コミュニティマトリックス

数理生物学 において、コミュニティ行列は、平衡点における一般化ロトカ・ヴォルテラ方程式の線形化である。^{[ 1 ]}コミュニティ行列の固有値は平衡点の 安定性を決定する。

例えば、ロトカ・ヴォルテラ捕食者被食者モデルは

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\dfrac {dx}{dt}}&=&x(\alpha -\beta y)\\{\dfrac {dy}{dt}}&=&-y(\gamma -\delta x),\end{array}}}$

ここで、 x ( t ) は獲物の数、y ( t ) は捕食者の数、α、β、γ、δは定数である。ハートマン・グロブマン定理によれば、この非線形システムは平衡点 ( x *, y * )を中心としたシステムの線形化と位相的に等価であり、これは以下の式で表される。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {du}{dt}}\\{\frac {dv}{dt}}\end{bmatrix}}=\mathbf {A} {\begin{bmatrix}u\\v\end{bmatrix}},}$

ここでu = x − x *、v = y − y *である。数理生物学では、平衡点( x *, y *)で評価されたヤコビ行列は コミュニティ行列と呼ばれる。^{[ 2 ]}安定多様体定理によれば、の一方または両方の固有値が正の実部を持つ場合、平衡は不安定であるが、すべての固有値が負の実部を持つ場合は安定である。 ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

参照

• 富裕化のパラドックス

参考文献

1. Berlow, EL; Neutel, A.-M.; Cohen, JE; De Ruiter, PC; Ebenman, B.; Emmerson, M.; Fox, JW; Jansen, VAA; Jones, JI; Kokkoris, GD; Logofet, DO; McKane, AJ; Montoya, J. M; Petchey, O. (2004). 「食物網における相互作用の強み：課題と機会」 . Journal of Animal Ecology . 73 (5): 585– 598. Bibcode : 2004JAnEc..73..585B . doi : 10.1111/j.0021-8790.2004.00833.x . JSTOR  3505669 .
2. コット、マーク（2001年）『数理生態学の要素』ケンブリッジ大学出版局、144頁。ISBN 0-521-00150-1。

• マレー、ジェームズ・D.（2002）「数理生物学I.入門」、学際応用数学、第17巻（第3版）、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-95223-9。