 (5): 1012– 1055. arXiv : math/0301218 . doi : 10.4153/CJM-2005-039-x . ISSN 0008-414X .