フィールドトレース

数学において、体トレースとは有限体拡大L / Kに関して定義される特定の関数であり、 LからKへのK線型写像です。

意味

K を体とし、L をKの有限拡大（したがって代数拡大）とする。L はK上のベクトル空間と見ることができる。Lの元αを乗じると、

${\displaystyle m_{\alpha }:L\to L{\text{ }}m_{\alpha }(x)=\alpha x} で与えられる$ 、

は、このベクトル空間からそれ自身へのK線型変換である。その軌跡Tr _{L / K} ( α )は、この線型変換の（線型代数の意味での）軌跡として定義される。 ^{[ 1 ]}

Lのαに対して、σ ₁ ( α ), ..., σ _n ( α ) をK上のαの最小多項式の根（重複度も考慮）とする（ K の拡大体上）。すると、

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )=[L:K(\alpha )]\sum _{j=1}^{n}\sigma _{j}(\alpha ).}$

L / Kが分離可能な場合、各根は1回だけ現れます^{[ 2 ]}（ただし、これは上記の係数が1であることを意味するものではありません。たとえば、αがKの単位元1である場合、トレースは[ L：​​K ]×1です）。

より具体的には、L / Kがガロア拡大でαがLに含まれる場合、 αのトレースはαのすべてのガロア共役の和である^{[ 1 ]}。すなわち、

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )=\sum _{\sigma \in \operatorname {Gal} (L/K)}\sigma (\alpha ),}$

ここで、Gal( L / K )はL / Kのガロア群を表す。

例

を の二次拡大とします。の基底はです。の行列は次のようになります。 ${\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle L/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \{1,{\sqrt {d}}\}}.}$ ${\displaystyle \alpha =a+b{\sqrt {d}}}$ ${\displaystyle m_{\alpha}}$

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}a&bd\\b&a\end{matrix}}\right]}$ 、

そして、。^{[ 1 ]} αの最小多項式はX ² − 2 a X + ( a ² − db ² )である。 ${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/\mathbb {Q} }(\alpha )=[L:\mathbb {Q} (\alpha )]\left(\sigma _{1}(\alpha )+\sigma _{2}(\alpha )\right)=1\times \left(\sigma _{1}(\alpha )+{\overline {\sigma _{1}}}(\alpha )\right)=a+b{\sqrt {d}}+a-b{\sqrt {d}}=2a}$

トレースの特性

トレース関数のいくつかの性質は任意の有限拡張に対して成り立つ。^{[ 3 ]}

トレースTr _{L / K}  : L → KはK線型写像（K線型関数）であり、

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha a+\beta b)=\alpha \operatorname {Tr} _{L/K}(a)+\beta \operatorname {Tr} _{L/K}(b){\text{ for all }}\alpha ,\beta \in K}$ 。

α∈Kならば​​​${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )=[L:K]\alpha .}$

さらに、トレースは体の塔でもうまく機能します。MがLの有限拡張である場合、 MからKへのトレースは、MからLへのトレースとLからKへのトレースの合成です。つまり、

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{M/K}=\operatorname {Tr} _{L/K}\circ \operatorname {Tr} _{M/L}}$ 。

有限体

L = GF( q ⁿ ) を有限体K = GF( q )の有限拡大とする。L / Kはガロア拡大なので、αがLに属せば、 αのトレースはαのすべてのガロア共役の和、すなわち^{[ 4 ]}となる。

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )=\alpha +\alpha ^{q}+\cdots +\alpha ^{q^{n-1}}.}$

この設定では、追加のプロパティがあります：^{[ 5 ]}

• ${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/K}(a^{q})=\operatorname {Tr} _{L/K}(a){\text{ for }}a\in L}$ 。
• 任意の に対して、となる要素がちょうど 個存在します。${\displaystyle \alpha \in K}$ ${\displaystyle q^{n-1}}$ ${\displaystyle b\in L}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/K}(b)=\alpha }$

定理. ^{[ 6 ]} b ∈ Lに対して、写像F _bとする。すると、b ≠ cならばF _b ≠ F _cとなる。さらに、LからKへのK線型変換は、b が体L上で変化するとき、まさにF _bの形の写像となる。 ${\displaystyle a\mapsto \operatorname {Tr} _{L/K}(ba).}$

KがLの素数部分体であるとき、そのトレースは絶対トレースと呼ばれ、そうでない場合は相対トレースと呼ばれる。^{[ 4 ]}

応用

二次方程式ax ² + bx + c = 0でa  ≠ 0 であり、係数が有限体にある場合、GF( q )には 0、1、または 2 個の根があります（二次拡大 GF( q ² ) には重複度を含めて 2 つの根があります）。GF ( q )の標数が奇数の場合、判別式Δ = b ² − 4 acは GF( q )の根の数を示し、古典的な二次方程式の公式で根が得られます。ただし、GF( q ) が偶数標数の場合（つまり、ある正の整数hに対してq = 2 ^hの場合）、これらの公式は適用できなくなります。 ${\displaystyle \operatorname {GF} (q)=\mathbb {F} _{q}}$

有限体GF(2 ^h )に係数を持つ二次方程式ax ² + bx + c = 0を考える。^{[ 7 ]} b = 0のとき、この方程式はGF( q )に唯一の解を持つ。b ≠ 0のとき、 y = ax / bと置き換えると、この二次方程式は次の形になる。 ${\displaystyle x={\sqrt {\frac {c}{a}}}}$

${\displaystyle y^{2}+y+\delta =0,{\text{ where }}\delta ={\frac {ac}{b^{2}}}.}$

この方程式はGF( q )に2つの解を持つが、その場合の絶対トレースは である。この場合、y  =  sが解の1つであれば、y  =  s  + 1がもう1つの解である。kをGF( q )の任意の元とすると、方程式の解は次のように与えられる。 ${\displaystyle \operatorname {Tr} _{GF(q)/GF(2)}(\delta )=0.}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} _{GF(q)/GF(2)}(k)=1.}$

${\displaystyle y=s=k\delta ^{2}+(k+k^{2})\delta ^{4}+\ldots +(k+k^{2}+\ldots +k^{2^{h-2}})\delta ^{2^{h-1}}.}$

h = 2 m' + 1の場合 、解はより単純な式で与えられます。

${\displaystyle y=s=\delta +\delta ^{2^{2}}+\delta ^{2^{4}}+\ldots +\delta ^{2^{2m}}.}$

トレースフォーム

L / Kが可分な場合、トレースはトレース形式を介して双対性理論を提供する。L × LからKへの写像（x , y）をTr _{L / K} ( xy )に写す写像は、トレース形式と呼ばれる非退化対称双線型形式である。L / Kがガロア拡大である場合、トレース形式はガロア群に関して不変である。

跡形は代数的整数論において、異なるイデアルの理論で使用されます。

有限次体拡大L / Kのトレース形式は、Kの任意の体順序に対して非負の符号を持つ。[8] 逆、すなわち非負の符号を持つ^{すべてのウィット} 同値類はトレース形式を含むということは、代数的数体Kに対しても成り立つ。^{[ 8 ]}

L / Kが不可分拡大ならば、トレース形式は0となる。^{[ 9 ]}

参照

• フィールドノルム
• トレースの削減

注記

1. ロットマン 2002、p. 940
2. ロットマン 2002、941ページ
3. ローマン 2006、151ページ
4. リドルとニーダーライター 1997、p.54
5. マレン & パナリオ 2013、p. 21
6. リドル＆ニーダーライター 1997、p.56
7. ヒルシュフェルド 1979、3-4ページ
8. ローレンツ (2008) p.38
9. Isaacs 1994 、p. 369、 Rotman 2002、p. 943の脚注より

参考文献

• ヒルシュフェルド, JWP (1979)、「有限体上の射影幾何学」、オックスフォード数学モノグラフ、オックスフォード大学出版局、ISBN 0-19-853526-0
• アイザックス、IM（1994）、代数学、大学院課程、ブルックス/コール出版
• リドル、ルドルフ;ニーダーライター、ハラルド(1997) [1983]、「有限体」、数学とその応用百科事典、第20巻（第2版）、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-39231-4、Zbl  0866.11069
• ロレンツ、ファルコ (2008).代数学 第2巻：構造を持つ体、代数、そして高度な話題. シュプリンガー. ISBN 978-0-387-72487-4. Zbl  1130.12001 .
• マレン、ゲイリー・L.; パナリオ、ダニエル (2013)、『有限体ハンドブック』、CRC Press、ISBN 978-1-4398-7378-6
• ローマン、スティーブン（2006）、場の理論、Graduate Texts in Mathematics、第158巻（第2版）、Springer、第8章、ISBN 978-0-387-27677-9、Zbl  1172.12001
• ロットマン、ジョセフ・J.（2002）、Advanced Modern Algebra、Prentice Hall、ISBN 978-0-13-087868-7

さらに読む

• コナー, PE; パーリス, R. (1984).代数的数体のトレース形式の概要. 純粋数学シリーズ. 第2巻. ワールドサイエンティフィック. ISBN 9971-966-05-0. Zbl  0551.10017 .
• Lang, Serge (2002) 『代数学』第6章5節、Graduate Texts in Mathematics、第211巻（改訂第3版）、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-95385-4、MR  1878556、Zbl  0984.00001