曲げ

梁の曲げ

応用力学において、曲げ（たわみとも呼ばれる）は、細長い構造要素の長手軸に垂直に 外部荷重が加わったときの挙動を特徴づけます

構造要素は、少なくとも 1 つの寸法が他の 2 つの寸法のごく一部、通常は 1/10 以下であると想定されます。^[1]長さが幅や厚さよりもかなり長い場合、その要素は梁と呼ばれます。たとえば、洋服ハンガーに掛けた衣服の重みでたわむクローゼットの棒は、曲げを受ける梁の例です。一方、シェルは、長さと幅が同じ桁であるが、構造の厚さ (「壁」と呼ばれる) が大幅に小さい、任意の幾何学的形状の構造です。直径は大きいが壁が薄く、短いチューブで、両端で支えられ、横方向に荷重がかかるものは、曲げを受けるシェルの例です。

修飾語がない場合、「曲げ」という用語は曖昧になります。なぜなら、曲げはあらゆる物体において局所的に発生する可能性があるからです。そのため、この用語をより正確に使用するために、エンジニアは特定の物体を指して「棒の曲げ」^[2]、「梁の曲げ」^[1]、「板の曲げ」 [ ^3]、「シェルの曲げ」 [ ^2]などと呼びます。

梁の準静的曲げ

梁は横方向の荷重を受けると変形し、内部に応力が発生します。準静的な場合、曲げたわみ量と発生する応力は時間経過に伴って変化しないと仮定されます。両端で支持され、中央から下向きの荷重を受ける水平梁の場合、梁の上側の材料は圧縮され、下側の材料は伸張されます。横方向の荷重によって生じる内部応力には、以下の2つの形態があります。

• 横方向の荷重に平行なせん断応力と、荷重方向に垂直な平面上の補足せん断応力。
• 梁の上部領域における直接圧縮応力。主にセメントコンクリート要素に適用され、
• 直接引張応力は、鋼鉄要素に適用され、梁の下部領域にあります。

これら2つの力は大きさが等しく方向が反対であるため、偶力またはモーメントを形成します。この曲げモーメントは、曲げを受ける梁のたわみ変形特性に抵抗します。いくつかの単純化された仮定を用いることで、梁の応力分布をかなり正確に予測することができます。^[1]

オイラー・ベルヌーイ曲げ理論

曲げ梁の要素：繊維は同心円弧を形成し、上部の繊維は圧縮され、下部の繊維は伸張されます

梁の曲げモーメント

細長い梁のオイラー・ベルヌーイ理論では、「平面断面は平面のままである」という大きな仮定が用いられます。言い換えれば、断面を横切るせん断による変形は考慮されません（せん断変形なし）。また、この線形分布は、最大応力が材料の降伏応力よりも小さい場合にのみ適用されます。降伏応力を超える応力については、 「塑性曲げ」の項を参照してください。降伏時において、断面（梁の中立軸から最も遠い点）で発生する最大応力が曲げ強度として定義されます。

次の条件が当てはまるビームを検討します。

• 梁はもともとまっすぐで細く、テーパーはわずかである
• 材料は等方性（または直交異方性）、線形弾性、および任意の断面にわたって均質である（ただし、必ずしも長さに沿って均質である必要はない）。
• 小さなたわみのみ考慮される

この場合、ビームのたわみ（）を記述する式は次のように近似できます。 ${\displaystyle w}$

${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w(x)}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {M(x)}{E(x)I(x)}}}$

ここで、 に関するたわんだ形状の2次導関数はその曲率として解釈され、はヤング率、は断面の面積モーメント、は梁の内部曲げモーメントです。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle M}$

さらに、梁が長さに沿って均質であり、テーパー状（すなわち、一定断面）でなく、横方向の荷重を受けてたわむ場合、次のことが証明される。^[1]${\displaystyle q(x)}$

${\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w(x)}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x)}$

これは梁の曲げに関するオイラー・ベルヌーイの方程式です。

梁の変位の解が得られたら、梁の 曲げモーメント（ ）とせん断力（ ）は、次の関係式を使って計算できる。${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle M(x)=-EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}~;~~Q(x)={\cfrac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} x}}.}$

単純梁の曲げ解析は、オイラー・ベルヌーイ梁方程式を用いて行われることが多い。単純曲げ理論を用いるための条件は以下の通りである。^[4]

1. 梁は純曲げを受ける。つまり、せん断力はゼロであり、ねじり荷重や軸方向荷重は発生しない。
2. 材料は等方性（または直交異方性）かつ均質です。
3. 材料はフックの法則に従います(線形弾性があり、塑性変形しません)。
4. ビームは最初は直線で、その断面はビームの長さ全体にわたって一定です。
5. 梁は曲げ平面内に対称軸を持ちます。
6. 梁の比率は、潰れ、しわ、または横方向の座屈ではなく、曲げによって破損するような比率です。
7. 曲げても梁の断面は平面のままです。

対称的に偏向した梁の偏向と重ね合わせの原理

曲げ荷重を受けると、梁の軸方向に圧縮力と引張力が生じます。これらの力により、梁に応力が生じます。最大圧縮応力は梁の最上端で発生し、最大引張応力は梁の下端で発生します。これら 2 つの反対の最大値間の応力は線形に変化するため、それらの間の線形経路上には曲げ応力がない点が存在します。これらの点の軌跡が中立軸です。この応力のない領域と、隣接する応力の低い領域があるため、均一断面の梁を曲げに使用することは、梁が崩壊する直前まで梁の能力が最大限に発揮されないため、荷重を支える特に効率的な手段とは言えません。広幅フランジ梁 ( Ɪ 梁) とトラス 桁は、この応力不足領域の材料の量を最小限に抑えることで、この非効率性を効果的に解決します。

単純曲げを受ける梁の曲げ応力を決定するための古典的な式は次の通りである: ^[5]

${\displaystyle \sigma _{x}={\frac {M_{z}y}{I_{z}}}={\frac {M_{z}}{W_{z}}}}$

ここで

• ${\displaystyle {\sigma _{x}}}$ は曲げ応力
• ${\displaystyle M_{z}}$ は中立軸周りのモーメント
• ${\displaystyle y}$ – 中立軸に対する垂直距離
• ${\displaystyle I_{z}}$ –中立軸zの周りの面積の2次モーメント。
• ${\displaystyle W_{z}}$ - 中立軸zの周りの抵抗モーメント。${\displaystyle W_{z}=I_{z}/y}$

オイラー・ベルヌーイ梁曲げ理論の拡張

塑性曲げ

この式は、端繊維（つまり、梁の中立軸から最も遠い部分）の応力が、梁を構成する材料の降伏応力を下回る場合にのみ有効です。荷重が高くなると、応力分布は非線形になり、延性材料は最終的に塑性ヒンジ状態になります。この状態では、応力の大きさは梁のあらゆる場所で降伏応力に等しくなり、中立軸で不連続となり、応力が引張から圧縮に変化します。この塑性ヒンジ状態は、通常、鉄骨構造の設計における 限界状態として使用されます${\displaystyle \sigma ={\tfrac {My}{I_{x}}}}$

複雑または非対称の曲げ

上記の式は、断面が対称である場合にのみ有効です。非対称断面を持つ均質梁の場合、梁の最大曲げ応力は次のように表されます。

${\displaystyle \sigma _{x}(y,z)=-{\frac {M_{z}~I_{y}+M_{y}~I_{yz}}{I_{y}~I_{z}-I_{yz}^{2}}}y+{\frac {M_{y}~I_{z}+M_{z}~I_{yz}}{I_{y}~I_{z}-I_{yz}^{2}}}z}$ ^[6]

ここで、右に示すように、応力を決定する断面上の点の座標、y軸とz軸の重心軸周りの曲げモーメント、 y軸とz軸周りの断面二次モーメント（断面2次モーメントとは異なる）、断面モーメントの積です。この式を用いると、モーメントの向きや断面形状に関係なく、梁断面上の任意の点における曲げ応力を計算できます。断面上のある点から別の点にかけては変化しない ことに注意してください${\displaystyle y,z}$ ${\displaystyle M_{y}}$ ${\displaystyle M_{z}}$ ${\displaystyle I_{y}}$ ${\displaystyle I_{z}}$ ${\displaystyle I_{yz}}$ ${\displaystyle M_{y},M_{z},I_{y},I_{z},I_{yz}}$

大きな曲げ変形

物体の大きな変形の場合、断面の応力はこの式の拡張版を用いて計算されます。まず、以下の仮定を置く必要があります

1. 平坦なセクションの仮定 - 変形の前後で、考慮される物体のセクションは平坦なままです (つまり、渦巻き状になっていません)。
2. この断面の法線ベクトルに垂直なせん断応力と法線応力は、この断面に平行な法線応力には影響を及ぼしません。

曲げ半径がセクション高さhの10倍より小さい 場合は、大きな曲げを考慮する必要があります。${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho <10h.}$

これらの仮定に基づくと、大きな曲げにおける応力は次のように計算されます。

${\displaystyle \sigma ={\frac {F}{A}}+{\frac {M}{\rho A}}+{\frac {M}{{I_{x}}'}}y{\frac {\rho }{\rho +y}}}$

ここで

${\displaystyle F}$ は法線力

${\displaystyle A}$ は断面積

${\displaystyle M}$ 曲げモーメントは

${\displaystyle \rho }$ 局所的な曲げ半径（現在のセクションでの曲げ半径）

${\displaystyle {{I_{x}}'}}$ は、 x軸に沿った断面2次モーメントであり、その位置は（シュタイナーの定理を参照）${\displaystyle y}$

${\displaystyle y}$ 応力が計算される断面領域上のy軸に沿った位置です。${\displaystyle \sigma }$

曲げ半径が無限大に近づき、元の式に戻ると、 ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle y\ll \rho }$

${\displaystyle \sigma ={F \over A}\pm {\frac {My}{I}}}$ 。

ティモシェンコ曲げ理論

ティモシェンコ梁の変形。法線は、回転量に等しくない量だけ回転します${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle dw/dx}$

1921年、ティモシェンコは梁のオイラー・ベルヌーイ理論を改良し、梁方程式にせん断力の影響を加味しました。ティモシェンコ理論の運動学的仮定は以下のとおりです。

• 梁の軸の法線は変形後も真っ直ぐなままである
• 変形後も梁の厚さは変化しない

ただし、軸の法線は変形後も軸に対して垂直のままである必要はありません。

これらの仮定のもとで、線形弾性、等方性、均質な一定断面梁の準静的曲げの方程式は^{[7]である。}

${\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x)-{\cfrac {EI}{kAG}}~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

ここで、 は断面の断面モーメント、は断面積、 はせん断弾性率、 はせん断補正係数、 は横方向荷重である。ポアソン比（ ）が0.3に近い材料の場合、長方形断面のせん断補正係数はおよそ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle q(x)}$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle k={\cfrac {5+5\nu }{6+5\nu }}}$

法線の 回転（ ）は次の式で表されます。${\displaystyle \varphi (x)}$

${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}=-{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}-{\cfrac {q(x)}{kAG}}}$

曲げモーメント（）とせん断力（）は次のように表される。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle M(x)=-EI~{\cfrac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}~;~~Q(x)=kAG\left({\cfrac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}-\varphi \right)=-EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}\varphi }{\mathrm {d} x^{2}}}={\cfrac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} x}}}$

弾性基礎上の梁

オイラー・ベルヌーイ、ティモシェンコ、その他の曲げ理論によれば、弾性基礎上の梁は説明可能である。鉄道線路、建物や機械の基礎、水上の船舶、植物の根など、一部の用途では、荷重を受ける梁は連続した弾性基礎上に支持される（つまり、外部荷重による連続的な反力が梁の長さに沿って分散される）^{[8] [9] [10] [11]}

橋を渡る車（弾性基礎上に部分的に支持された梁、曲げモーメント分布）

梁の動的曲げ

梁の動的曲げ^[12]は梁の曲げ振動としても知られ、18世紀後半にダニエル・ベルヌーイによって初めて研究されました。振動する梁のベルヌーイの運動方程式は梁の固有振動数を過大評価する傾向があり、1877年にレイリーによって中間面回転を追加することでわずかに改良されました。1921年にスティーブン・ティモシェンコは曲げ梁の動的応答にせん断の影響を取り入れることで理論をさらに改良しました。これにより、動的オイラー・ベルヌーイ理論が不十分な高周波振動の問題に理論を使用できるようになりました。梁の動的曲げに対するオイラー・ベルヌーイ理論とティモシェンコ理論は、技術者によって広く使用され続けています。

オイラー・ベルヌーイ理論

細長く、等方性で、均質な一定断面の梁に横方向の荷重が作用する動的曲げに関するオイラー・ベルヌーイ方程式は^[7]である${\displaystyle q(x,t)}$

${\displaystyle EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}=q(x,t)}$

ここで、はヤング率、は断面の面積モーメント、は梁の中立軸のたわみ、は梁の単位長さあたりの質量です。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle w(x,t)}$ ${\displaystyle m}$

自由振動

梁に横方向の荷重がかかっていない状況では、曲げ方程式は次のようになります

${\displaystyle EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}=0}$

梁の自由振動は次のように表される。

${\displaystyle w(x,t)={\text{Re}}[{\hat {w}}(x)~e^{-i\omega t}]\quad \implies \quad {\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}=-\omega ^{2}~w(x,t)}$

そして曲げ方程式は次のように書ける。

${\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}{\hat {w}}}{\mathrm {d} x^{4}}}-m\omega ^{2}{\hat {w}}=0}$

上記の式の一般解は

${\displaystyle {\hat {w}}=A_{1}\cosh(\beta x)+A_{2}\sinh(\beta x)+A_{3}\cos(\beta x)+A_{4}\sin(\beta x)}$

定数と ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}}$ ${\displaystyle \beta :=\left({\cfrac {m}{EI}}~\omega ^{2}\right)^{1/4}}$

片持ち梁のモード形状
1次横曲げ	1次ねじり	1次垂直曲げ
2次横曲げ	2次ねじり曲げ	2次垂直曲げ

ティモシェンコ・レイリー理論

1877年、レイリーは梁の断面の回転慣性の影響を取り入れることで、動的オイラー・ベルヌーイ梁理論の改良を提案しました。ティモシェンコは1922年に梁方程式にせん断の影響を加えることで、この理論を改良しました。ティモシェンコ・レイリー理論では、梁の中立面の法線方向のせん断変形が許容されます

これらの仮定のもとで、一定断面の線形弾性、等方性、均質な梁の曲げの方程式は^{[7] [13]である。}

${\displaystyle {\begin{aligned}&EI~{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\frac {EIm}{kAG}}\right){\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}~\partial t^{2}}}+{\frac {Jm}{kAG}}~{\frac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}\\[6pt]={}&q(x,t)+{\frac {J}{kAG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\frac {EI}{kAG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}\end{aligned}}}$

ここで、 は断面の極モーメント、は梁の単位長さあたりの質量、は梁の密度、は断面積、 はせん断弾性率、 はせん断補正係数である。ポアソン比（ ）が0.3に近い材料の場合、せん断補正係数はおよそ ${\displaystyle J={\tfrac {mI}{A}}}$ ${\displaystyle m=\rho A}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle {\begin{aligned}k&={\frac {5+5\nu }{6+5\nu }}\quad {\text{rectangular cross-section}}\\[6pt]&={\frac {6+12\nu +6\nu ^{2}}{7+12\nu +4\nu ^{2}}}\quad {\text{circular cross-section}}\end{aligned}}}$

自由振動

自由振動の調和振動の場合、ティモシェンコ・レイリー方程式は次のようになります

${\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}{\hat {w}}}{\mathrm {d} x^{4}}}+m\omega ^{2}\left({\cfrac {J}{m}}+{\cfrac {EI}{kAG}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}{\hat {w}}}{\mathrm {d} x^{2}}}+m\omega ^{2}\left({\cfrac {\omega ^{2}J}{kAG}}-1\right)~{\hat {w}}=0}$

この方程式は、 のすべての導関数が打ち消すために同じ形になる必要があることに注意することで解くことができ、したがって の形の解が期待できる。この観察から、特性方程式が導かれる。${\displaystyle w}$ ${\displaystyle e^{kx}}$

${\displaystyle \alpha ~k^{4}+\beta ~k^{2}+\gamma =0~;~~\alpha :=EI~,~~\beta :=m\omega ^{2}\left({\cfrac {J}{m}}+{\cfrac {EI}{kAG}}\right)~,~~\gamma :=m\omega ^{2}\left({\cfrac {\omega ^{2}J}{kAG}}-1\right)}$

この4次方程式の解は

${\displaystyle k_{1}=+{\sqrt {z_{+}}}~,~~k_{2}=-{\sqrt {z_{+}}}~,~~k_{3}=+{\sqrt {z_{-}}}~,~~k_{4}=-{\sqrt {z_{-}}}}$

ここで

${\displaystyle z_{+}:={\cfrac {-\beta +{\sqrt {\beta ^{2}-4\alpha \gamma }}}{2\alpha }}~,~~z_{-}:={\cfrac {-\beta -{\sqrt {\beta ^{2}-4\alpha \gamma }}}{2\alpha }}}$

自由振動に対するティモシェンコ・レイリー梁方程式の一般解は次のように表される

${\displaystyle {\hat {w}}=A_{1}~e^{k_{1}x}+A_{2}~e^{-k_{1}x}+A_{3}~e^{k_{3}x}+A_{4}~e^{-k_{3}x}}$

板の準静的曲げ

薄板の変形。変位、中間面（赤）、中間面の法線（青）を強調表示しています。

梁の特徴は、寸法の1つが他の2つよりもはるかに大きいことです。構造物が平らで、寸法の1つが他の2つよりもはるかに小さい場合、その構造物はプレートと呼ばれます。荷重が作用したプレートの変形と応力を記述しようとする理論はいくつかありますが、そのうち2つは広く用いられています。

• キルヒホッフ・ラブの板理論（古典板理論とも呼ばれる）
• ミンドリン・ライスナープレート理論（プレートの一次せん断理論とも呼ばれる）

キルヒホッフ・ラブのプレート理論

キルヒホッフ・ラブ理論の仮定は

• 中間面に垂直な直線は変形後も直線のままである
• 中間面に垂直な直線は変形後も中間面に垂直なままである
• 変形中にプレートの厚さは変化しません。

これらの仮定は、

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{\alpha }(\mathbf {x} )&=-x_{3}~{\frac {\partial w^{0}}{\partial x_{\alpha }}}=-x_{3}~w_{,\alpha }^{0}~;~~\alpha =1,2\\u_{3}(\mathbf {x} )&=w^{0}(x_{1},x_{2})\end{aligned}}}$

ここで 、 はプレート内の点の変位であり、は中間面の変位です。 ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle w^{0}}$

ひずみ-変位関係は

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&=-x_{3}~w_{,\alpha \beta }^{0}\\\varepsilon _{\alpha 3}&=0\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}}$

平衡方程式は

${\displaystyle M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }+q(x)=0~;~~M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}}$

ここで、プレートの表面に対して垂直な荷重が適用されます。 ${\displaystyle q(x)}$

変位の観点から見ると、外部荷重がない場合の等方性線形弾性板の平衡方程式は次のように表される。

${\displaystyle w_{,1111}^{0}+2~w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}=0}$

直接テンソル表記では、

${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=0}$

ミンドリン・ライスナーの板理論

この理論の特別な仮定は、変形後も中間面の法線は直線で伸長しないが、必ずしも中間面に対して垂直であるとは限らないというものである。プレートの変位は次のように与えられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{\alpha }(\mathbf {x} )&=-x_{3}~\varphi _{\alpha }~;~~\alpha =1,2\\u_{3}(\mathbf {x} )&=w^{0}(x_{1},x_{2})\end{aligned}}}$

法線の回転は どこですか。${\displaystyle \varphi _{\alpha }}$

これらの仮定から得られるひずみ-変位関係は

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&=-x_{3}~\varphi _{\alpha ,\beta }\\\varepsilon _{\alpha 3}&={\cfrac {1}{2}}~\kappa \left(w_{,\alpha }^{0}-\varphi _{\alpha }\right)\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}}$

ここでせん断補正係数です。 ${\displaystyle \kappa }$

平衡方程式は

${\displaystyle {\begin{aligned}&M_{\alpha \beta ,\beta }-Q_{\alpha }=0\\&Q_{\alpha ,\alpha }+q=0\end{aligned}}}$

ここで

${\displaystyle Q_{\alpha }:=\kappa ~\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha 3}~dx_{3}}$

板の動的曲げ

薄いキルヒホッフ板の力学

板の力学理論は、板内の波の伝播、定在波、振動モードの研究を規定する。キルヒホッフ板の動的曲げを支配する方程式は以下の通りである。

${\displaystyle M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q(x,t)=J_{1}~{\ddot {w}}^{0}-J_{3}~{\ddot {w}}_{,\alpha \alpha }^{0}}$

ここで、密度が のプレートの場合、 ${\displaystyle \rho =\rho (x)}$

${\displaystyle J_{1}:=\int _{-h}^{h}\rho ~dx_{3}~;~~J_{3}:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~\rho ~dx_{3}}$

そして

${\displaystyle {\ddot {w}}^{0}={\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial t^{2}}}~;~~{\ddot {w}}_{,\alpha \beta }^{0}={\frac {\partial ^{2}{\ddot {w}}^{0}}{\partial x_{\alpha }\,\partial x_{\beta }}}}$

下の図は円板のいくつかの振動モードを示しています。

• 
  モードk = 0、p = 1
• 
  モードk = 0、p = 2
• 
  モードk = 1、p = 2

参照

• 曲げモーメント
• 曲げ機（平板金属曲げ）
• ブレーキ（板金曲げ）
• ブレイジャー効果
• 板の曲げ
• 曲げ（金属加工）
• 連続体力学
• 反屈曲
• たわみ（工学）
• 曲げ軸受
• 断面2次モーメントの一覧
• パイプ曲げ

• せん断モーメント線図
• せん断強度
• サンドイッチ理論
• 振動
• 板の振動

参考文献

1. Boresi, AP、Schmidt, RJ、Sidebottom, OM、1993年、「Advanced mechanics of materials」、John Wiley and Sons、ニューヨーク
2. Libai, A. および Simmonds, JG、1998、「弾性シェルの非線形理論」、ケンブリッジ大学出版局。
3. Timoshenko, S.および Woinowsky-Krieger, S.、1959、「プレートとシェルの理論」、McGraw-Hill。
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5. Gere, JMおよびTimoshenko, SP, 1997, Mechanics of Materials , PWS Publishing Company
6. Cook and Young, 1995, Advanced Mechanics of Materials, Macmillan Publishing Company: New York
7. Thomson, WT, 1981,振動理論とその応用
8. ヘテニ、ミクロス (1946).弾性基礎上の梁。アナーバー、ミシガン大学、米国。
9. MELERSKI, E., S. (2006).弾性基礎上の梁、円板、円筒タンクの設計解析（第2版）. ロンドン、英国: Taylor & Francis Group. p. 284. ISBN 978-0-415-38350-9。
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11. フリードリシェク、カレル、トゥヴルダ、ローランド・ヤンチョ、他 (2013).弾性基礎上の構造ハンドブック（第1版）. オストラバ、チェコ共和国: VSB - オストラバ工科大学. pp.  1– 1691. ISBN 978-80-248-3238-8。
12. Han, S. M, Benaroya, H. and Wei, T., 1999, 「4つの工学理論を用いた横振動梁のダイナミクス」『Journal of Sound and Vibration』第226巻第5号、935～988頁
13. Rosinger, HEおよびRitchie, IG、1977、「振動する等方性梁のせん断に対するティモシェンコ補正について」、 J. Phys. D: Appl. Phys.、vol. 10、pp. 1461–1466。

外部リンク

• 曲げ公式
• 梁の応力とたわみ、梁のたわみ表
• 曲げ応力とは何ですか?