二環式半群

数学において、双巡回半群は半群の構造理論において重要な代数的対象である。実際にはモノイドであるが、通常は単に半群と呼ばれる。おそらく最も理解しやすいのは、括弧の対が釣り合ったダイク言語を記述する統語的モノイドである。したがって、二分木や結合代数の記述など、組合せ論において広く応用されている。

歴史

この天体に関する最初の公表された説明は、1953年にエフゲニー・リャピンによってなされました。アルフレッド・H・クリフォードとゴードン・プレストンは、彼らのうちの1人がデビッド・リースと協力して、1943年より前の時点でこの天体を独自に（公表せずに）発見したと主張しています。

工事

双環式半群を構成する標準的な方法は少なくとも3つあり、それを指す表記法も様々です。リアピンはPと呼び、クリフォードとプレストンは を用い、最近の論文ではBを用いる傾向にあります。本稿では、一貫して現代的な表記法を用います。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

自由半群から

双巡回半群は、二つの生成元pとq上の自由モノイドを、関係p q = 1によって生成される合同式で割ったものである。したがって、各半群の元は、部分列" p q " が現れないという条件付きで、これらの二つの文字からなる文字列である。半群演算は文字列の連結であり、明らかに結合的である。すると、ある自然数aとbに対して、Bのすべての元は実際にはq ^a p ^bという形をとることが示される。合成演算は次のように簡略化される。

( q ^a p ^b ) ( q ^c p ^d ) = q ^{a + c −min{ b、c }} p ^{d + b −min{ b、c }}。

順序付きペアから

これらの指数の制約方法から、「pとqの構造」は捨て去ることができ、「aとb」の部分に対する演算のみが残ることが示唆される。したがって、 Bは自然数（ゼロを含む）のペアの半群であり、演算は^{[ 1 ]である。}

( a、b ) ( c、d ) = ( a + c − min{ b、c }、d + b − min{ b、c })。

これは、 B を元の構成と同じオブジェクトとして定義するのに十分です。pとq が元々 Bを生成し、空文字列をモノイド単位元としたのと同様に、この新しい B の構成には生成元( 1, 0)と(0, 1)があり、単位元は(0, 0)です。

関数から

下記の条件を満たす要素e、a、bによって生成される任意の半群S は、双巡回半群と 同型であることが示されます。

• a e = e a = a
• b e = e b = b
• a b = e
• b a ≠ e

これが事実であるべきかどうかは、必ずしも自明ではない。おそらく最も難しいのは、Sが無限大でなければならないということを理解することだろう。これを理解するには、例えばaが無​​限位数を持たないと仮定し、あるhとkに対してa ^{k + h} = a ^hとなる。するとa ^k = eとなり、

b = e b = a ^k b = a ^{k −1} e = a ^{k −1}、

それで

b a = a ^k = e、

これは許されないので、 の異なるべき乗は無限に存在する。完全な証明はクリフォードとプレストンの著書に示されている。

上記の2つの定義はどちらもこれらの性質を満たしていることに注意されたい。Bを導く3つ目の方法は、適切に選ばれた2つの関数を用いて、自然数の変換のモノイドとして双巡回半群を得る。α 、β、ιを自然数上の 変換半群の元とする。ここで

• ι ( n ) = n
• α ( n ) = n + 1
• n = 0の場合はβ ( n )=0 、それ以外の場合はn −1。

これら3つの関数は必要な性質を持っているので、それらが生成する半群はBである。^{[ 2 ]}

プロパティ

双巡回半群は、 Bから別の半群Sへの任意の準同型φの像が巡回しているか、 Bの同型コピーであるかのいずれかであるという性質を持つ。 Sの元φ ( a )、φ ( b )、φ ( e ) は常に上記の条件を満たす ( φは準同型であるため)。ただし、φ ( b ) φ ( a )が φ( e )となる可能性もある。そうでない場合、φ ( B ) はBと同型である。そうでない場合、 φ ( a ) はφ ( a )によって生成される巡回半群である。実際には、これは双巡回半群がさまざまなコンテキストで見つかる可能性があることを意味する。

Bの冪等元はすべて( x , x )のペアであり、xは任意の自然数（Bの順序対特性を用いる）である。これらは可換であり、B は正則（任意のxに対してx y x = xを満たすyが存在する）であるため、双巡回半群は逆半群となる。（これは、 Bの各元xには、 x y x = xかつy x y = yという「弱」半群の意味で、唯一の逆yが存在することを意味する。）

Bのすべてのイデアルは主イデアルである。すなわち、 ( m , n )の左主イデアルと右主イデアルは

• ( m , n ) B = {( s , t ) : s ≥ m } であり、
• B ( m , n ) = { ( s , t ) : t ≥ n }。

これらのそれぞれには無限の数の他のものが含まれるため、B には最小の左イデアルまたは右イデアルはありません。

グリーン関係式を用いると、BはDクラス（双単純）を1つしか持たず、したがってJクラス（単純）も1つしか持たない。LとRの関係は次のように与えられる 。

• ( a , b ) R ( c , d )はa = cのときのみ成り立ち 、
• ( a , b ) L ( c , d ) が成り立つのはb = dの場合のみである。^{[ 3 ]}

これは、2つの元がHに関連している必要十分条件であり、かつそれらが同一である場合に限ることを意味します。したがって、 Bの部分群は、自明群の無限個のコピーのみであり、それぞれが冪等元のいずれかに対応します。

Bの卵箱図は無限に大きく、左上隅は次のように始まります。

（0, 0）	（1、0）	（2、0）	...
（0, 1）	（1、1）	（2、1）	...
（0, 2）	（1、2）	（2、2）	...
...	...	...	...

各要素は単独のHクラスを表します。行はRクラス、列はLクラスです。B の冪等元は対角線上に現れます。これは、冪等元が可換な正則半群においては、各Lクラスと各Rクラスには必ず1つの冪等元が含まれる という事実に一致しています。

双巡回半群は、単位元を持つ双単純逆半群の「最も単純な」例です。他にも多くの例があります。順序対からのBの定義において自然数のクラス（加法半群であるだけでなく、最小演算と最大演算の下で可換格子でもある）が用いられていた場合、適切な性質を持つ別の集合を代わりに用いることができ、それに応じて「+」、「-」、「max」演算を修正することができます。

双巡回半群は の任意の に対して恒等式を満たす。これはアジャン恒等式（またはアディアンの恒等式）として知られ、 が満たす最短の長さの恒等式である。^{[ 4 ]}${\displaystyle xyyxxyxyyx=xyyxyxxyyx}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

参照

• 4螺旋半群
• 半群の特別なクラス

注記

1. ホリングス（2007）、332ページ
2. ロテール, M. (2011).語の代数的組合せ論. 数学とその応用百科事典. 第90巻. ジャン・ベルステルとドミニク・ペランによる序文付き（2002年ハードカバー版の再版）. ケンブリッジ大学出版局. p. 459. ISBN 978-0-521-18071-9. Zbl  1221.68183 .
3. ハウイー p. 60
4. 安原, アン (1973年6月). 「SI Adjan. 群と半群の関係とアルゴリズム問題の定義．M. Greendlinger著XXXVIII 357の英訳．ステクロフ数学研究所紀要第85号（1966年版、1967年出版），アメリカ数学会，プロビデンス1967，iii + 152 pp.」 . The Journal of Symbolic Logic . 38 (2): 338– 339. doi : 10.2307/2272101 . ISSN 0022-4812 . 

参考文献

• 半群の代数理論、AHクリフォードとG.B.プレストン。アメリカ数学会、1961年（第1巻）、1967年（第2巻）。
• 半群：構造理論入門、ピエール・アントワーヌ・グリエ著、マルセル・デッカー社、1995年。
• 定義関係によって与えられた連想システムの要素の標準形、Evgenii Sergeevich Lyapin、Leningrad Gos. Ped. Inst. Uch. Zap. 89 (1953)、45～54ページ [ロシア語]。
• Hollings, CD (2007). 「半群論への最初の魅惑的な一歩」.数学マガジン. 80.アメリカ数学会誌: 331–344 . JSTOR  27643058 .