コンパクト半群

数学において、コンパクト半群とは、方程式の解の集合が有限個の方程式の集合で記述できる半群のことです。ここでの「コンパクト」という用語は、半群上の 位相を指すものではありません

S を半群、X を有限文字集合とする。方程式系は、X上の自由モノイド（有限文字列）の直積X ^∗ × X ^∗の部分集合Eである。方程式系EがSにおいて充足可能であるとは、 XからSへの写像fが存在し、これがX ⁺からSへの半群射fに拡張され、 Eのすべての ( u , v )に対してSにおいてf ( u ) = f ( v )が成り立つことを意味する。このようなfは方程式系Eの解、あるいは充足割り当てである。^{[ 1 ]}

二つの連立方程式は、それらが同じ充足代入集合を持つ場合、同値である。連立方程式が独立であるとは、それ自体の真部分集合と同値でないことである。^{[ 1 ]} 半群がコンパクトであるとは、すべての独立連立方程式が有限であることを意味する。^{[ 2 ]}

例

• 有限アルファベット上の自由モノイドはコンパクトである。^{[ 3 ]}
• 可算アルファベット上の自由モノイドはコンパクトである。^{[ 4 ]}
• 有限生成自由群はコンパクトである。^{[ 5 ]}
• 有限集合上のトレースモノイドはコンパクトである。^{[ 4 ]}
• 双環モノイドはコンパクトではない。^{[ 6 ]}

性質

• コンパクト半群のクラスは、部分半群と有限直積をとることで閉じている。^{[ 7 ]}
• コンパクト半群のクラスは、写像や無限直積を取ることに関して閉じていない。^{[ 7 ]}

品種

コンパクト半群のクラスは等式多様体を形成しない。しかし、モノイド多様体は、そのすべての元がコンパクトであるための必要十分条件として、すべての有限生成元が合同性の最大条件を満たす（包含順に並べられた任意の合同性族は、最大元を持つ）という性質を持つ。^{[ 8 ]}

参考文献

1. ロテール（2011）p.444
2. ロテール（2011）458頁
3. ロテール（2011）447頁
4. ロテール（2011）p.461
5. ロテール（2011）462頁
6. ロテール（2011）459頁
7. ロテール（2011）p.460
8. ロテール（2011）466頁

• ロテール, M. (2011).語の代数的組合せ論. 数学とその応用百科事典. 第90巻. ジャン・ベルステルとドミニク・ペランによる序文付き（2002年ハードカバー版の再版）. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-18071-9. Zbl  1221.68183 .